PROGRESII NTREBRI DE CONINUT Ce sunt progresiile aritmetic
![PROGRESII PROGRESII](https://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-1.jpg)
PROGRESII
![ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Cum se definesc ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Cum se definesc](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-2.jpg)
ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Care este formula pentru termenul general al unei progresii? • Cum caracterizăm progresiile? • Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii? • Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei progresii? • Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie?
![• Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-3.jpg)
• Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie: Un şir de numere reale an pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin adăugarea unui număr r numit raţie se numeşte progresie aritmetică Definiţie: Un şir de numere reale nenule bn pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu un număr nenul q numit raţie se numeşte progresie geometrică Notaţie: Pentru a pune în evidenţă că şirul an, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia ÷ a 1, a 2, a 3, … , an, … Notaţie: Pentru a pune în evidenţă că şirul bn, este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia ÷÷ a 1, a 2, a 3, … , an, …
![• Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Progresia aritmetică Definiţie: Şirul • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Progresia aritmetică Definiţie: Şirul](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-4.jpg)
• Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Progresia aritmetică Definiţie: Şirul an , n≥ 1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă există r număr real astfel încât an+1= an+r oricare ar fi n≥ 1. Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie aritmetică. Progresia aritmetică este determinată de primul termen şi raţie. • Progresia geometrică Definiţie: Şirul bn , n≥ 1 este o progresie geometrică dacă şi numai dacă există q număr real nenul astfel încât bn+1= bn. q oricare ar fi n≥ 1, b 1≠ 0 Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie geometrică. Progresia geometrică este determinată de primul termen şi raţie.
![• Care este formula pentru termenul general al progresiei? • Progresia aritmetică Teoremă: • Care este formula pentru termenul general al progresiei? • Progresia aritmetică Teoremă:](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-5.jpg)
• Care este formula pentru termenul general al progresiei? • Progresia aritmetică Teoremă: Termenul general al progresiei aritmetice an , n≥ 1 de raţie r este: an= a 1+(n-1)·r oricare ar fi n≥ 2. • Progresia geometrică Teoremă: Termenul general al progresiei geometrice bn , n≥ 1 de raţie q , q ≠ 0 este: bn= b 1·qn-1 oricare ar fi n≥ 2.
![• Cum caracterizăm progresiile? • Progresia aritmetică Definiţie echivalentă: Şirul an , n≥ • Cum caracterizăm progresiile? • Progresia aritmetică Definiţie echivalentă: Şirul an , n≥](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-6.jpg)
• Cum caracterizăm progresiile? • Progresia aritmetică Definiţie echivalentă: Şirul an , n≥ 1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă diferenţa an+1 - an este constantă oricare ar fi n≥ 1. Caracterizare: Şirul an , n≥ 1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă an=(an+1+ an-1) / 2 oricare ar fi n≥ 2. • Progresia geometrică Definiţie echivalentă: Şirul bn , n≥ 1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă raportul bn+1 / bn este constant oricare ar fi n≥ 1. Caracterizare: Şirul bn , n≥ 1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă (bn)2 =bn+1· bn-1 oricare ar fi n≥ 2 Observaţie: Şirul bn , n≥ 1 de numere nenule strict pozitive este o progresie geometrică dacă şi numai dacă oricare ar fi n≥ 2.
![• Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei • Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-7.jpg)
• Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii? • Progresia aritmetică Condiţie: Condiţia ca numerele a, b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este: 2 b = a+c • Progresia geometrică Condiţie: Condiţia ca numerele nenule a, b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: b 2 = ac
![• Care este formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii? • • Care este formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii? •](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-8.jpg)
• Care este formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii? • Progresia aritmetică Teoremă: Dacă pentru progresia aritmetică (an) n≥ 1 se notează cu Sn suma primilor n termeni, adică: Sn=a 1+a 2+a 3+…+an atunci Sn=(a 1+an)· n / 2 • Progresia geometrică Teoremă: Dacă pentru progresia geometrică (bn) n≥ 1 de raţie q, se notează cu Sn suma primilor n termeni, adică: Sn=b 1+b 2+b 3+…+bn atunci: Sn=nb 1 pentru q=1 şi Sn=b 1(qn-1) / (q-1), pentru q≠ 1
![Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-9.jpg)
Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Pasul 1: Calculăm Sn-1 Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general an Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general bn Pasul 3: Calculăm diferenţa an - an-1 şi dacă diferenţa este constantă (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie aritmetică, în caz contrar, nu va fi o progresie aritmetică Pasul 3: Calculăm raportul bn/ bn-1 şi dacă raportul este constant (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie geometrică, în caz contrar, nu va fi o progresie geometrică.
![APLICAŢII APLICAŢII](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-10.jpg)
APLICAŢII
![APLICAŢII APLICAŢII](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-11.jpg)
APLICAŢII
![APLICAŢII APLICAŢII](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-12.jpg)
APLICAŢII
![APLICAŢII APLICAŢII](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-13.jpg)
APLICAŢII
![](http://slidetodoc.com/presentation_image/129489d97579f18e14587524f8ff88d7/image-14.jpg)
- Slides: 14