Ensino Superior Modelagem Matemtica 1 5 Na Engenharia

Ensino Superior Modelagem Matemática 1. 5 – Na Engenharia Amintas Paiva Afonso

Sumário § § § Introdução Modelagem Matemática Para que serve um modelo matemático? Técnicas de Modelagem Aplicação da Modelagem Matemática na Engenharia § Vantagens da Modelagem Matemática § Considerações Finais

1. Introdução § Representar, através de modelos matemáticos, sistemas e fenômenos observados sempre foi um desafio. § Desde a antigüidade, o homem tem procurado descrever matematicamente sistemas reais para ajudá-lo a entendê-los e, assim, resolver problemas relacionados a eles.

2. Modelagem Matemática § Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender. O processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo.

Objetivos § Preparar os alunos para trabalhar profissionalmente com a Modelagem; § Motivar os alunos mostrando para eles as aplicabilidades das idéias matemáticas no mundo real; § fornecer oportunidades para que os estudantes a integrem com outras áreas do currículo.

Habilidades do Engenheiro § Muitas das habilidades são requeridas para o engenheiro, tais como: • Raciocinar; • Analisar e argumentar com clareza; • Demonstrar idéias; • Lidar com informação e tecnologia. Todas podem ser favorecidas pelo desenvolvimento de atividades com a Modelagem Matemática.

Essas habilidades requerem § § § § § Interação; Colaboração; Cooperação; Participação ativa; Envolvimento em atividades de estudo; Socialização de idéias; Capacidade de argumentação e síntese; Capacidade de expressar idéias próprias; Disposição para rever resultados obtidos.

O que é um modelo matemático? “É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema em uma forma utilizável. ” (EYKHOFF, 1974) “É um sistema de equações cuja solução, dado um conjunto de dados de entrada, é representativa da resposta do processo. ” (DENN, 1986)

O que é um modelo matemático? “Um modelo nada mas é do que uma abstração matemática de processo real. ” (SEBORG et al. , 1989) Sintetizando: um modelo matemático, é um análogo matemático que representa algumas características observadas em um sistema real.

3. Para que serve um modelo matemático? § Esta pergunta deve ser respondida no contexto de cada problema de modelagem. • Por exemplo: • explicar fenômenos; • monitoramento; • controle; • simulação; • etc.

Sistemas

Componentes do sistema § O limite do sistema define o sistema de qualquer outro (o ambiente). § As unidades básicas do sistema são os elementos do sistema. § Podem existir os subsistemas. § A forma na qual os elementos do sistema estão organizados ou arranjados é chamado configuração.

Classificação de sistemas

Simples x Complexo § Um sistema simples é o que possui poucos elementos ou componentes, e a relação ou interação entre os elementos é descomplicada e direta. § Um sistema complexo tem muitos elementos que são altamente relacionados.

Aberto x Fechado § Um sistema aberto interage com seu ambiente. Em outras palavras, há um fluxo de entradas e saídas por todos os limites do sistema. § Um sistema fechado é o oposto de um aberto. Não há qualquer interação com o ambiente em um sistema fechado.

Estável x Dinâmico § Um sistema estável é aquele em que as mudanças no ambiente resultam em pouca ou nenhuma mudança no sistema. § Um sistema dinâmico é o que sofre mudanças rápidas e constantes devido às mudanças no seu ambiente.

Adaptável x Não Adaptável § Um sistema adaptável é o que responde ao ambiente mutável. § Um sistema não-adaptável é o que não muda com um ambiente mutável.

Permanente x Temporário § Um sistema permanente é o que existe ou existirá por um longo período de tempo. § Um sistema temporário é o que não existirá por um longo período de tempo. Em alguns casos, os sistemas temporários existem por menos de um mês.

4. Técnicas de Modelagem § Há várias formas e técnicas de modelagem. § Uma das possíveis classificações agrupa os métodos em três grupos: • Modelagem Caixa Branca; • Modelagem Caixa Preta; • Modelagem Caixa Cinza.

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico) § É necessário conhecer a fundo o sistema a ser modelado. Além de estar bem familiarizado com o sistema, para esse tipo de modelagem é necessário conhecer as relações matemáticas que descrevem os fenômenos envolvidos.

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico) § Para poder empregar um modelo teórico há necessidade de se conhecer certos parâmetros do processo. São desenvolvidos usando os princípios da Física e da Química. Há três estágios para gerar analiticamente um modelo matemático e simulá-lo (Cannon, 1967) 1) Modelamento Físico 2) Equações de Movimento 3) Comportamento Dinâmico

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico) 1) Modelamento físico • Um modelo físico significa um sistema físico imaginário que se assemelha ao sistema real em suas características mais marcantes, mas é mais simples (uma idealização) e, portanto, é propício ao estudo.

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico) 2) Equações de Movimento Pontos importantes: • Variáveis Físicas: descrevem o estado instantâneo de um sistema. • Relações de Equilíbrio: descrevem o balanço de forças, de energia do sistema. • Leis Físicas: leis que regem o movimento dos elementos do sistema.

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico) 3) Comportamento Dinâmico • A análise do comportamento dinâmico do sistema implica em verificar como as variáveis de interesse respondem no tempo. Esta análise é feita através das soluções das equações diferenciais de movimento que o descrevem.

Modelagem Caixa Preta § É uma área de modelagem matemática que estuda técnicas alternativas à modelagem caixa branca. § Uma das características dessas técnicas é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário.

Acessível x Inacessível § O conceito de caixa preta se refere a um sistema cujo interior não pode ser desvendado, cujos elementos internos são desconhecidos e que só pode ser conhecido por fora.

Acessível x Inacessível § Este conceito é utilizado em duas circunstâncias: • Quando o sistema é impenetrável ou inacessível (cérebro humano, corpo humano) • Quando o sistema é excessivamente complexo, de difícil explicação ou detalhamento (economia nacional) • Selecione arbitrariamente uma cidade inicial • Para selecionar a próxima cidade, examine todas as cidades que ainda não foram visitadas e selecione a que estiver mais perto da cidade atual. Vá para lá a seguir. • Repita a etapa 2 até todas as cidades terem sido visitadas.

Modelagem Caixa Preta ou Identificação de Sistemas (Empírico ou Heurístico) § Suponha que estejam disponíveis os sinais de entrada, u(k), e de saída, y(k), de um sistema real qualquer. § A identificação de sistemas se propõe a obter um modelo matemático que explique, pelo menos em parte e de forma aproximada, a relação de causa e efeito presente nos dados.

Modelagem Caixa Cinza § Nesta metodologia são utilizadas um conjunto de técnicas que caracterizam-se por usar informações auxiliares, que não se encontra no conjunto de dados utilizados na modelagem caixa preta.

Modelagem Caixa Cinza

Principais etapas de um problema de identificação 1. Testes dinâmicos e coleta de dados. 2. Escolha da representação matemática a ser usada. 3. Determinação da estrutura do modelo. 4. Estimação de parâmetros. 5. Validação do modelo.

Testes dinâmicos e coleta de dados § Uma vez que a identificação se propõe a obter modelos a partir de dados, é necessário gerar tais dados. § Portanto, são efetuados testes de forma a extrair informações dinâmicas do sistema. § Problemas importantes relacionados a esta etapa são a escolha dos sinais de excitação, a execução do teste e a escolha do tempo de amostragem. § Para representar matematicamente o modelo de um sistema real, se faz necessário a escolha, dentre tantas possibilidades, aquela que melhor representa o sistema.

Escolha da representação matemática a ser usada § Os modelos podem ser: i) lineares ou não-lineares; ii) variantes ou invariantes no tempo; iii) estáticos ou dinâmicos; iv) contínuos ou discretos; v) monovariáveis ou multivariáveis; vi) determinísticos ou estocásticos; vii) paramétricos ou não-paramétricos.

Determinação da estrutura do modelo § Um dos aspectos mais importantes na determinação da estrutura de modelos é a escolha da ordem do modelo. § A escolha da ordem errada para um modelo pode, por um lado, não representar a sua complexidade estrutural e, por outro lado, pode torná-lo mal condicionado. § Assim a correta escolha da ordem do modelo é de fundamental importância para uma boa estimação de parâmetros.

Estimação de parâmetros § Após a coleta dos dados de entrada u(k) e de saída y(k) do sistema, escolhido o modelo e determinada a ordem desse modelo, chega-se ao momento de estimar os parâmetros do modelo matemático escolhido. § Há vários métodos de estimação de parâmetros, sendo alguns determinísticos e outros estocásticos. § Podem-se citar: • métodos mínimos quadrados; • máxima verossimilhança; • filtro de Kalman; • etc.

Validação do modelo § Tendo obtido uma família de modelos, é necessário verificar se eles incorporam ou não as características de interesse do sistema original. § Além disso, é interessante poder comparar os modelos entre si e decidir se há algum candidato significativamente melhor que os demais.

5. Aplicação da Modelagem Matemática na Engenharia Dinâmica é o estudo de como certas grandezas variam no tempo e das causas que induzem essas variações. O objetivo de se estudar a dinâmica de sistemas é compreender e predizer o comportamento dinâmico de um certo sistema e, algumas vezes, melhorá-lo. Este estudo invariavelmente é feito utilizando-se modelos matemáticos.

6. Vantagens da Modelagem Matemática § Exige-se menos recursos e tempo do que era necessário para a investigação experimental; § Pode-se pesquisar sistemas e objetos com os quais seria impossível realizar investigações experimentais (como, por exemplo, objetos astronômicos e sistemas sociais); § É possível pesquisar o comportamento dos objetos em regimes anormais de funcionamento ou em regimes extremos; § É possível receber informação mais detalhada nas investigações experimentais se elas forem complementadas por modelos matemáticos.

7. Considerações Finais § Nos últimos anos, a modelagem matemática passou a ser aplicada também em áreas como biologia, economia, medicina, indústria. § O uso de computadores e o desenvolvimento dos métodos de cálculo vieram a favorecer ainda mais esta tendência, pois surgiu a possibilidade de utilizar modelos antes inviáveis.