DERIVATIF A Pengertian Definisi Derivatif fungsi f ditulis

DERIVATIF

A. Pengertian. Definisi : Derivatif fungsi f (ditulis f’ ) adalah fungsi dengan rumus : f’ (x) = Apabila limit ini ada untuk setiap x ϵ Df.

Contoh : Carilah f’(x) jika : 1) f(x) = C, C adalah bilangan konstan sembarang. 2) f(x) = x 2 3) f(x) = Sin x Penyelesaiain : 1) f(x) = C maka f(x+∆x) = C

Jadi f(x) = xn maka f’ (x) = n xn-1 3) f(x) = Sin x maka f(x+∆x) = sin (x+∆x) Catatan : sin A – sin B = 2 sin (A-B) cos (A+B) f’ (x) = =

B. Derivatif Fungsi Aljabar. 1. f(x) = c → f’(x) = 0, dimana c = bil. Konstan atau : y = c → y’ = 0 2. y = xn → y’ = n xn-1 3. y = f(x) + g(x) → y’ = f’(x) + g’(x) 4. y = f(x). g(x) → y’ = f(x) g’(x) + f’(x) g(x) 5. y = → y’ = 6. Y= [f(x)]n → y’ = n [f(x)]n-1. f’(x)

Contoh : Tentukan derivatif dari fungsi berikut : 1) y = 5 → y’ = 0 2) y = x 5 ; maka y’ = 5 x 4 3) y = [ x 5 + 3 ] + [ x 2 + 5 ] → y’ = [5 x 4] + [2 x] 4) y = [ x 5 + 3 ]. [ x 2 + 5 ] → y’ = [ x 5 + 3 ]. [ 2 x ] + [ 5 x 4 ]. [ x 2 + 5 ] 5) y = → y’ = 6) y = [ x 5 + 3 ]7 = → y’ = 7 [ x 5 + 3 ]6. [ 5 x 4 ]

C. Derivatif Fungsi Trigonometri. 1. y = sin f(x) → y’ = f’(x) cos f(x) 2. y = cos f(x) → y’ = - f’(x) sin f(x) 3. y = tg f(x) → y’ = f’(x) 4. y = ctg f(x) → y’ = - f’(x) 5. y = sec f(x) → y’ = f’(x) sec f(x) tg f(x) 6. y = cosec f(x) → y’ = - f’(x) cosec f(x) ctg f(x)

D. Derivatif Fungsi Cyclometri. 1. y = arc sin f(x) → y’ = f’(x) 2. y = arc cos f(x) → y’ = - f’(x) 3. y = arc tg f(x) → y’ = f’(x) 4. y = arc ctg f(x) → y’ = - f’(x)

5. y = arc sec f(x) → y’ = f’(x) 6. y = arc cosec f(x) → y’ = - f’(x)

E. Derivatif Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponensial. 1. y = ln f(x) → y’ = f’(x) 2. y = → y’ = f’(x). 3. y = → y’ = f’(x). . ln a

F. Derivatif Fungsi Hiperbolicus. 1. y = sinh x → y’ = cosh x 2. y = cosh x → y’ = sinh x 3. y = tgh x → y’ = 4. y = ctgh x → y’ = - 5. y = sech x → y’ = - sech x. tgh x 6. y = cosech x → y’ = - cosech x. ctgh x

G. Garis Singgung dan Garis Normal. Misal diberikan suatu fungsi y=f(x) dengan titik P(x, y) pada kurva. Maka melalui titik P dapat dibuat garis singgung (≡ s) dan garis normal (≡ n). Dimana garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung.

sx y n P(x, y) x xx Garis singgung : s ≡ y – y 1 = f’(x 1) (x-x 1) Garis normal : n ≡ y – y 1 = - [1/f’(x)] (x-x 1)

Contoh : Cari garis singgung dan garis normal pada kurva y = x 2 -4 x + 3 di titik P(4, 3) Penyelesaian : y = f(x) = x 2 -4 x + 3 → y’ = f’(x) = 2 x - 4 → f’(x 1=4) = 2(4) – 4 = 4 P(4, 3) x 1 = 4 ; y 1 = 3. Persamaan garis singgung : s ≡ y – y 1 = f’(x 1) (x-x 1) y – 3 = 4 (x-4) y = 4 x - 13

Persamaan garis normal : n ≡ y – y 1 = - [1/f’(x)] (x-x 1) y – 3 = - [ ¼ ] (x-4) y = x + 4

H. Titik Stasioner Nilai Maksimum, Minimum, dan Titik Stasioner. 1) f(x 0 ) = nilai maksimum jika f pada domain S berlaku f(x 0 ) > f(x) untuk setiap x anggota dari S. 2) f(x 0 ) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x 0 ) < f(x) untuk setiap x anggota dari S. 3) Misal f(x) = 1/x dan S = [1, 3], maka f(1) = 1 adalah nilai maksimum dan f(3) = 1/3 adalah nilai minimum.

4) Titik Stasioner diperoleh dari f’(x) = 0. Merupakan titik yang akan memberikan f bernilai maksimum atau minimum. 5) Misal f(x) = x 2 dan S = [ -1, 3]. Maka titik di ujung interval adalah -1 dan 3, sehingga nilai f yaitu f( -1) = 1 dan f(3) = 9, belum bisa digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f.

6) Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2 x = 0, jadi x = 0, maka f(0) = 0 Sehingga f(x) = x 2 , nilai maksimumnya adalah 9 dan nilai minimumnya = 0. 7) Sebuah kapal terhenti di tengah laut di A, berjarak 2 mil ke pantai B, jika yang akan dituju untuk mencari bantuan adalah di C yang berjarak 6 mil dari B. Berapa waktu tercepat dari A ke C, jika, berlari di darat kecepatannya 10 mil/jam dan naik sekoci kecepatannya 6 mil/jam.

8) Kertas karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi-sisinya berukuran 15 cm. Jika setiap ujung dipotong berbentuk bujur sangkar. Berapa ukuran kotak terbuka dengan volume terbesar yang dapat dibuat dari karton tsb.