ELG 3575 10 La modulation FM large bande

ELG 3575 10. La modulation FM à large bande

La modulation de fréquence à large bande ( « Wideband FM » - WBFM) • La modulation FM à bande étroite exige que b. F << 1. • Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce n’est pas vrai sont considérés d’être la modulation à large bande. • Cependant, typiquement b. F > 1 • Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM à bande étroite parce que Dfmax est plus grande. • Alors, le spectre d’un signal FM à large bande est non zéro sur une plus grande gamme de fréquences.

Signal WBFM pour m(t) = Amcos 2 pfmt et son enveloppe complexe. • Prenons l’exemple où m(t) = Amcos 2 pfmt. • Le signal FM est :

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos 2 pfmt. • L’enveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal périodique avec fréquence fondamentale fm. où

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos 2 pfmt. • En remplaçant 2 pfmt par x, devient • La fonction de Bessel du premier genre d’ordre n, Jn(b) est donnée par : • Alors

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos 2 pfmt. • Alors l’enveloppe complexe peut être exprimé par • Et le signal FM est:

Le spectre du signal WBFM quand m(t) = Amcos 2 pfmt. • Le spectre de ce signal est : • Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste d’un nombre infini d’impulsions aux fréquences f = fc+nfm. • Alors la largeur de bande théorique d’un signal FM est infinie. • Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier genre, la plupart des impulsions de l’expression ci-dessus ne contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM. • Nous définissons la largeur de bande pratique d’un signal d’être la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du signal.

La fonction Jn(b)

Les propriétés de Jn(b) 1) Si n est un entier : Jn(b) = J-n(b) pour n paire et Jn(b) =-J-n(b) pour n impaire 2) Quand b << 1 J 0(b) ≈ 1 J 1(b) ≈ b/2 et Jn(b) ≈ 0, n > 1 3) 4) Im{Jn(b)}=0

Puissance du signal FM • La puissance d’un signal FM est : • Si on trouve la puissance à partir de l’expression ci-dessus, on trouve:

Filtrage d’un signal FM pour limiter sa largeur de bande. Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t) soit au moins 0. 99× la puissance de s. FM(t). où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations : et

• La puissance de x(t) est : • Alors, on doit choisir X pour que : • On sait que Jn 2(b. F) = J-n 2(b. F). Alors

Valeurs de la fonction Jn(b). n b=0. 1 b=0. 2 b=0. 5 b=1 b=2 b=3 b=5 b=10 0 0. 997 0. 99 0. 938 0. 765 0. 224 -0. 2601 -0. 178 -0. 246 1 0. 05 0. 1 0. 242 0. 44 0. 577 0. 3391 -0. 323 0. 043 2 0. 001 0. 005 0. 031 0. 115 0. 353 0. 4861 0. 047 0. 255 3 2× 10 -5≈0 1. 6× 10 -4 0. 0026 0. 02 0. 129 0. 3091 0. 365 0. 058 0. 002 0. 034 0. 1320 0. 391 -0. 220 5 0. 007 0. 0430 0. 261 -0. 234 6 0. 001 0. 0114 0. 131 -0. 014 0. 0025 0. 053 0. 217 8 0. 018 0. 318 9 0. 006 0. 292 10 0. 001 0. 207 4 7 11 0. 123 12 0. 063 13 0. 029

Exemple • • Le signal m(t) = Amcos(2 pfmt) va être transmis en utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour (a) Am = 5 V, fm = 20 Hz et kf = 4 Hz/V (b) Am = 10 V, fm = 400 Hz et kf = 200 Hz/V. SOLUTION (a) Dans cette exemple, b. F = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X pour que S = . Du tableau, si X = 1, S = (0. 7652+2× 0. 442)=0. 9648. Si X = 2, S = 0. 9648+2× 0. 1152 = 0. 9912. Alors X = 2 et B = 4 fm. (b) Ici, b. F = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S = 0. 994. Alors B = 12 fm.

La règle de Carson • Pour m(t) = Amcos(2 pfmt), si nous évaluons la largeur de bande pour chaque b où b est un entier, on trouve que X = b+1. • Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B = 2(b. F+1)fm. • Pour n’importe quel signal m(t) avec valeur maximum Am et largeur de bande Bm, la largeur de bande du signal modulé est difficile à trouver. • Mais le pire cas, c’est quand le spectre du signal m(t) est concentré autour de la fréquence f = Bm (comme une onde sinusoïdale). • Alors, la largeur de bande d’un signal FM, BFM, qui transmet le signal m(t) estimée par la loi de Carson qui dit : (*****)