Cortes cutsets UFES Corte por arestas Em um

Cortes (cut-sets) UFES

Corte por arestas • Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Corte por arestas • rank de um grafo: r = n - (G) • Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo • corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Corte por arestas • corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Propriedades • Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G; • Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas; • Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Corte por Aresta (Bondy & Murty) • Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Corte por Aresta (Bondy & Murty) • Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ • Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Bond • Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G. • Em alguns livros o corte de arestas é denominado bond. • Se G é conexo, então um bond B de G é um subconjunto minimal de E tal que G-B é desconexo. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Exemplo: G Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Exemplo: G a b Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Exemplo: G a Conjunto de arestas que desconecta o grafo! b Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Exemplo: G a Mas não é minimal!!! b Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Exemplo: G a É um corte de arestas (bond)!! b Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Cotree • Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H). • Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então: a) a cotree T não contém corte de aresta de G; b) T + a contem um único corte de arestas de G. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Prova • Exercício!!!!! Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Conectividade e Separabilidade Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Conectividade de arestas • Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G)) • K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade. • K´(T) = ? ? , onde T é uma árvore. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Corte de vértices • Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo. • G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Conectividade de vértices • O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G)) • K(T) = ? ? , onde T é uma árvore. • Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Conectividade de vértices • K´(G) = K(G) = 0, G desconexo • K(G) n – 2, G Kn Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Grafo separável • Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1. • Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G 1 e G 2 tal que G 1 e G 2 tem apenas um vértice em comum. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Articulação • Vértice cuja remoção desconecta o grafo. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Teorema Seja G (V, E) um grafo conexo, |V| > 2. Então: a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; b) Uma aresta {p, q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G. Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Exemplo Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas, e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá -las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais? Maior conectividade de vértices e arestas Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Teorema A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Prova • Seja w o vértice de grau mínimo de G ( ) • É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w. • ≥ K´(G) Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Teorema A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Questão Sejam G = (V, E) um grafo e E´ um corte de arestas de G. É sempre possível encontrar um corte de vértices V´ tal que |V´| |E´|? Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

G, K(G) K´(G) Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES

Corolário Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas Teoria dos Grafos (INF 5037) UFES