E E Dona Antnia Valadares MATEMTICA 1 ANO

E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA 1º ANO TEORIA DOS CONJUNTOS PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA http: //donaantoniavaladares. comunidades. net

Conjuntos: Não existe uma definição formalizada do que vem a ser um conjunto. O que temos é uma ideia ou uma noção do que vem a ser um conjunto. De uma maneira geral, temos que um conjunto é tudo aquilo que nos dá uma ideia de lista, coleção, agrupamento ou classe de objetos bem definidos Objetos: Qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc. . Elementos ou membros de um conjunto Prof: Alexsandro de Sousa

Elementos e Conjuntos Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto. Prof: Alexsandro de Sousa

Elementos e Conjuntos Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. Prof: Alexsandro de Sousa

Exemplo 1. Os números 1, 3, 7 e 10 2. As vogais do alfabeto: a, e, i, o e u 3. As pessoas que habitam a Terra 4. Os alunos que faltaram à aula 5. Os times de futebol do estado de Minas Gerais 6. Os números 2, 4, 6, 8, . . . Prof: Alexsandro de Sousa

n Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma classe torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia finito n Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira finito n Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8. . . infinito Prof: Alexsandro de Sousa

Prof. Alexsandro de Sousa Notação: Conjuntos: Letras maiúsculas: A, B, X, Y, . . . Elementos: Letras minúsculas: a, b, c, d. . . Por Extensão, Tabular ou Enumerativa: Descrição pela citação dos elementos: Por Propriedade Característica: A = { x I x é uma pessoa que habita a Terra } Representamos o conjunto através de uma propriedade B = { x I x é um rio do Brasil } característica de seus X = { x I x é um número primo positivo } elementos . Prof: Alexsandro de Sousa

Diagrama de Euler - Venn: A a e i o u B 1 3 7 10 Prof: Alexsandro de Sousa

Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10} . . . se lê 2 pertenece ao conjunto M. . . se lê 5 não pertenece ao conjunto M Prof: Alexsandro de Sousa

a A • a pertence ao conjunto A b A • b NÃO pertence ao conjunto A e A w A X = { x I x é um número primo positivo } 2 X 8 X 13 X 1 Não é um número primo Prof: Alexsandro de Sousa

CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “ Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } P={x/ } Prof: Alexsandro de Sousa

CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplos: F = { x / 2 x + 6 = 0 }; G= CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2 = 4 } Prof: Alexsandro de Sousa

CONJUNTO INFINITO É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par } CONJUNTO UNIVERSAL É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U Exemplo: de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS. Prof: Alexsandro de Sousa

INCLUSÃO Um conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B. NOTAÇÃO : Se lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA : B Prof: Alexsandro de Sousa A

PROPRIEDADES: I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) A está incluido em B ( que B contém A ( ) equivale a dizer ) IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( ) V) Simbolicamente: Prof: Alexsandro de Sousa

• Conjuntos Iguais : Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos Ex: A = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, d, e } A=B A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 3, 1, 4, 2 } A=B C = { 5, 6, 5, 7 } D = { 7, 5, 7, 6 } C=D • A 1 5 9 7 10 Prof: Alexsandro de Sousa B 1 5 8 7 10 A≠B

• Subconjuntos : A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B. A é subconjunto de B U B 9 7 A 1 10 Prof: Alexsandro de Sousa A é subconjunto de B 5 A está contido em B B contém A

U B A é subconjunto de B c d A a A está contido em B b e C = { 5, 6, 3, 2 } B contém A D = { 3, 5, 7, 6 } C não é subconjunto de D C não está contido em D Prof: Alexsandro de Sousa

Subconjuntos {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 6, 5} {9, 6} {2, 8} Prof: Alexsandro de Sousa

Conjunto das Partes: Chamamos de conjunto das Partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Escrever todos os subconjuntos do conjunto A = {0, 5, 7, 9}. -Subconjunto com nenhum elemento: -Subconjuntos com um elemento: {0}; {5}; {7}; {9} -Subconjuntos com dois elementos: {0, 5}; {0, 7}; {0, 9}; {5, 7}; {5, 9}; {7; 9} -Subconjuntos com três elementos: {0, 5, 7}; {0, 5, 9}; {0, 7, 9}; {5, 7, 9} -Subconjuntos com quatro elementos: {0, 5, 7, 9} O número total de subconjuntos é igual a 16. Prof: Alexsandro de Sousa

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Prof: Alexsandro de Sousa

O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos. Exemplo: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9} A 1 3 2 4 7 5 6 Prof: Alexsandro de Sousa 7 5 6 8 9 B

Diagramas de Venn representativos da união entre A e B. Prof: Alexsandro de Sousa

O conjunto “A intersecção B” que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B. é Exemplo: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9} A 1 3 2 4 7 5 6 Prof: Alexsandro de Sousa 7 5 6 8 9 B

Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B. Prof: Alexsandro de Sousa

O conjunto “A menos B” que se representa éo conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Exemplo: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9} A 1 3 2 4 7 5 6 Prof: Alexsandro de Sousa 7 5 6 8 9 B

Prof. Alexsandro de Sousa O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Exemplo: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9} A 1 3 2 4 7 5 6 Prof: Alexsandro de Sousa 7 5 6 8 9 B

Diagramas de Venn representativos de A - B. Diagramas de Venn representativos de B - A. Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA Complementar: Exemplo: Prof: Alexsandro de Sousa Prof. Alexsandro de Sousa

Prof. Alexsandro de Sousa Diagrama de Venn para Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA Prof. Alexsandro de Sousa Problemas Envolvendo Conjuntos. Exemplos: As provas de recuperação em matemática e física de uma escola foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a presença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova de matemática e 32 fizeram a de física, determine: a) O número de alunos que fizeram as duas provas; b) O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática; c) O número de alunos que fizeram apenas a prova de física. Prof: Alexsandro de Sousa

Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas Prof. Alexsandro de Sousa MATEMÁTICA empresas de fornecimento de água (A), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um bairro, obteve-se um grande número de reclamações. A tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados durante a pesquisa. Com base na tabela, determine: a) O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço; b) O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço oferecido pela empresa de fornecimento de água; c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um serviço; d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois serviços. Prof: Alexsandro de Sousa