Corpuri geometrice arii i volume Profesor MARIUS FRATILA
![Corpuri geometrice arii şi volume Profesor : MARIUS FRATILA Scoala cu clasele I-VIIII Ulmeni, Corpuri geometrice arii şi volume Profesor : MARIUS FRATILA Scoala cu clasele I-VIIII Ulmeni,](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-1.jpg)
![Corpuri geometrice Poliedre: • Prisma • Piramida • Trunchiul de piramidă Corpuri geometrice Poliedre: • Prisma • Piramida • Trunchiul de piramidă](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-2.jpg)
![Prisma B’ C’ D’ E’ C’ F’ A’ A’ B’ A’ h E D Prisma B’ C’ D’ E’ C’ F’ A’ A’ B’ A’ h E D](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-3.jpg)
![Desfăşurarea prismei Prisma triunghiulară Paralelipipedul dreptunghic Prisma hexagonală Desfăşurarea prismei Prisma triunghiulară Paralelipipedul dreptunghic Prisma hexagonală](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-4.jpg)
![Aria şi volumul prismei Orice prismă are două baze, care pot fi triunghiuri, patrulatere, Aria şi volumul prismei Orice prismă are două baze, care pot fi triunghiuri, patrulatere,](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-5.jpg)
![Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea prismei: V = Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea prismei: V =](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-6.jpg)
![Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă patrulateră dreaptă. Toate feţele paralelipipedului dreptunghic Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă patrulateră dreaptă. Toate feţele paralelipipedului dreptunghic](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-7.jpg)
![Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, la care toate cele trei dimensiuni Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, la care toate cele trei dimensiuni](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-8.jpg)
![Piramida regulată V V V h h h ap ap ap E C B Piramida regulată V V V h h h ap ap ap E C B](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-9.jpg)
![Desfăşurarea piramidei piramida triunghiulară regulată piramida patrulateră regulată piramida hexagonală regulată Desfăşurarea piramidei piramida triunghiulară regulată piramida patrulateră regulată piramida hexagonală regulată](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-10.jpg)
![Aria şi volumul piramidei regulate Piramidele au o singură bază, care poate fi orice Aria şi volumul piramidei regulate Piramidele au o singură bază, care poate fi orice](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-11.jpg)
![Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii piramidei: V Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii piramidei: V](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-12.jpg)
![Trunchiul de piramidă regulată Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem Trunchiul de piramidă regulată Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-13.jpg)
![Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale, care au Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale, care au](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-14.jpg)
![Poligoane regulate Poligoanele regulate sunt poligoane ale căror laturi sunt congruente şi ale căror Poligoane regulate Poligoanele regulate sunt poligoane ale căror laturi sunt congruente şi ale căror](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-15.jpg)
![Triunghiul echilateral r=l· 3/3=2 a a=r/2=l· 3/6 l l=r· 3=2 a· 3 R a Triunghiul echilateral r=l· 3/3=2 a a=r/2=l· 3/6 l l=r· 3=2 a· 3 R a](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-16.jpg)
![Pătratul r=l· 2/2=a 2 a=r· 2/2=l/2 l=r· 2 = 2 a l A= l Pătratul r=l· 2/2=a 2 a=r· 2/2=l/2 l=r· 2 = 2 a l A= l](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-17.jpg)
![Hexagonul regulat r = l = a · 2 3 /3 a=r· 3/2=l· 3/2 Hexagonul regulat r = l = a · 2 3 /3 a=r· 3/2=l· 3/2](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-18.jpg)
![Probleme 1. Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m. 2. Determinaţi Probleme 1. Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m. 2. Determinaţi](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-19.jpg)
- Slides: 19
![Corpuri geometrice arii şi volume Profesor MARIUS FRATILA Scoala cu clasele IVIIII Ulmeni Corpuri geometrice arii şi volume Profesor : MARIUS FRATILA Scoala cu clasele I-VIIII Ulmeni,](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-1.jpg)
Corpuri geometrice arii şi volume Profesor : MARIUS FRATILA Scoala cu clasele I-VIIII Ulmeni, judetul Buzau
![Corpuri geometrice Poliedre Prisma Piramida Trunchiul de piramidă Corpuri geometrice Poliedre: • Prisma • Piramida • Trunchiul de piramidă](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-2.jpg)
Corpuri geometrice Poliedre: • Prisma • Piramida • Trunchiul de piramidă
![Prisma B C D E C F A A B A h E D Prisma B’ C’ D’ E’ C’ F’ A’ A’ B’ A’ h E D](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-3.jpg)
Prisma B’ C’ D’ E’ C’ F’ A’ A’ B’ A’ h E D B A C’ B’ h h C D’ C B D F C A B A Prismă triunghiulară Paralelipiped dreptunghic Prismă hexagonală Muchiile laterale au aceeaşi lungime ca înălţimea.
![Desfăşurarea prismei Prisma triunghiulară Paralelipipedul dreptunghic Prisma hexagonală Desfăşurarea prismei Prisma triunghiulară Paralelipipedul dreptunghic Prisma hexagonală](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-4.jpg)
Desfăşurarea prismei Prisma triunghiulară Paralelipipedul dreptunghic Prisma hexagonală
![Aria şi volumul prismei Orice prismă are două baze care pot fi triunghiuri patrulatere Aria şi volumul prismei Orice prismă are două baze, care pot fi triunghiuri, patrulatere,](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-5.jpg)
Aria şi volumul prismei Orice prismă are două baze, care pot fi triunghiuri, patrulatere, hexagoane, sau orice alt poligon, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor poligonului de bază. În cazul prismei drepte, aceste feţe laterale sunt dreptunghiuri. Aria unei astfel de feţe laterale este produsul dintre lungimea muchiei corespunzătoare a bazei şi înălţimea prismei. Aria tuturor feţelor laterale este egală cu produsul dintre perimetrul bazei şi înălţimea prismei. Al = P b · h Pentru a calcula aria totală trebuie să luăm în calcul şi aria celor două baze congruente At = Al + 2 Ab. De multe ori, baza este un poligon regulat. Pentru a-ţi reaminti formulelele de calcul ale ariei poligoanelor regulate, urmareste mai departe.
![Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea prismei V Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea prismei: V =](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-6.jpg)
Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea prismei: V = Ab · h.
![Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă patrulateră dreaptă Toate feţele paralelipipedului dreptunghic Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă patrulateră dreaptă. Toate feţele paralelipipedului dreptunghic](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-7.jpg)
Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă patrulateră dreaptă. Toate feţele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri. Paralelipipedul dreptunghic are trei dimensiuni: lungime (L), lăţime (l) şi înălţime (h). Aria totală este suma ariilor celor şase feţe ale paralelipipedului, două câte două congruente: d At = 2 L · l + 2 L · h + 2 l · h. h Volumul său este egal cu produsul celor trei dimensiuni: V = L · l · h. Pătratul lungimii diagonalei paralelipipedului dreptunghic este suma pătratelor lungimilor celor trei dimensiuni ale sale: d 2 = L 2 + l 2 + h 2 Această formulă se mai numeşte şi teorema lui Pitagora în spaţiu. l L
![Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic la care toate cele trei dimensiuni Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, la care toate cele trei dimensiuni](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-8.jpg)
Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, la care toate cele trei dimensiuni sunt egale: L = l = h = m (muchie). Corespunzător, formulele de mai înainte devin: At = 6 m 2 V = m 3 d 2 = 3 m 2 m d m m
![Piramida regulată V V V h h h ap ap ap E C B Piramida regulată V V V h h h ap ap ap E C B](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-9.jpg)
Piramida regulată V V V h h h ap ap ap E C B O ab D F M A Piramidă triunghiulară regulată (tetraedru) O A D C O M ab B Piramidă patrulateră regulată ab A C M B Piramidă hexagonală regulată Un tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată cu toate fețele triunghiuri echilaterale
![Desfăşurarea piramidei piramida triunghiulară regulată piramida patrulateră regulată piramida hexagonală regulată Desfăşurarea piramidei piramida triunghiulară regulată piramida patrulateră regulată piramida hexagonală regulată](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-10.jpg)
Desfăşurarea piramidei piramida triunghiulară regulată piramida patrulateră regulată piramida hexagonală regulată
![Aria şi volumul piramidei regulate Piramidele au o singură bază care poate fi orice Aria şi volumul piramidei regulate Piramidele au o singură bază, care poate fi orice](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-11.jpg)
Aria şi volumul piramidei regulate Piramidele au o singură bază, care poate fi orice poligon, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor poligonului de bază. În cazul piramidelor regulate, toate aceste feţe laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, ale căror baze sunt reprezentate de muchiile bazei piramidei, şi ale căror înălţimi sunt apoteme ale piramidei. Prin urmare, aria unei astfel de feţe laterale este semiprodusul dintre lungimea muchiei bazei piramidei şi cea a apotemei, iar aria laterală, sumă a ariilor tuturor feţelor laterale, este: Al = Pb · ap / 2 Aria totală este suma ariei laterale cu aria bazei unice: At = A b + A l Fiind poligon regulat, aria bazei se poate calcula cu formula: Ab = Pb · ab / 2, de unde rezultă că, pentru a calcula aria totală a unei piramide, putem utiliza şi formula: At = Pb ·( ap + ab) / 2
![Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii piramidei V Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii piramidei: V](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-12.jpg)
Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii piramidei: V = Ab · h / 3 Apotema bazei, apotema piramidei şi înălţimea piramidei sunt legate prin formula: ap 2 = ab 2 + h 2
![Trunchiul de piramidă regulată Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza obţinem Trunchiul de piramidă regulată Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-13.jpg)
Trunchiul de piramidă regulată Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem două corpuri: o piramidă „mică” şi un alt corp, numit trunchi de piramidă. „Piramida mică” este „asemenea” piramidei „mari”. Trunchiul de piramidă are două baze, una mare şi alta mică, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor poligonului de bază. Feţele laterale trunchiului de piramidă sunt trapeze. Între apotema bazei mari a. B, apotema bazei mici ab, înălţimea trunchiului h şi apotema acestuia atr există relaţia: atr 2 = h 2 + (a. B – ab )2 V D’ C’ O’ A’ D’ B’ O’ A’ C’ ab B’ atr D h C O a. B A B
![Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale care au Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale, care au](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-14.jpg)
Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale, care au formă de trapez. Aria unei astfel de feţe este: A = (m. B + mb) · atr / 2, unde m. B şi mb sunt lungimile muchiilor bazei mari, respective ale bazei mici. Sumând toate ariile feţelor laterale, obţinem pentru aria laterală formula: Al = (PB + Pb) · atr / 2, unde PB şi Pb sunt perimetrele celor două baze. Aria totală este suma ariei laterale cu ariile celor două baze: At = A l + A B + A b = (PB + Pb) atr / 2 + PB · a. B /2 + Pb · ab / 2 Volumul se calculează cu formula: V = h · (AB + Ab + AB · Ab) / 3 mb ab h a. B m. B atr
![Poligoane regulate Poligoanele regulate sunt poligoane ale căror laturi sunt congruente şi ale căror Poligoane regulate Poligoanele regulate sunt poligoane ale căror laturi sunt congruente şi ale căror](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-15.jpg)
Poligoane regulate Poligoanele regulate sunt poligoane ale căror laturi sunt congruente şi ale căror unghiuri sunt congruente. Următoarele aspecte sunt caracteristice poligoanelor regulate: - vârfurile poligoanelor regulate sunt puncte conciclice; cercul determinat de aceste puncte se numeşte cercul circumscris poligonului. - există un cerc tangent tuturor laturilor poligonului; acesta este cercul înscris, raza sa se mai numeşte apotemă (a poligonului regulat). - cele două cercuri menţinonate mai sus sunt concentrice; centrul lor comun se numeşte, pur şi simplu, centrul poligonului. - unghiurile poligonului regulat cu n laturi au măsura 180° · (n - 2) / n. - aria unui poligon regulat se poate calcula cu formula: A = P · a / 2, unde P este perimetrul poligonului şi a este apotema sa. Pentru fiecare din următoarele poligoane regulate, vom nota latura, apotema, raza cercului circumscris şi aria sa cu l, a, r şi A, respectiv.
![Triunghiul echilateral rl 332 a ar2l 36 l lr 32 a 3 R a Triunghiul echilateral r=l· 3/3=2 a a=r/2=l· 3/6 l l=r· 3=2 a· 3 R a](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-16.jpg)
Triunghiul echilateral r=l· 3/3=2 a a=r/2=l· 3/6 l l=r· 3=2 a· 3 R a A = l 2 · 3 / 4 = r 2 · 3 3 / 4 = a 2 · 3 3
![Pătratul rl 22a 2 ar 22l2 lr 2 2 a l A l Pătratul r=l· 2/2=a 2 a=r· 2/2=l/2 l=r· 2 = 2 a l A= l](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-17.jpg)
Pătratul r=l· 2/2=a 2 a=r· 2/2=l/2 l=r· 2 = 2 a l A= l 2 = 2 r 2 = 4 a 2 R a
![Hexagonul regulat r l a 2 3 3 ar 32l 32 Hexagonul regulat r = l = a · 2 3 /3 a=r· 3/2=l· 3/2](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-18.jpg)
Hexagonul regulat r = l = a · 2 3 /3 a=r· 3/2=l· 3/2 l = r = a · 2 3 /3 A = l 2 · 3 3 / 2 = = 2 3 · a 2 R l a
![Probleme 1 Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m 2 Determinaţi Probleme 1. Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m. 2. Determinaţi](https://slidetodoc.com/presentation_image/20dc32dea5faabb9b66b1c99f68539e5/image-19.jpg)
Probleme 1. Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m. 2. Determinaţi volumul tetraedrului care două muchii opuse perpendiculare, de lungime a şi respectiv b, şi ambele perpendiculare pe segmentul de lungime c care uneşte mijloacele lor. 3. Prisma dreaptă ABCA’B’C’ are ca bază triunghiul isoscel ABC (AB = AC). Să se determine măsura unghiului BAC, astfel încât volumul prismei să fie maxim. 4. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul unei piramide triunghiulare / patrulatere / hexagonale regulate, cunoscând măsura unghiului diedru format de muchia laterală cu planul bazei / măsura unghiului format de o muchie laterală şi una din laturile pe care cade.
Volumul tetraedrului
Trunchi de piramida
Aria suprafetei laterale a piramidei
Aria laterala trunchi de piramida
Aria semicercului
Arii malare
Progresie aritmetica
Ghicitori figuri geometrice gradinita
Suma unei progresii aritmetice
Definitia filetului
Drepte concurente definitie
Legea atractiei universale a lui newton
Iluzii optice referat
Vaporizarea si condensarea
Aria laterala a cilindrului circular drept
Este fenomenul prin care corpurile care contin fier
Corp care nu are nici formă proprie nici volum propriu
Teai sau te-ai
Scoala alecu russo bacau
Instrumente optice ppt