PROGRESII NTREBRI DE CONINUT Ce sunt progresiile aritmetic

PROGRESII

ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Care este formula pentru termenul general al unei progresii? • Cum caracterizăm progresiile? • Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii? • Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei progresii? • Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie?

• Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie: Un şir de numere reale an pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin adăugarea unui număr r numit raţie se numeşte progresie aritmetică Definiţie: Un şir de numere reale nenule bn pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu un număr nenul q numit raţie se numeşte progresie geometrică Notaţie: Pentru a pune în evidenţă că şirul an, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia ÷ a 1, a 2, a 3, … , an, … Notaţie: Pentru a pune în evidenţă că şirul bn, este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia ÷÷ a 1, a 2, a 3, … , an, …

• Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Progresia aritmetică Definiţie: Şirul an , n≥ 1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă există r număr real astfel încât an+1= an+r oricare ar fi n≥ 1. Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie aritmetică. Progresia aritmetică este determinată de primul termen şi raţie. • Progresia geometrică Definiţie: Şirul bn , n≥ 1 este o progresie geometrică dacă şi numai dacă există q număr real nenul astfel încât bn+1= bn. q oricare ar fi n≥ 1, b 1≠ 0 Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie geometrică. Progresia geometrică este determinată de primul termen şi raţie.

• Care este formula pentru termenul general al progresiei? • Progresia aritmetică Teoremă: Termenul general al progresiei aritmetice an , n≥ 1 de raţie r este: an= a 1+(n-1)·r oricare ar fi n≥ 2. • Progresia geometrică Teoremă: Termenul general al progresiei geometrice bn , n≥ 1 de raţie q , q ≠ 0 este: bn= b 1·qn-1 oricare ar fi n≥ 2.

• Cum caracterizăm progresiile? • Progresia aritmetică Definiţie echivalentă: Şirul an , n≥ 1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă diferenţa an+1 - an este constantă oricare ar fi n≥ 1. Caracterizare: Şirul an , n≥ 1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă an=(an+1+ an-1) / 2 oricare ar fi n≥ 2. • Progresia geometrică Definiţie echivalentă: Şirul bn , n≥ 1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă raportul bn+1 / bn este constant oricare ar fi n≥ 1. Caracterizare: Şirul bn , n≥ 1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă (bn)2 =bn+1· bn-1 oricare ar fi n≥ 2 Observaţie: Şirul bn , n≥ 1 de numere nenule strict pozitive este o progresie geometrică dacă şi numai dacă oricare ar fi n≥ 2.

• Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii? • Progresia aritmetică Condiţie: Condiţia ca numerele a, b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este: 2 b = a+c • Progresia geometrică Condiţie: Condiţia ca numerele nenule a, b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: b 2 = ac

• Care este formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii? • Progresia aritmetică Teoremă: Dacă pentru progresia aritmetică (an) n≥ 1 se notează cu Sn suma primilor n termeni, adică: Sn=a 1+a 2+a 3+…+an atunci Sn=(a 1+an)· n / 2 • Progresia geometrică Teoremă: Dacă pentru progresia geometrică (bn) n≥ 1 de raţie q, se notează cu Sn suma primilor n termeni, adică: Sn=b 1+b 2+b 3+…+bn atunci: Sn=nb 1 pentru q=1 şi Sn=b 1(qn-1) / (q-1), pentru q≠ 1

Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Pasul 1: Calculăm Sn-1 Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general an Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general bn Pasul 3: Calculăm diferenţa an - an-1 şi dacă diferenţa este constantă (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie aritmetică, în caz contrar, nu va fi o progresie aritmetică Pasul 3: Calculăm raportul bn/ bn-1 şi dacă raportul este constant (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie geometrică, în caz contrar, nu va fi o progresie geometrică.

APLICAŢII