CHAP 4 La Modlisation cinmatique 2009 2010 CHAP

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 Modélisation cinématique en Robotique ? ? …. . « How Where to to gogo ? ? …. . » »

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Utilité de la modélisation Phase de programmation : Rotation des articulations Consignes pupitre Interpolation articulaire Art 5 z 0 Art 6 Art 3 Art 4 Θ’i Coordonnées Articulaires mémorisées Equations qui permettent de déterminer les vitesses articulaires sont de telle sorte que la durée de la trajectoire pour chaque articulation est la même. Entre deux configurations successives : on observe • une phase d’accélération, • un pallier à vitesse constante, • une phase de décélération Art 2 x 0 Art 1 Rrob y 0 t

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Utilité de la modélisation Phase de programmation : Déplacement/Rotation le long d’axes de repères z 0 Consignes pupitre Art 5 z 0 Translation x 0 Art 3 yeffy 0 Rrob z Art 6 xeff Art 4 Rotation Elles sont à relier aux coordonnées articulaires Modèle Cinématique inverse Art 2 Coordonnées opérationnelles mémorisées Coordonnées Articulaires x 0 Art 1 Rrob Modèle de commande Cinématique y 0 Equations qui permettent de déterminer les vitesses articulaires en fonction des cordonnées articulaires et des consignes pupitre

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Utilité de la modélisation Phase de Production : Déplacement/Rotation le long d’axes de repères Art 5 z 0 yeff Art 6 xeff Art 3 zeff Translation Art 4 Rotation Coordonnées Articulaires Modèle Cinématique inverse Art 2 x 0 Art 1 Rrob Coordonnées opérationnelles y 0 5

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Calcul du modèle cinématique On ne peut pas calculer le modèle cinématique de commande directement. En fait on calcule un système d’équations qui permet d’obtenir : Le robot est un mécanisme constitué de corps rigides articulés, les équations obtenues sont donc des équations linéaires en Θ’i : Modèle cinématique direct J est appelée Jacobien, dont les termes dépendent des valeurs de coordonnées articulaires L’obtention du modèle cinématique de commande, est obtenu par inversion du jacobien : d’où l’appellation « modèle cinématique inverse »

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Calcul du Jacobien 3 méthodes de calcul existent : §Méthode analytique §Méthode explicite directe §Méthode différentielle Étant donné que les articulations des robots sont soit pivot soit glissière, nous utiliserons une variable articulaire généralisée:

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode analytique • Cette méthode consiste à déterminer directement à partir du modèle géométrique direct, les différentes variables du jacobien. Il faut pour cela dériver les équations du MGD. • Les équations qui caractérisent la position de l'effecteur sont fournies par les relations : Ainsi nous avons : • i = 1, 2, 3 j = 1, . . . , n avec n le nombre d'articulations • Ces équations sont obtenues directement dans le repère R 0

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Calcul du Jacobien Méthode explicite directe Cette méthode s'appuie sur les lois de compositions de vitesse : Zi Soit un point P appartenant au solide Si Oi Zi-1 Si w i/i-1 P VO i/i-1 La loi de composition des vitesses nous permet de dire :

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Calcul du Jacobien Méthode explicite directe nous obtenons la vitesse de l'effecteur en fonction des vitesses articulaires : P

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Zi Oi Calcul du Jacobien Zi-1 Si-1 Méthode explicite directe Cas d'une articulation Rotoïde d'axe Zi Le point Oi est confondu avec l'axe de rotation nous avons donc : Ecriture matricielle : Si w i/i-1 articulation i Si le point p correspond au centre d’outil, nous obtenons l’incidence de l’articulation i rotoïde sur le mouvement de l’outil exprimé dans le Ri. P

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Zi Oi Calcul du Jacobien Zi-1 Si Méthode explicite directe Cas d'une articulation Prismatique d'axe Zi Le point Oi est confondu avec l'axe de translation nous avons donc : Ecriture matricielle : Vi/i-1 articulation i Si le point p correspond au centre d’outil, nous obtenons l’incidence de l’articulation i glissière sur le mouvement de l’outil exprimé dans le R i. P

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Calcul du Jacobien Méthode explicite directe Obtention du Jacobien vectoriel En appliquant la composition des vitesses, il suffit de sommer toutes les matrices obtenues Cette matrice est appelée Jacobien vectoriel, chaque colonne de la matrice est déterminée, dans les repères Ri de chaque solide i du robot XPi, YPi correspondent aux distance Oi Peffecteurdéterminés dans les repères Ri-1 Pour obtenir un modèle numérique, il est nécessaire de projeter toutes ces équations dans un même repère. Différentes possibilités sont envisageables : • Projection dans le repère de base du robot R 0 • Projection dans le repère effecteur du robot Rn • Projection dans un repère intermédiaire du robot

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Calcul du Jacobien Méthode explicite directe Obtention du Jacobien préférentiel On démontre que le repère de projection qui génère le nombre minimal d’équations est le repère int (Nbre articulations/2) Les matrices de changement de repère, sont obtenues à partir des matrices homogènes Articulation rotoïde Articulation glissière La matrice résultante est appelée Jacobien préférentiel, chaque colonne de la matrice est déterminée dans un repère unique Rpréf du robot

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode différentielle • Le robot étant constitué de corps rigides articulés il est possible d'obtenir le système d'équations suivantes • cette relation est le MODÈLE DIFFERENTIEL DIRECT avec • J(qi) est appelée Jacobienne du robot

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode différentielle • Cas de la liaison prismatique Articulation k Zn Prismatique Zk Yn Rn Zn dq k d k, n Rn Xn Yn • k indice d’articulation en mouvement • n indice de repère affecté par le mouvement X n • zk s'exprime dans un repère qui est au choix du calculateur, et donc dk, n est exprimé dans ce repère.

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode différentielle • Cas de la liaison rotoïde d k, n Yn Articulation k Zn Rotoïde Xn Zk dq k Zn d k, n Rn L k, n Yn Xn • avec Lk, n distance entre l'axe de rotation et l'origine du repère Rn. • ( x représente le produit vectoriel)

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode différentielle • Cas général d’une articulation d’indice k • Ainsi pour obtenir le Jacobien complet nous pouvons écrire : • Nous pouvons donc écrire le modèle différentiel sous la forme matricielle suivante : • Ce jacobien est le Jacobien vectoriel

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode différentielle Jacobien Vectoriel • Il est nécessaire pour une homogénéité, de l'exprimer dans une base unique en opérant sur ces vecteurs, un changement de base • Soit Rn le repère dans lequel on souhaite exprimer le jacobien de base • nous prendrons comme exemple la colonne de la variable articulaire dqk avec • coordonnées de ORn dans le repère k

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique direct Méthode différentielle • Calcul des vecteurs colonne du Jacobien Cas d'une liaison prismatique • s, n a, P sont les termes de la matrice Cas d'une liaison rotoïde

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Association du modèle cinématique aux coordonnées opérationnelles La jacobienne caractérise les variations de position et orientation en fonction des différentes articulations. Il faut donc pouvoir relier ces expressions, aux variations de position, et orientation dans l'espace opérationnel. Cette relation dépend de la convention des coordonnées retenues : • Position : Coordonnées rectangulaires, cylindriques, … • Orientation : Angles d'Euler, Cosinus directeurs, … Variables à relier • Informations le long et autour des axes du repère de calcul • Informations en coordonnées opérationnelles Relations à établir • Relations identiques sous forme cinématique ou différentielle, car le robot est constitué de corps rigides articulés entre eux.

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Association du modèle cinématique aux coordonnées opérationnelles avec On obtient donc comme relation Caractérisation de ΩP Le système de coordonnées est le système de coordonnées rectangulaires, donc Caractérisation de ΩR Un angle α mesuré autour de z Exemple avec les angles d'Euler X Un angle β mesuré autour de x Un angle γ mesuré autour de z

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Association du modèle cinématique aux coordonnées opérationnelles Caractérisation de ΩR Exemple avec les angles d'Euler X Après calcul d’inversion, on obtient la matrice :

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Association du modèle cinématique aux coordonnées opérationnelles l'expression du modèle cinématique complet d'un robot prend donc la forme: Exemple avec : • x, y, z coordonnées cartésiennes • α, β, γ les angles d'Euler • [0 Jn] jacobien déterminé dans le repère R 0

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle différentiel inverse (étude des cas réguliers) L'expression du modèle cinématique inverse correspond à la forme: ou ce qui est équivalent: Cas régulier : J est carrée, de déterminant non nul (robot non redondant) 2 méthodes de calcul sont envisageables:

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle différentiel inverse (étude des cas réguliers) 1ère méthode de calcul : Lorsque J est de la forme : avec A et C sous-matrices carrées inversibles Ceci est le cas d'un robot 6 axes équipé d'un poignet droit ou biconique : 2ème méthode de calcul : avec A et C inversibles carrées dqa= A-1 dxa dqb= C-1[dxb-BA-1 dxa]

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 Fin Chapitre 4

CHAP 4 La Modélisation cinématique 2009 -2010 • Modèle cinématique Utilité de la modélisation Phase de programmation : Rotation des articulations Art 5 z 0 Art 6 Art 3 Art 4 Art 2 x 0 Art 1 Rrob y 0

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