FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI n Definisi Misalkan A dan

  • Slides: 16
Download presentation
FUNGSI

FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI n Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari

PENGERTIAN FUNGSI n Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. n ATURAN : n n setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. A B

ILUSTRASI FUNGSI A f Input Kotak hitam B Output Ditulis f : A →

ILUSTRASI FUNGSI A f Input Kotak hitam B Output Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B disebut bayangan(image) dari a. Himpunan Rf: = { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) : = { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.

GRAFIK FUNGSI § Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut

GRAFIK FUNGSI § Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a, f(a) | a ∈ A} § Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: B A

CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) : =

CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) : = x 2+x+1. 2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana fungsi ini ditulis juga f(x) : = |x|. 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A → B dimana f(x) : = ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan diberikan perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4. 6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

 • CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte.

• CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan � 100/8�= � 12. 5�= 13 byte. • CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500, 000 * 60 = 30, 000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu � 300, 000/424� = 70, 754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI n Misalkan f, g : A → B maka fungsi f

OPERASI ALJABAR FUNGSI n Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x): = f(x)+g(x), (cf)(x): =cf(x), (fg)(x): =f(x) g(x). n Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x 2 dan g(x) : = x – x 2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x 3 -x 4. n Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. n Apakah fungsi f(x): =x-2 dan g(x): =(x 2 -4)/(x+2) sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) n Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x)

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) n Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x �y → f(x) �f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: ∀x ∀y [f(x) = f(y) x = y] atau ∀x ∀y [x �y → f(x) �f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x �y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. A B satu-satu A B tidak satu-satu

 • CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2,

• CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi injektif. • CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x 2 satu-satu ? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu. • CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh x + 5 ≠ y + 5 g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) n Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) n Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: ∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y maka f tidak surjektif. A B kepada A B tidak kepada

 • CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif

• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif ? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x 2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif. • CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi

FUNGSI BIJEKTIF • Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif

FUNGSI BIJEKTIF • Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu prabayangan di A. A B fungsi bijektif • CONTOH: Apakah fungsi f: {a, b, c, d} {1, 2, 3, 4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

INVERS FUNGSI n Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f

INVERS FUNGSI n Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL, y = f(x) ↔ x = f -1 (y) f(a) b=f(a) f -1(b)=a A f -1(b) B n Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

 • CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3}

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a. • CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI n Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f

KOMPOSISI FUNGSI n Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦ g)(x): = f(g(x)). n Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi ⊂ f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D. g f A B f◦g C