ELG 3575 8 La modulation damplitude en quadrature

ELG 3575 8. La modulation d’amplitude en quadrature et SSB

La modulation d’amplitude en quadrature (QAM) • La modulation d’amplitude en quadrature ( « quadrature amplitude modulation » - QAM) est plus efficace dans son utilisation du spectre que le DSB-SC et l’AM conventionnelle parce qu’on transmet deux signaux sur la même bande. • où m 1(t) et m 2(t) sont deux signaux indépendants avec largeurs de bandes Bm 1 et Bm 2. Typiquement Bm 1=Bm 2=Bm.

Spectre d’un signal QAM • Le spectre d’un signal QAM est :

Démodulation du signal m 1(t) • Pour la démodulation, si nous multiplions s. QAM(t) par Arcos 2 pfct, nous avons : (cos. Asin. A = 0. 5 sin 2 A).

Démodulation du signal m 2(t) • Similairement, si nous multiplions s. QAM(t) par Arsin 2 pfct, nous avons :

Système QAM m 1(t) FPB Arcos(2 pfct) Accos(2 pfct) HT m 2(t) × × Km 1(t) × + canal HT × FPB Km 2(t)

Avantage et désavantage de la QAM • 2 fois plus d’info sur la même bande • Plus sensible que la DSB-SC aux erreurs de porteuse générée au récepteur. • Erreur de fréquence ou de phase produit de la diaphonie (crosstalk).

Rappel: Le spectre d’un signal DSB-SC

Modulation SSB: Motivation • De la figure precedente, nous voyons que le spectre d’un signal DSB-SC est SDSB-SC(f) = (Ac/4)M+(f-fc) + (Ac/4)M-(f-fc) + (Ac/4)M+( f+fc) + (Ac/4)M-(f+fc). • Alors, le spectre d’un signal DSB-SC a deux « copies » de la pre -enveloppe positive de m(t) et deux « copies » de la preenveloppe négative de m(t). • En actualité, il nous faut qu’une « copie » de chaque pour reconstruire le signal m(t). • En éliminant une bande latérale, nous obtenons la modulation à bande latérale unique ( « single sideband » – SSB).

La modulation à bande latérale haute • La bande latérale haute ( « Upper Sideband » ) du signal DSBSC est celui qui a le spectre SUSB(f) suivant : • Comparé au spectre d’un signal DSB-SC, qui a une largeur de bande de 2 Bm, le spectre du signal USB occupe la gamme de fréquences fc < |f| < fc + Bm, donc sa largeur de bande est la moitié de celle du signal DSB-SC.

Spectre d’un signal USB

USB par discrimination de fréquence • La modulation USB se fait par deux méthodes : la discrimination de fréquence ou la discrimination de phase. • Pour la modulation par discrimination de fréquence, nous filtrons le signal DSB-SC avec un filtre passe haut qui à la réponse :

USB par discrimination de phase • Pour la modulation par discrimination de phase, nous utilisons le spectre du signal USB. • SUSB(f) = (Ac/4)M+(f-fc) + (Ac/4)M-(f+fc). • Si nous prenons la transformée de Fourier inverse du spectre de la bande latérale haute, nous obtenons :

Modulateur USB par discrimination de phase

La modulation à bande latérale basse • La bande latérale basse ( « Lower Sideband » ) du signal DSBSC est la bande qui contient les composantes spectrales où |f|<fc. • Alors le spectre d’un signal LSB est SLSB(f) qui est donné par :

Spectre du signal LSB

LSB par discrimination de fréquence • Pour la modulation par discrimination de fréquence, nous filtrons le signal DSB-SC avec un filtre qui a la réponse en fréquence HLSB(f) qui est donné par :

LSB par discrimination de phase • Nous pouvons démontrer que le signal qui produit ce spectre est s. LSB(t) qui est donné par : • Pour la modulation par discrimination de phase, nous utilisons le modulateur par discrimination de phase pour la USB en inversant la phase de la composante en quadrature.

Exemples • Le signal d’information est m(t) = cos(2 pfmt). Trouvez les signaux USB est LSB pour une porteuse avec amplitude A et fréquence fc >> fm. • Solution (discrimination de phase) • s. USB(t) = Acos(2 pfmt)cos(2 pfct)-Asin(2 pfmt)sin(2 pfct) = (A/2)cos(2 p(fc-fm)t) + (A/2)cos(2 p(fc+fm)t) – (A/2)cos(2 p(fc-fm)t) + (A/2)cos(2 p(fc+fm)t) = Acos(2 p(fc+fm)t). • Similairement, on peut démontrer que s. LSB(t) = Acos(2 p(fc-fm)t). • Solution (discrimination de fréquence) • s. DSB-SC(t) = Accos(2 pfmt)cos(2 pfct). • SDSB-SC(f) = (Ac/4)d(f-fc-fm)+(Ac/4)d(f+fc+fm)+(Ac/4)d(f-fc+fm) +(Ac/4)d(f+fc-fm).

(Ac/4) -fc-fm –fc+fm (Ac/4) fc-fm (Ac/4) fc+fm Alors SUSB(f) = (Ac/4)d(f-fc-fm)+(Ac/4)d(f+fc+fm) et donc s. USB(t) = (Ac/2)cos(2 p(fc+fm)t) = Acos(2 p(fc+fm)t) et SLSB(f) = (Ac/4)d(f-fc+fm)+(Ac/4)d(f+fc-fm) et donc s. LSB(t) = (Ac/2)cos(2 p(fc+fm)t) = Acos(2 p(fc+fm)t)

Modulation d’amplitude à bande latérale résiduelle: Motivation • Pour des signaux à larges bandes, la modulation BLU est difficile. • Pour la modulation par discrimination de fréquence, il faut que le spectre du signal d’information soit 0 autour de f = 0 et que les bandes soient séparées suffisamment en fréquence. • Pour utiliser la modulation par discrimination de phase, il faut concevoir un transformateur de Hilbert qui est difficile si la largeur de bande du signal est large.

Modulation VSB • Dans ces cas, nous utilisons la modulation d’amplitude à bande latérale résiduelle ( « vestigial sideband » - VSB). • La modulation VSB emploie la discrimination de fréquence. Mais pour la modulation VSB, le filtrage n’élimine pas complètement la bande latérale secondaire. • Aussi, la bande principale n’est pas complètement passée par le filtre.

Modulateur VSB • • • Le modulateur VSB ainsi que la réponse en fréquence de son filtre sont démontrés ci-dessous. La réponse en fréquence du filtre VSB est donnée par HVSB(f). Nous remarquons qu’il y a une bande transitoire autour de la fréquence fc.

Spectre d’un signal VSB • Dans l’exemple nous considérons un système qui utilise la bande latérale haute comme la bande principale et la bande latérale basse comme la bande résiduelle. Mais c’est également possible d’employer la bande latérale basse comme la bande principale.

• Dans l’exemple de la figure precedante, pour les fréquences supérieures à fc+x, le gain du filtre est constant. • Pour les fréquences fc < |f| < fc+x, qui résident dans la bande principale, il y a une perte par rapport à la passe bande du filtre. • Pour les fréquences fc-x < |f| < fc, le gain du filtre n’est pas zéro, alors une partie de la bande latérale basse est passée par le filtre et le signal s. VSB(t) contient une bande résiduelle.

SVSB(f) où et Il faut noter que dû à la symétrie Hermitienne de la réponse en fréquence des systèmes réels.

La démodulation d’un signal VSB • Se fait de la même manière que le DSB-SC s. VSB(t) SVSB(f) × Filtre x(t) passe bas z(t) = Gm(t) X(f) Z(f) Arcos(2 pfct) • Pour que z(t) = Gm(t), il faut imposer une contrainte sur la réponse de filtre HVSB(f) du modulateur.

X (f) Bande de base

Z(f) Nous voulons que Z(f) = GM(f), où G est une constante. Si

• Alors z(t) = (Ac. Ar. K/4)m(t). • Si nous remplaçons et et f par Df nous obtenons (***) • (ce critère est nécessaire sur la bande du signal VSB). x 2 x 1 K f c -D f fc f c+ D f x 1*+x 2 = K

Filtres VSB • Filtres à bandes transitoires linéaires • Filtres à réponse en cosinus carré fc-x fc fc+x

Exemple • Le signal m(t) = 2 cos(2 p 10 t)+3 cos(2 p 30 t). Nous transmettons ce signal en utilisant la modulation VSB avec une porteuse c(t) = 5 cos(2 p 500 t). La réponse du filtre VSB est démontrée cidessous. Trouvez le signal s. VSB(t) ainsi que sa largeur de bande 1 480 500 520

Solution • Parce que la modulation VSB est faite par discrimination de fréquence, c’est mieux d’essayer de trouver la solution dans le domaine de fréquence. • On commence en trouvant M(f) et SDSB-SC(f). M(f) 1 SDSB-SC(f) 1. 5 -30 -10 10 30 2. 5 -530 -510 -490 -470 3. 75 470 490 510 530

• Après, on trouve SVSB(f) = SDSB-SC(f)HVSB(f) 2. 5 -530 -510 -490 -470 490 510 530 3. 75 HVSB(470)=0 HVSB(490)=1/4 HVSB(510)=3/4 HVSB(530)=1 3. 75 15/8 -530 -510 -490 -470 SVSB(f) 40 5/8 15/8 3. 75 470 490 510 530 s. VSB(t) = 7. 5 cos(2 p 530 t)+3. 75 cos(2 p 510 t)+ 1. 25 cos(2 p 490 t)

Exemple 2 • Démontrez qu’on peut démoduler s. VSB(t) de l’exemple précedante. • s. VSB(t)cos(2 p 500 t) = 7. 5 cos(2 p 530 t) cos(2 p 500 t) +3. 75 cos(2 p 510 t)cos(2 p 500 t) + 1. 25 cos(2 p 490 t)cos(2 p 500 t) = 3. 75 cos(2 p 30 t) + 3. 75 cos(2 p 1030 t) + 1. 875 cos(2 p 1010 t) + 0. 625 cos(2 p 990 t). • Après filtrage z(t) = 3. 75 cos(2 p 30 t) + 1. 875 cos(2 p 10 t) + 0. 625 cos(2 p 10 t) = 3. 75 cos(2 p 30 t) + 2. 5 cos(2 p 10 t) = 1. 25 m(t).