Einfhrung in die Meteorologie I Teil III Meteorologische

Einführung in die Meteorologie I - Teil III: Meteorologische Zustandsvariable Clemens Simmer

Gliederung der Vorlesung 0 Allgemeines I Einführung II Zusammensetzung und Aufbau der Atmosphäre III Strahlung IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen V Thermodynamik der Atmosphäre --------------------------VI Dynamik der Atmosphäre VII Atmosphärische Grenzschicht VIII Synoptische Meteorologie 2

III Die atmosphärischen Zustandsvariablen III. 1 Luftdruck III. 2 Windgeschwindigkeit III. 3 Temperatur III. 4 Feuchte 3

III. 1 Luftdruck 1. Statische Grundgleichung → 3. Komponente der Bewegungsgleichung vertikale Integration der statischen Grundgleichung → Barometrische Höhenformel 2. Druckmessung 3. Globale horizontale Druckverteilung 4

III. 1. 1 Statische Grundgleichung und barometrische Höhenformel Die statische Grundgleichung -1/ρ ∂p/∂z = g beschreibt ein Gleichgewicht zwischen Schwerebeschleunigung (Massenanziehung g) und der Druckgradientbeschleunigung (-1/ρ ∂p/∂z). Die barometrische Höhenformel ist die integrierte Form der statischen Grundgleichung unter der Annahme, dass der Druck nur von der Höhe abhängt p(z)=-∫ρg dz + C Beide Gleichungen erlauben uns, den vertikalen Druckverlauf in der Atmosphäre in Abhängigkeit von Dichte und Temperatur zu bestimmen. 5

Ableitung der statischen Grundgleichung ∂p/∂z=-ρg Die Ableitung kann erfolgen - aus Skalenanalyse der 3. Komponente der Bewegungsgleichung - aus der 3. Komponente der Bewegungsgleichung bei ruhender Atmosphäre - aus dem Gewichtsaspekt. 6

Ableitung der statischen Grundgleichung aus Bewegungsgleichung Skalenanalyse: Betrachte die Größenordnung der Terme für großräumige Bewegungen → Beschleunigung, Coriolis und Reibung sind viel kleiner als Druckgradient und Schwerkraft. Achtung: Neben der statischen Grundgleichung fordert die ruhende Atmosphäre auch verschwindende horizontale Druckgradienten 7

Statische Grundgleichung aus Gewichtsüberlegungen Druck = Kraft/Fläche = Masse (m=ρ·V) x Beschleunigung (g) / Fläche (F=Δx·Δy) pt=0 zt z 2 ∆z z 1 m‘ p 2 m, ρ, V p 1 Δy Δx 8

Zur Variabilität der Schwerebeschleunigung g auf der Erde (1) • Die Erde lässt sich approximieren durch ein Rotationsellipsoid. • Die Ellipsoidform entsteht als Gleichgewichtsform zwischen Newtonscher Gravitation und Zentrifugalbeschleunigung. • Bedingung ist, dass die gesamte Schwerebeschleunigung senkrecht auf der Erdoberfläche steht. 9

Zur Variabilität der Schwerebeschleunigung g auf der Erde (2) • • Die Newtonsche Graviationsbeschleunigung g. N hängt vom Abstand des jeweiligen Ortes vom Massenschwerpunkt der Erde ab, d. h. sie nimmt mit der Breite und der Höhe über der Erdoberfläche ab. Die Zentrifugalbeschleunigung g. Z hängt vom Abstand von der Rotationsachse der Erde ab; sie nimmt also mit der Breite und der Höhe zu. Damit hängt g von der Breite und von der Höhe ab. Beobachtung von g auf der Erde bei NN (Normalnull, mittlere Höhe der Meeresoberfläche): • Es gilt genähert: • Die Schwerebeschleunigung ist proportional zum Abstand der Geopotentialflächen Φ (g=-d Φ/dz); NN bildet in etwa eine Geopotenzialfläche. Daraus folgt, dass der geometrische Abstand der Geopotenzialflächen mit der Breite ab- und mit der Höhe zunimmt. 10

Barometrische Höhenformel = Integration der statischen Grundgleichung über die Höhe z Verschiedene Annahmen: a) Homogene Atmosphäre (ρ(z)=const) b) Isotherme Atmosphäre (T(z)=const) c) Polytrope Atmosphäre (∂T/∂z=const) 11

Druckabnahme mit der Höhe in z der homogenen Atmosphäre r(z) = const, Dichte verändert sich mit der Höhe nicht. Es gilt die statische Grundgleichung: z 0 Der Druck hänge nur von der Höhe ab. Dann lassen sich die partiellen Änderungen (∂) in totale (d) umwandeln: Nach Variablentrennung (p↔z) integriert man beide Seiten vom Boden bis zur Höhe z (ρg=const): p Man erhält: Der Druck p nimmt linear mit der Höhe z ab; und zwar mit ρg ~ 1, 2 x 9, 81 = 0, 12 h. Pa/m 12

Druckabnahme in der isothermen Atmosphäre (1) z T(z) = const, Temperatur ändert sich mit der Höhe nicht. Dies ist eine bessere Näherung als ρ(z)=const. z 0 p Wie vorher können wir schreiben: Die Integration ist rechts nun nicht so einfach möglich, da die Dichte ρ nun noch von der Höhe z abhängt: Die Gasgleichung gestattet die Dichte ρ in die Temperatur T umzurechnen, die wir kennen (T(z)=const). Dies ganz oben eingesetzt ergibt: Während rechts einfach zu integrieren ist, müssen wir für die linke Seite noch die Stammfunktion von 1/p finden. Die Stammfunktion von 1/p ist der natürliche Logarithmus ln p. 13

Druckabnahme in der isothermen Atmosphäre (2) T(z) = const, Temperatur ändert sich mit der Höhe nicht. Dies ist eine bessere Näherung als ρ(z)=const. z z 0 p Dann erhalten wir für die Integration der linken Seite: …und damit insgesamt: Anwendung von exp(x) (=ex), der Umkehrfunktion des ln (ln(exp(x)≡exp(ln(x))=x) …ergibt schließlich die barometrische Höhenformel für die isotherme Atmosphäre: 14

Druckabnahme in der Atmosphäre - Abhängigkeit von der Temperatur km 20 warm mittel kalt 10 0 isotherm homogen 0 500 Annahme po=const • Bei gleicher bodennaher Temperatur ändert sich der Druck in homogenen Atmosphären in Bodennähe, wie bei isothermen Atmosphären der gleichen Dichte am Boden (siehe statische Grundgleichung). • Warme Atmosphären reichen höher oder haben in gleichen Höhen höhere Drücke als kalte Atmosphären. 1000 h. Pa 15

Druckabnahme in der polytropen z Atmosphäre (a) Annahme: ∂T(z)/∂z = const z 0 p 16

Die Höhe der Atmosphäre (1) • Die Höhe der homogenen Atmosphäre ist durch p=0 bestimmt. – Mittels der barometrischen Höhenformel für die homogene Atmosphäre erhalten wir p(=0)-p 0=-ρ0 g(z(p=0)-z 0) z-z 0=p 0/ρ0 g~8400 m – Diese Höhe kann dann noch nach den Gasbestandteilen differenziert werden über das Einsetzen des Partialdrucks und der Partialdichte. • Für andere Atmosphären, die nach oben keine Begrenzung haben, wird oft die Halbwertshöhe der Atmosphäre verwendet; das ist die Höhe bei halbem Bodendruck (~500 h. Pa). Sie liegt bei ca. 5, 5 km. 17

Die Höhe der Atmosphäre (2) • Üblicher für nach oben unbegrenzte Atmosphären ist die sogenannte Skalenhöhe einer Atmosphäre. – Sie ist die Höhe, bei der Druck auf 1/e des Bodendrucks (= 36, 79 %) gefallen ist. – Bei der isothermen Atmosphäre liegt die Skalenhöhe bei z-z 0=RLT/g , denn es gilt – Die Skalenhöhe der isothermen Atmosphäre ist also gleich der Höhe der homogenen Atmosphäre mit dem Bodendruck, bodennaher Dichte und Temperatur der isothermen Atmosphäre. 18

Temperaturprofil in Troposphäre und Stratosphäre (1) 19

Temperaturprofil in Troposphäre und Stratosphäre (2) • Allgemeine Temperaturabnahme in der Troposphäre – Solare Strahlung wird hauptsächlich am Erdboden absorbiert; dieser heizt die Atmosphäre von unten. – Aufsteigende Luft kühlt sich bei Ausschluss von Vermischung und Energieaustausch um 1 K/100 m ab (1. Hauptsatz der Wärmelehre). – Im Mittel stellt sich (u. a. durch Wolkenprozesse) eine Abnahme von 0, 65 K/100 m ein. – Aktuelle Profile können davon stark abweichen. • Allgemeine Temperaturzunahme in der Stratosphäre – Die Temperaturverteilung ist durch Strahlungseffekte dominiert. – Energetisch hohe Strahlung (0, 13 - 0, 17 µm) erzeugt Ozon (O 3) durch Dissoziation von molekularem Sauerstoff (O 2) und folgender Verbindung von O mit O 2. – Ozone zerfällt wieder durch Strahlung im UV (0, 20 – 0, 30 µm) – Bei diesen Prozessen wird viel Wärme frei, welche zur Temperaturerhöhung im oberen Teil der Stratosphäre führt. – Insgesamt ist die Skalenhöhe von Ozon nur 2 – 6 mm! 20

Übungen zu III. 1. 1 1. Welches Gewicht lastet durch die Luft auf einem m² am Erdboden? 2. Berechnen Sie die Temperaturänderung mit der Höhe in der homogenen Atmosphäre? Welche Temperatur herrscht dann an der Atmosphärenobergrenze? 3. Welche Höhenänderung erfährt die 500 h. Pa-Fläche in einer isothermen Atmosphäre von 0°C, wenn sich die Temperatur insgesamt um ± 1 K verändert? 4. Welchen Druck erfährt ein Pinguin im Vergleich zum Druck an der Meeresoberfläche (der sei 1000 h. Pa), wenn er 10 m tief in das Wasser taucht? Vernachlässigen Sie dabei die verschwindende Änderung der Schwerebeschleunigung und der Dichte des Wassers mit der Tiefe. 21

Zusatzübungen (Tutorium) zu III. 1. 1 1. Wie hoch wäre unsere Atmosphäre (Bodendruck 1013, 25 h. Pa, Temperatur 15°C) unter Annahme einer mit der Höhe konstanten Dichte? 2. Wie groß ist die Gesamtmasse der Erdatmosphäre? 3. Leite im Detail die barometrische Höhenformel für die polytrope Atmosphäre ab. 4. Berechne mit der barometrischen Höhenformel für die polytrope Atmosphäre die Druckabnahme bei einer Temperaturabnahme, die der homogenen Atmosphäre entspricht. 22