Diskreetit todennkisyysjakaumat Kertymfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poissonjakauma Aki Taanila

Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Aki Taanila 21. 5. 2007

Satunnaismuuttuja l l l Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka liittyy satunnaisilmiöön Satunnaismuuttujan arvo selviää, kun satunnaisilmiö on tapahtunut Aki Taanila 21. 5. 2007 2

Diskreetti - Jatkuva l l Satunnaismuuttuja on diskreetti eli epäjatkuva, jos se voi saada vain tiettyjä arvoja (valmistuserän viallisten tuotteiden lukumäärä, tuotteen päivämyynnin kappalemäärä jne. ) Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos se voi tietyllä välillä saada minkä tahansa arvon (pörssiosakkeen hinta, sähkölampun kestoikä jne. ) Aki Taanila 21. 5. 2007 3

Diskreetti todennäköisyysjakauma Diskreetin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet Aki Taanila 21. 5. 2007 4

Onnenpyörä Jos onnenpyörän voiton todennäköisyys on 15%, niin viiden pyörityksen voittojen todennäköisyysjakauma on oheisen taulukon mukainen voittoja todennäköisyys 0 44, 3705% 1 39, 1505% 2 13, 8178% 3 2, 4384% 4 0, 2152% 5 0, 0076% Aki Taanila 21. 5. 2007 5

Kahden nopan heitto Silmälukujen summan todennäköisyysjakauma Aki Taanila 21. 5. 2007 6

Kertymäfunktio F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttajan arvo on korkeintaan x x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F(x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36 Kertymäfunktion avulla voidaan nopeasti laskea todennäköisyyksiä: P(X<7) = 15/36 0, 42 P(X>9) = 1 – 30/36 = 6/36 0, 17 P(4<X<9) = 26/36 – 6/36 = 20/36 0, 56 Aki Taanila 21. 5. 2007 7

Odotusarvo l Empiirisen jakauman keskiarvoa vastaava käsite todennäköisyysjakaumilla on odotusarvo. Esimerkkejä: l nopan heitossa silmäluvun odotusarvo on 3, 5 l vakuutusyhtiö on kiinnostunut tulevan vuoden vakuutuskorvausten odotusarvosta l sijoittaja on kiinnostunut tietyn arvopaperisalkun tuoton odotusarvosta Aki Taanila 21. 5. 2007 8

Odotusarvon laskeminen Jos todennäköisyysjakauma tunnetaan, niin odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksillä painotettu summa. Aki Taanila 21. 5. 2007 9

Binomijakauma l l Punaisten lukumäärä 15 ruletin pyörityksessä Viallisten lukumäärä viiden tuotteen erässä Ydinvoiman kannattajien määrä 1000 henkilön otoksessa Ostavien asiakkaiden määrä sisään saapuneista 100 asiakkaasta Aki Taanila 21. 5. 2007 10

Binomijakauma Bin(n, p) l l Oletetaan, että satunnaisilmiöllä on täsmälleen kaksi tulosvaihtoehtoa A (todennäköisyys p) ja B (todennäköisyys 1 -p), joiden todennäköisyydet säilyvät vakioina Todennäköisyys, että satunnaisilmiötä n kertaa toistettaessa saadaan A sattumaan k kertaa voidaan laskea binomijakauman avulla Aki Taanila 21. 5. 2007 11

Binomijakauma ja Excel Todennäköisyys =BINOMDIST(k; n; p; 0) Kertymäfunktio =BINOMDIST(k; n; p; 1) k = onnistumisten lukumäärä n = toistojen lukumäärä p = onnistumisen todennäköisyys Aki Taanila 21. 5. 2007 12

Poisson-jakauma l l 20 minuutissa liikkeeseen saapuvien asiakkaiden määrä Tuote-erässä esiintyvien viallisten määrä Autoliikkeen viikossa myymien autojen lukumäärä Risteyksessä vuoden aikana sattuvien onnettomuuksien määrä Aki Taanila 21. 5. 2007 13

Poisson jakauma l l Tietyssä aikavälissä (tai pinta-alassa, tilavuudessa jne. ) sattuvien harvinaisten tapahtumien lukumäärä noudattaa useimmissa käytännön tilanteissa likimain Poisson jakaumaa voidaan käyttää binomijakauman approksimaationa, kun n on suuri ja p on pieni (harvinainen tapahtuma) Aki Taanila 21. 5. 2007 14

Poisson jakauma l l Poisson jakaumaa käyttäen voidaan laskea todennäköisyys sille, että tietyssä aikavälissä (pintaalassa, tilavuudessa jne. ) tapahtuma tapahtuu k kertaa. Laskenta onnistuu, kunhan keskimääräinen tapahtumisten lukumäärä on tiedossa. Aki Taanila 21. 5. 2007 15

Poisson-jakauma ja Excel Todennäköisyys =POISSON(k; ; 0) Kertymäfunktio =POISSON(k; ; 1) k = onnistumisten lukumäärän odotusarvo Aki Taanila 21. 5. 2007 16

Jatkuvat todennäköisyysjakaumat Tiheysfunktio Kertymäfunktio Normaalijakauma Aki Taanila 21. 5. 2007

Normaalijakauma l l l Monet jatkuvat satunnaismuuttujat noudattavat normaalijakaumaa Yleisesti voidaan sanoa, että muuttujat joiden arvo määräytyy monen eri tekijän vaikutuksesta noudattavat normaalijakaumaa Esimerkkejä: mittausvirheet, teollisesti valmistettujen tuotteiden ominaisuudet, ihmisten fyysiset ominaisuudet, sijoitusten tuotot jne. Aki Taanila 21. 5. 2007 18

Tiheysfunktio Normaalijakauma määritellään tiheysfunktion avulla: tiheysfunktion alle jäävä pintaala = 1; pinta-ala edustaa todennäköisyyttä odotusarvo Aki Taanila 21. 5. 2007 19

Kertymäfunktio kohdassa x = Kohdan x vasemmalle puolelle jäävä pinta-ala = Todennäköisyys korkeintaan x: n suuruiselle arvolle: x Aki Taanila 21. 5. 2007 20

Normitettu jakauma N(0, 1) l l Kertymäfunktion arvoja on taulukoitu normaalijakaumalle, jonka odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1 Jakaumaa kutsutaan normitetuksi normaalijakaumaksi ja merkitään N(0, 1) 0 Aki Taanila 21. 5. 2007 21

Normitettu jakauma ja Excel Kertymäfunktio =NORMSDIST(z) Satunnaismuuttuja =NORMSINV(kertymäfunktio) z = normitetun jakauman satunnaismuuttujan arvo Aki Taanila 21. 5. 2007 22

Jakauman normittaminen Minkä tahansa normaalijakauman N( , ) satunnaismuuttuja voidaan muuntaa normitetun jakauman N(0, 1) satunnaismuuttujaksi: SAMA PINTA-ALA! x z Aki Taanila 21. 5. 2007 0 23

Normaalijakauma N( , ) ja Excel Kertymäfunktio =NORMDIST(x; ; ; 1) Satunnaismuuttujan arvo =NORMINV(kertymäfunktio; ; ) x = satunnaismuuttujan arvo = normaalijakuaman odotusarvo = normaalijakauman keskihajonta Aki Taanila 21. 5. 2007 24

Binomi - Normaali Jos binomijakaumassa on suuri toistojen määrä, niin jakaumaa voidaan approksimoida normaalijakauman avulla: Approksimaation tarkkuus paranee toistojen määrän kasvaessa. Approksimaatiota tarvitaan, koska binomijakauma on suurilla toistojen määrillä laskennallisesti vaikea (tosin nykyiset Excelin versiot osaavat binomijakauman melko isoillakin toistojen määrillä) Aki Taanila 21. 5. 2007 25