COALA CU CLASELE I VIII RAMNA CALCULE DE

ŞCOALA CU CLASELE I – VIII RAMNA CALCULE DE ARII ŞI VOLUME PIRAMIDA REGULATĂ Prof. Almăjan Cătălin

Elementele piramidei V AB = l (latura bazei); VA=VB=VC=VD = m (muchia laterală); OA=OB=OC=OD = rb (raza bazei); m h VO = h ( înălţimea piramidei); OM = ab (apotema bazei); ap C D O A l M ab B VM = ap ( apotema piramidei);

Formule V 1. a p 2 = h 2 + a b 2 Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM. m h 2. ap C D O A l M ab B m 2 = h 2 + r b 2 Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOC. 3. m 2 = + a p 2 Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMC.

Aria laterală a piramidei Prin aria laterală a unei piramide se înţelege suma ariilor feţelor laterale V Obs : Unde Al = aria laterală a piramidei m h n = numărul de feţe laterale piramidei Af = aria unei feţe ap C D M O A l B Al = n. A f Obs : Ţinând cont că obţinem că

Aria totală a piramidei Prin aria totală a unei piramide se înţelege suma dintre aria laterală şi aria bazei V At = A l + A b m h Unde At = aria totală a piramidei ap C D Ab = aria bazei M O A Al = aria laterală a piramidei l B

Volumul piramidei Prin volumul unei piramide se înţelege o treime din produsul dintre înălţimea piramidei şi aria bazei V m h ap C D M O A l B Unde V = volumul piramidei Ab = aria bazei h = înălţimea piramidei

Aplicaţii 1. Într-o piramidă triunghiulară regulată înălţimea are 6 cm şi latura bazei are 12 cm. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul piramidei Pb=12+12+12=36 cm ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM 2 =VO 2 + OM 2 V OM=ab = 6 A VM = C O M 12 B = cm cm ⇒ cm 2

Aplicaţii 2. Într-o piramidă patrulateră regulată muchia laterală are 6 cm şi aria bazei are 16 cm 2. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul piramidei V Ab=l 2=16⇒ l =4 cm; Pb=4. 4 =16 cm ΔVMC=dreptunghic ⇒ VC 2 =VM 2 + MC 2 VM 2=36 – 4= 32 ⇒ VM = 6 ⇒ cm cm 2 D C O A 4 M B ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM 2 =VO 2 + OM 2 32=4 + VO 2 ⇒ VO = cm

3. Lungimea înălţimii unei piramide hexagonale regulate VABCDEF este egală cu 9 cm, iar măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei este de 60 o. Calculaţi: a) apotema piramidei ; b) aria totală a piramidei; 4. c) distanţa de la mijlocul muchiei AF la planul (VCD). V Se demonstrează că unghiul dintre faţa VCD şi planul bazei este VMO. ΔVOM = dreptunghic ⇒sin(∡VMO) = VO/VM Deci VM = cm Din ΔVOM= dreptunghic, deducem OM = 9 F Deci AB = 6 cm. ⇒Pb = 36 cm E cm 2 N A D O B M C cm 2 Pentru distanţa de la N la planul VCD , ducem perpendiculara NP pe VM NP⊥VM , NP⊥CD (CD⊥VMN) ⇒NP⊥(VCD)

Pentru a calcula NP , considerăm triunghiul isoscel VNM V Aria ΔVMN = MN VO /2 =. P cm 2 Aria ΔVMN = VM. NP /2 = Deci NP = 9 cm. N O M Altfel : Deoarece MN = VM = VN ⇒ ΔVMN = echilateral , deci NP = VO = 9 cm Deci distanţa de la N la planul (VCD) este egală cu 9 cm. TEMĂ : Din manual , pagina Problemele 1 , 2 şi 3

SF RŞIT