GEOMETRIA CONCEITOS BSICOS GEO TERRA METRIA MEDIDAS PONTO

GEOMETRIA CONCEITOS BÁSICOS GEO= TERRA METRIA= MEDIDAS PONTO: A É LIMITADO, ISTO É, NÃO PODE EXTRAPOLAR SUA REPRESENÇÃO GEOMETRICA. EX: UM GRÃO DE AREIA REPRESENTADO POR UMA LETRA MAIÚSCULA DO NOSSO ALFABETO É INFINITA. RETA REPRESENTADA POR UMA LETRA MINÚSCULA DO NOSSO ALFABETO r PLANO α É ILIMITADO. REPRESENTADO POR UMA LETRA GREGA

TUDO QUE EXISTE É FORMADO POR PONTOS

PODEMOS ENTENDER UMA FIGURA GEOMÉTRICA (OU OBJETO) COMO A INTERSECÇÃO DE RETAS CONCORRENTES FORMADAS POR DIVERSOS PONTOS: POR UM PONTO PASSAM INFINITAS RETAS.

ALGUMAS FORMAS GEOMÉTRICAS FECHADAS AS FORMAS GEOMÉTRICAS FORMADAS POR SEGMENTOS (PEDAÇOS) DE UMA RETA SÃO CHAMADAS POLI = MUITOS GONOS = LADOS

NOMENCLATURA Nº DE LADOS NOMES • • 3 LADOS 4 LADOS 5 LADOS 6 LADOS 7 LADOS 8 LADOS 9 LADOS 10 LADOS • • TRI NGULO QUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÓGONO ENEÁGONO DECÁGONO

• • • 11 LADOS 12 LADOS 13 LADOS 14 LADOS 15 LADOS 16 LADOS 17 LADOS 18 LADOS 19 LADOS 20 LADOS • • • UNDECÁGONO DODECÁGONO TRIDECÁGONO TETRADECÁGONO PENTADECÁGONO HEXADECÁGONO HEPTADECÁGONO OCTADECÁGONO ENEADECÁGONO ICOSÁGONO TODO POLÍGONO QUE APRESENTA LADOS E NGULOS IGUAIS (CONGRUENTES) É CHAMADO REGULAR

ALGUNS POLÍGONOS REGULARES Utilize o programa cabri II para mais apresentações

NUM POLÍGONO DESTACAM-SE: VÉRTICE LADO VÉRTICE

TODA REGIÃO FORMADA DUAS SEMIRRETAS QUE TÊM A MESMA ORIGEM MAS NÃO ESTÃO CONTIDAS NA MESMA RETA É CHAMADA NGULO EXTERNO NGULO INTERNO

VALE LEMBRAR:

BISSETRIZ DE UM NGULO BISSETRIZ É UM SEGMENTO COM ORIGEM NO VÉRTICE DO NGULO QUE O DIVIDE EM DOIS NGULOS CONGRUENTES, .

ngulos complementares Dois ângulos cuja soma resulta em 90º são chamados complementares ngulos suplementares Dois ângulos cuja soma resulta em 180º são chamados suplementares ângulo complemento 80º 10º 20º 70º 30º 60º 45º 52º 38º 63, 5º 26, 5º 70, 42º 19, 58º 81º 9º 90º não existe ângulo suplemento 10º 170º 30º 150º 45º 135º 63, 5º 116, 5º 81º 98º 90º 100º 80º 120º 60º 152, 5º 27, 5º

VOLTANDO AOS POLÍGONOS, CITAMOS: • POLÍGONOS CÔNCAVOS • POLÍGONOS CONVEXOS NA UNIÃO DE DOIS PONTOS DESTES POLÍGONOS POR UM SEGMENTO DE RETA ALGUNS PONTOS DO SEGMENTO FICAM LOCALIZADOS NA REGIÃO EXTERNA DO POLÍGONO NA UNIÃO DE DOIS PONTOS DESTES POLÍGONOS POR UM SEGMENTO DE RETA, TODOS PONTOS DESTE SEGMENTO FICAM LOCALIZADOS NA REGIÃO INTERNA DO POLÍGONO

A SOMA DE UM NGULO INTERNO COM O EXTERNO EM QUALQUER POLÍGONO CONVEXO RESULTA EM 180º.

NGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE β α α = β

SOMA DOS NGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO VEJA O QUE ACONTECE EM ALGUNS POLÍGONOS COM RELAÇÃO AOS SEUS NGULOS INTERNOS : 180º 360º

360º + 180º= 540º Utilize o programa cabri II para demonstrar a soma dos ângulos internos

PARTINDO DE UM ÚNICO VÉRTICE, DESCUBRA QUANTOS TRI NGULOS SÃO POSSÍVEIS DE SEREM FORMADOS EM CADA FIGURA PLANA, UNINDO VÉRTICES OPOSTOS: ? 1 TRI NGULO= 180º 3 TRI NGULOS= COMO EM CADA 540º TRI NGULO A SOMA DOS NGULOS INTERNOS É 180º , TEMOS: 2 TRI NGULOS= 360º 4 TRI NGULOS= 720º 6 TRI NGULOS= 1080º

PERCEBE-SE: NOME DA FIGURA Nº DE LADOS SOMA DOS NGULOS INTERNOS Nº DE TRI NGULOS TRI NGULO 3 1 180º QUADRILÁTERO 4 2 360º PENTÁGONO 5 3 540º HEXÁGONO 6 4 720º HEPTÁGONO 7 5 900º OCTÓGONO 8 6 1080º ENEÁGONO 9 7 1260º DECÁGONO 10 8 1440º . . . COM n LADOS n n - 2 (n – 2). 180º

EM QUALQUER POLÍGONO CONVEXO A SOMA DOS NGULOS EXTERNOS É 360º

CHAMAMOS DIAGONAL DE UM POLÍGONO O SEGMENTO DE RETA QUE UNE DOIS VÉRTICES OPOSTOS : 2 DIAGONAIS 5 DIAGONAIS CONTE NESTE. . . 9 DIAGONAIS COMO DE CADA VÉRTICE SEGUEM 5 DIAGONAIS, PODEMOS ENTENDER COMO 5 x 8 VÉRTICES = 40. COMO CADA DIAGONAL SERÁ CONTADA DUAS VEZES, 40 / 2 = 20

PERCEBE-SE: NOME DA FIGURA Nº DE LADOS NÚMERO DE DIAGONAIS TRI NGULO 3 0 QUADRILÁTERO 4 2 PENTÁGONO 5 5 HEXÁGONO 6 9 HEPTÁGONO 7 14 OCTÓGONO 8 20 ENEÁGONO 9 27 DECÁGONO 10 35 . . n (n-3). n 2 COM n LADOS

UNIDADE DE MEDIDA • METRO: UNIDADE PADRÃO QUE CORRESPONDE A DÉCIMA MILIONÉSIMA PARTE DE UM ARCO TERRESTRE QUE LIGA A CIDADE DE PARIS AO POLO NORTE.

SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS • km (Quilômetro) = 1000 metros • hm (Hectômetro)= 100 metros • dam (Decâmetro) = 10 metro • dm (Decímetro) = 1/10 do metro • cm (Centímetro)= 1/100 do metro • mm (Milímetro) = 1/1000 do metro km hm dam m dm cm mm

PARA TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDAS USA-SE “MOVER” A VÍRGULA PARA A DIREITA OU ESQUERDA CONFORME SOLICITADO: • • • TRANSFORME NAS UNIDADES PEDIDAS 2 km = m 2000 240 • 2, 4 km = dam 2, 45 hm = cm 24500 80 • 0, 08 hm = dm 435 mm = dam 0, 0435 • 43 mm = dm 0, 43 2, 35 cm = m 0, 0235 2, 35 • 235 cm = m 0, 015 15 m = km 0, 15 • 15 dm = dam km hm 2 3 unidades 0, 0435 dam m 2 , 0 0 0 dm 4 unidades cm mm 435

PERÍMETRO É A SOMA DAS MEDIDAS DOS LADOS DE UMA FIGURA PLANA NÃO SE DEVE ADICIONAR UNIDADES DE MEDIDAS DIFERENTES FAÇA A TRANSFORMAÇÃO QUANDO PRECISO

ÁREA DE UMA FIGURA PLANA QUANTOS QUADRADOS COMO O INDICADO NA FIGURA CABEM NO RET NGULO? 1 c m ÁREA DO QUADRADO= 1 cm 2 ÁREA É A QUANTIDADE QUE ÁREA DO UMA UNIDADE MENOR RET NGULO “CABE” EM OUTRA MAIOR = 18 cm 2 ÁREA DO RET NGULO= base x altura = b. h ÁREA DO QUADRADO= LADO X LADO

NOS TRI NGULOS TEMOS: A = b. h 2 TRI NGULO EQUILÁTERO EM QUALQUER TRI NGULO CONHECENDO SUAS MEDIDAS

OUTROS POLÍGONOS • LOSANGO • TRAPÉZIO A= b. h. 2 + A = d. D ou A= (B + b). h ou B. h + b. h 2 2

HEXÁGONO OUTROS POLÍGONOS RECORTE-OS, ACHANDO A ÁREA SEPARADAMENTE E SOME OS RESULTADOS OBTIDOS A= 6 TRI NGULOS EQUILÁTEROS A= ÁREA DO TRI NGULO + + ÁREA DO TRAPÉZIO

NO CÍRCULO COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA = 2. r. ÁREA DO CÍRCULO = r 2. CORDA RAIO DI METRO Comprimento x raio 2 = =r².

=3, 1416. . . Veja porquê: EM QUALQUER CÍRCULO A DIVISÃO ENTRE O SEU COMPRIMENTO E SEU DI METRO RESULTA EM 3, 1416. . . PERCEBE-SE: = Como d = 2 r

POSIÇÕES DE UM PONTO P E UMA CIRCUNFERÊNCIA P é externo P é interno x x w y z z Teorema de Thales

TRI NGULOS CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: UM TRI NGULO SÓ EXISTE SE A SOMA DAS MEDIDAS DE DOIS LADOS QUAISQUER FOR MAIOR QUE A MEDIDA DO TERCEIRO LADO 3 cm 6 cm 3 cm 2 cm 6 cm 7 cm 3 + 6 > 7 2 + 3 < 6

SÃO CLASSIFICADOS. . . QUANTO AOS LADOS: ESCALENO = TODOS OS LADOS TÊM MEDIDAS DIFERENTES ISÓSCELES = DOIS DE SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES, OU SEJA, TÊM MEDIDAS IGUAIS EQUILÁTERO = PREFIXO EQUI QUER DIZER IGUAL E LÁTERO É LADO, LOGO, OS 3 LADOS SÃO IGUAIS

SÃO CLASSIFICADOS. . . QUANTO AOS NGULOS: ACUT NGULO =TODOS OS NGULOS SÃO AGUDOS, OU SEJA, MENORES QUE 90º OBTUS NGULO = APRESENTA UM NGULO OBTUSO, OU SEJA, MAIOR QUE 90º RET NGULO= É AQUELE QUE TEM UM NGULO RETO, OU SEJA, IGUAL A 90º NGULO RETO

ALTURA MEDIANA MEDIATRIZ M h M segmento de reta perpendicular M Segmento de reta Divide o lado oposto em 2 perpendicular aos lados segmentos congruentes traçada pelos pontos médios

É BOM SABER: O ponto de interseção O circuncentro é o O ponto de interseção das alturas é o centro da circunferência das três medianas é o ortocentro circunscrita ao triângulo. baricentro ou centro de gravidade.

COMO THALLES MEDIU A ALTURA DA GRANDE PIR MIDE: Raios solares Altura da pirâmide(H) Estaca (h) Sombra da estaca (s) Base/2 Sombra da pirâmide (S)

Este é um caso de semelhança de triângulos • Triângulos são considerados semelhantes quando se igualam na forma nas medidas de seus ângulos, porém, diferem quanto a medidas de seus lados.

Quanto a sua praticidade podemos A sombra de uma citar: pessoa que tem 1, 80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2, 00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: • a) 30 cm • b) 45 cm • c) 50 cm • d) 80 cm • e) 90 cm x 1, 80 60 cm = 0, 6 m 1, 80 2 m Com a sombra do poste diminuindo em 50 cm, temse: y

TRI NGULO RET NGULO É AQUELE QUE APRESENTA UM NGULO RETO (90º) NELE DESTACAM-SE: O LADO MAIOR É A HIPOTENUSA (À FRENTE DO NGULO RETO (a) (b) (c) OS OUTROS LADOS SÃO OS CATETOS

TEOREMA DE PITÁGORAS OS QUADRADOS A HIPOTENUSA POSSUEM ÁREAS IGUAIS A 9 E 16 AO QUADRADO É IGUAL A SOMA O QUADRADO MAIOR TEM ÁREA DOS IGUAL A 25 QUADRADOS LOGO, SEU DOS CATETOS LADO MEDE 5, POIS 5²= 25 OU a² = b² + c² DEFINI-SE, ENTÃO:

RELAÇÕES MÉTRICAS EXISTENTES NO TRI NGULO RET NGULO: CONHEÇA MAIS ALGUNS ELEMENTOS NESTE TRI NGULO b m PROJEÇÃO DO CATETO (b) SOBRE A HIPOTENUSA ALTURA RELATIVA À HIPOTENUSA c h n PROJEÇÃO DO CATETO (c) SOBRE A HIPOTENUSA

Considere o quadrado de lado a e área a² b a a h Dividindo o triângulo abc, Perceba os triângulos A área do triangulo de retângulos de catetos b e c temos: lados abc é dada por a² = b² + c² c. b. . . c 2 a = m + n a. h = b. c ou. . . Teorema de Pitágoras n m h a² = b² + c² a a. h 2 Logo, c. b =a. h, daí: 2 2 a. h = b. c

Para melhor entendimento mostra-se a medida dos lados do triângulo B h² = (10 - n)² - 64 ( I ) e 8 cm 6 cm h m A n 10 cm D m + n = 10, logo, m = 10 – n. h² = n² - 36 ( II ) Igualando (I) e (II) tem-se: C Por Pitágoras, no triângulo ADB temos: (10 - n)² - 64 = n² - 36 n = 3, 6 8² = h² + m² e no triângulo CDB temos: 6² = h² + n² Trocando m por 10 – n e isolando no 1º termo h² tem -se: Se n= 3, 6, então, m= 6, 4 e h = 4, 8

Como • 8² = 10 x 6, 4 b² = a. m B c = 6 cm b = 8 h = 4, 8 m = 6, 4 A a = 10 • 6² = 10 x 3, 6 c² = a. n n =3, 6 C • 10 x 4, 8 = 6 x 8 a. h = b. c • 10 = 6, 4 + 3, 6 a = m + n • 4, 8² = 6, 4 x 3, 6 h² = m. n

TRIGONOMETRIA • TRIGONO = TRI NGULOS • METRIA = MEDIDAS É A PARTE DA MATEMÁTICA QUE ESTUDA AS RELAÇÕES E RAZÕES EXISTENTES ENTRE OS LADOS DO TRI NGULO E SEUS NGULOS.

CONSIDERE O TRI NGULO RET NGULO ABAIXO: β é Cateto adjacente à β Cateto oposto à α um âng agu ulo do β HIP O O lado do triângulo que “forma” o ângulo junto com a O lado do triângulo hipotenusa é situado à frente do chamado cateto ângulo é chamado adjacente cateto oposto TE NU SA α Cateto adjacente à α Cateto oposto à β α é um ângulo agudo

Observe a seqüência de triângulos semelhantes Essa razão é chamada seno de um ângulo Essa razão é chamada coseno de um ângulo Essa razão é chamada tangente de um ângulo 20 15 12 9 10 5 6 3 16 12 8 4

RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER • LEI DOS SENOS DO VÉRTICE C DO VÉRTICE A DO VÉRTICE B OBSERVE O TRI NGULO ESCALENO TRAÇAMOS UM INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA DE SEGMENTO PASSANDO RAIO R PELO CENTRO C a γ Senα= _a_ Senγ =__c__ Sen β =_b_ 2 R = a__ 2 R = _c_ 2 R Senα Senγ β bα Cat eto a β o op st po o ost o to te c Ca β 2 R = a = b = c = Senα Sen β Senγ A Cateto oposto a α γa B EM QUALQUER TRI NGULO ABC, AS MEDIDAS DOS LADOS SÃO PROPORCIONAIS AOS SENOS DOS NGULOS OPOSTOS

• LEI DOS COSSENOS CONSIDERE O NGULO A DO TRI NGULO No triângulo ABH temos: No triângulo CBH temos: c 2 = m 2 + h 2 a 2 = (b –m)2 + h 2 = a 2 – (b – m)2 (II) Daí: c 2 = (cos. A. c)2 + h 2 De (I) = (II) temos h 2 = (cos. A. c)2 - c 2 a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos. A h 2 = cos 2 A. c 2 - c 2 (I) h b - m m H O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam

GEOMETRIA ESPACIAL ESTUDA OS SÓLIDOS GEOMETRICOS, SUAS RELAÇÕES, CARACTERÍSTICAS E PARTICULARIDADES DIVIDIMOS EM DOIS GRANDES GRUPOS POLIEDROS CORPOS REDONDOS

É IMPORTANTE SABER: DUAS OU MAIS RETAS SÃO COPLANARES QUANDO EXISTE RETAS COPLANARES QUE TEM TODOS OS PONTOS • RETAS COPLANARES QUE NÃO TEM UM PONTO EM CADA PLANO, HÁ INFINITAS RETAS COPLANARES QUE TEM UM ÚNICO PONTO EM NO ESPAÇO HÁ INFINITOS PLANOS EM COMUM SÃO CHAMADAS COINCIDENTES UM PLANO QUE AS CONTÉM EM COMUM SÃO CHAMADAS PARALELAS COMUM SÃO CHAMADAS CONCORRENTES t α r s r r r s s Retas reversas ou nãocoplanares são retas que estão em plano distintos r x s x t r //s//t s t r é reversa à s

POLIEDROS • SÓLIDOS GEOMÉTRICOS CUJAS FACES SÃO POLÍGONOS. vértices faces arestas

NOMENCLATURA Nº DE FACES NOMES • • 4 FACES 5 FACES 6 FACES 7 FACES 8 FACES 9 FACES 10 FACES • • TETRAEDRO PENTAEDRO HEXAEDRO HEPTAEDRO OCTAEDRO ENEAEDRO DECAEDRO

Nº DE FACES NOMES • • • 11 FACES 12 FACES 13 FACES 14 FACES 15 FACES 16 FACES 17 FACES 18 FACES 19 FACES 20 FACES • • • UNDECAEDRO DODECAEDRO TRIDECAEDRO TETRADECAEDRO PENTADECAEDRO HEXADECAEDRO HEPTADECAEDRO OCTADECAEDRO ENEADECAEDRO ICOSAEDRO

Para facilitar a construção. . .

Número de vértices, arestas e faces num poliedro 1 1 6 3 4 1 3 5 4 5 Vértices= 84 Faces= 46 6 7 3 2 4 4 2 2 8 arestas= 612 1 3 2

VERIFIQUE NESTES POLIEDROS NOME FACES VÉRTICES ARESTAS OCTAEDRO 8 6 12 TRONCO DA PIR MIDE 6 8 12 PIR MIDE 7 7 12 PRISMA 5 6 9

NOTE QUE A QUANTIDADE DE ARESTAS, É DUAS UNIDADES MENOR QUE A SOMA DAS FACES E VÉRTICES: NOME FACES VÉRTICES ARESTAS OCTAEDRO 8 6 12 TRONCO DA PIR MIDE 6 8 12 PIR MIDE 7 7 12 PRISMA 5 6 9 FACES + VÉRTICES = ARESTAS + 2 RELAÇÃO DE EULLER

POLIEDROS DE PLATÃO • PORQUE TEM POLÍGONOS REGULARES IGUAIS COMO FACES E QUALQUER FACE QUE ESTIVER NA POSIÇÃO INFERIOR NÃO ALTERA A APRESENTAÇÃO

EXISTEM SOMENTE CINCO POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS

PLANIFICAÇÃO DE POLIEDROS • CUBO • PARALELEPÍPEDO • TETRAEDRO RET NGULO UTILIZE O PROGRAMA POLY E VEJA MAIS PLANIFICAÇÕES

• PRISMA DE BASE HEXAGONAL • CILINDRO • PIR MIDE DE • ICOSÁEDRO BASE HEXAGONAL

• PIR MIDE DE BASE QUADRADA • PENTAEDROS • OCTAEDRO • HEPTAEDRO OU PRISMA DE BASE PENTAGONAL DODECAEDRO

PRISMAS

Tal como nos polígonos, os poliedros também podem ser convexos e não-convexos. POLIEDROS CONVEXOS POLIEDROS NÃO-CONVEXOS Obs. O estudo a partir daqui vai considerar apenas os polígonos convexos. Por isso, quando aparecer a palavra polígono considere-o convexo

CUBO • ÁREA DA BASE = l 2 • ÁREA TOTAL = 6 l 2 • ÁREA LATERAL = 4 l 2 • VOLUME = l 3 ou ÁREA DA BASE x ALTURA DIAGONAL DA BASE E DO CUBO POR PITÁGORAS. . . DIAGONAL DO CUBO DIAGONAL DA BASE l l

PARALELEPÍPEDO RET NGULO ÁREA DA BASE = a. b ÁREA LATERAL = 2. (a. c + b. c) ÁREA TOTAL = 2. ÁREA DA BASE + ÁREA LATERAL ou 2. Ab + Al VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA (c) a ou a. b. c DIAGONAL. . . b b a c b b c c d x a POR PITÁGORAS. . . x 2 = a 2 + b 2, logo d 2 = c 2 + x 2

OUTROS PRISMAS DE BASES POLIGONAIS: • BASE TRIANGULAR • BASE HEXAGONAL ÁREA DA BASE = (ÁREA DO POLIGONO QUE A FORMA) ÁREA TOTAL = 2. AB + AL VOLUME= AB. h = ÁREA LATERAL =

PIR MIDES • PIR MIDE DE BASE QUADRADA • PIR MIDE DE BASE • TRI NGULAR PIR MIDE DE BASE HEXAGONAL

ELEMENTOS ALTURA APÓTEMA DA PIR MIDE ALTURA DE CADA FACE APÓTEMA DA BASE TODAS AS FACES LATERAIS SÃO TRIANGULARES

CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE (m) BASE QUADRADA BASE TRIANGULAR BASE HEXAGONAL a m METADE DO LADO DA BASE m= h m UM TERÇO DA ALTURA DO TRI NGULO m= a h = m ALTURA DE UM DOS TRI NGULOS QUE FORMAM O HEXÁGONO

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIR MIDE (g) g g h g m h h m g 2 = m 2 + h 2 m

ÁREAS ÁREA DA BASE = (ÁREA DO POLIGONO QUE A FORMA) ÁREA LATERAL = a. g. n , sendo n a quantidade de faces 2 laterais ÁREA TOTAL = AB + AL

Volume do cubo = l³= 6³ = 216 VOLUME VEJA O CUBO DE LADO 6 Traçam-se as 4 diagonais. (lembre-se a diagonal do cubo é 6 Destaca-se uma pírâmide de altura 6/2 = 3 Note que há 6 pirâmides iguais a essa Logo, o volume de cada pirâmide é 216/6 = 36 Se a base da pirâmide é 6, e sua altura é 3, definimos: V= AB. h 3

TRONCO DE PIR MIDES DE BASES PARALELAS CONSIDERE UM PLANO α PARALELO À BASE DE UMA PIR MIDE, SEPARANDO-A EM 2 POLIEDROS: TRONCO DA PIR MIDE É A DIST NCIA ESTABELECIDA ENTRE AS DUAS BASES PARALELAS E A ALTURA DO TRONCO

VOLUME DO TRONCO: V= VOLUME DA PIR MIDE MAIOR – VOLUME DA PIR MIDE MENOR AB. (k + h) – Ab. h ou 3 h K A ÁREA TOTAL É OBTIDA PELA ÁREA DOS TRAPÉZIOS QUE FORMAM A LATERAL DO TRONCO E DE SUAS BASES Na prática é mais adequado utilizar a subtração entre os volumes das pirâmides para obter o volume do tronco, porém, fica a critério de cada um decidir qual processo será utilizado.

CILINDRO • ELEMENTOS PLANIFICAÇÃO ÁREA LATERAL= (Comprimento). (altura) ÁREA DA BASE = r 2 ÁREA TOTAL = 2 Ab + Al VOLUME = Ab. h BASES COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA (BASE) 2 r

Sólido limitado pela superfície gerada por uma reta que desliza sobre um ponto fixo no espaço (vértice) e pelo plano da curva diretriz ALTURA CONE PLANIFICAÇÃO GERATRIZ RAIO ELEMENTOS CÍRCULO SETOR CIRCULAR

ÁREAS E VOLUMES ÁREA DA BASE= (ÁREA DO CÍRCULO) R ÁREA LATERAL (ÁREA DO SETOR CIRCULAR) g ÁREA TOTAL = AB + AL VOLUME V= AB. h 3 ou

TRONCO DO CONE P L B A R N I h g F Área da base menor: b r I C Área da Base maior: A Área Lateral: Ç Área Total: Volume: AB + Ab + AL Ã O

ESFERAS ELEMENTOS RAIO CÍRCULO MÁXIMO

VOLUME PRINCÍPIO DE CAVALIERI

DAÍ, ESTABELECE-SE: • VOLUME = • ÁREA = 4 R 2 R 3

ALGUMAS FIGURAS QUE PODEM SER COPIADAS PARA ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES PARA TANTO BASTA CLICAR SOBRE ELAS. . . (NÃO NO MODO DE EXIBIÇÃO) AS FIGURAS ESTÃO REMONTADAS. ARRASTE-AS

Ficha técnica: CONTEÚDO : GEOMETRIA EIXO: NÚMEROS, OPERAÇÕES E FUNÇÕES HABILIDADES E COMPETÊNCIAS: v. ENTENDER O SIGNIFICADO DA GEOMETRIA, SEUS PRINCíPIOS E SUAS RELAÇÕES. v. RECONHECER AS FORMAS GEOMETRICAS E SEUS ELEMENTOS. v. SABER RESOLVER CORRETAMENTE ATIVIDADES DO COTIDIANO QUE ENVOLVE ESSES ELEMENTOS E RELAÇÕES. ELABORADO POR CLECIO GERALDO ZANETTI Clecio_zanetti@yahoo. com