Physique Cinmatique 1 Cinmatique 2 Introduction l Aristote

Physique Cinématique 1

Cinématique 2

Introduction l Aristote s’est planté – l Moyen-âge – l – 3 Galilée : comparaison de rapports de distance et de temps Conclusion : « l’accélération de chute est universelle » , exit Aristote ! ~1700, Pierre Varignon – l Vitesse = grandeur intensive (gros progrès) Mais interdit de diviser distance et temps – l (non, un corps plus lourd ne tombe pas plus vite) Définit accélération et vitesse instantanée Utilise le calcul différentiel (formalisme de Leibniz ~1680) Déplacement dans le temps sans notion de masse (ou de force)

Plan l l 4 Trajectoire, vitesse et accélération MRUA MCU Parabole de tir

Trajectoire l Référentiel Oxy(z) + temps l Objet = point (coordonnées rx, ry) = « mobile » – l Trajectoire = courbe décrite par point en mouvement = ensemble des points occupés successivement par le mobile – 5 l Rotation sur lui-même non prise en compte Équation ry = f(rx) Vecteur position

Vitesse l Vitesse moyenne – 6 l Distance parcourue / temps parcours problème si mvt circulaire Vitesse instantanée – Passage à la limite dérivée de la position / t

Hodographe 7 l = vecteurs vitesse ramenés en 1 point l Vitesse tangente à trajectoire hodographe des vitesses l Accélération tangente à vitesse ( hodographe des accélérations ? ) l Vecteurs !!!

Accélération l Accélération moyenne – l 8 Variation de vitesse / temps de parcours Accélération instantanée – – Passage à la limite dérivée de la vitesse / t Toujours dans le sens du changement de direction (tangente à la vitesse)

Accélération l Accélérer = modifier la vitesse – l Accélération tangentielle – l // au mouvement Accélération normale – 9 Grandeur vectorielle + vite a // v et même sens - vite a // v et opposée changement direction a v au mouvement (cf MCU)

Equation différentielle du mouvement l On a et l 10 Lien entre trajectoire, vitesse et accélération

Equation différentielle du mouvement l Lien entre trajectoire, vitesse et accélération l Ex : corps lâché sans vitesse d’une hauteur r 0, son accélération g vaut ~10 m/s² Trajectoire ? C 1, C 2 déduites des C. I. r(t 0) = r 0 et v(t 0) = v 0 Traduction ? 11

Equation différentielle du mouvement l l corps lâché sans vitesse d’une hauteur r 0, son accélération g vaut ~10 m/s² 1è chose : système d’axes g = -10 m/s² si orienté vers le haut – – – 12 l Supposons t 0 = 0 v(0) = 0 et r(0) = r 0 r(t) = -10. t²/2 + C 1. t + C 2 r(0) = C 2 = r 0 v(t) = r’(t) = 10. t + C 1 v(0) = C 1 = 0 r(t) = -5 t² + r 0 et v(t) = -10 t

Exercice (par groupe) l Luke Skywalker part d’Aldébaran dans une navette et fonce dans un vortex. Il voyage alors à la vitesse moyenne de 15000 fois la vitesse de la lumière pendant les 8 premières minutes de son déplacement, à 30000 fois pendant les 3 minutes suivantes, etc (voir tableau). La navette s’immobilise dans la cour du château de Champignac-en. Cambrousse après 45 minutes de trajet. Quelle distance totale Luke a-t-il parcouru d’Aldébaran à Champignacen-Cambrousse ? Estimer cette distance en années-lumière, sachant qu’une année lumière est la distance parcourue dans le vide par la lumière pendant une année terrestre (365, 25 jours). 13

Solution l c = 3. 108 m/s 1 a. l. = 3. 108 (m/s). 1 (an). 365, 25 (jour/an). 24 (h/jour). 60 (min/h). 60 (s/min) ≈ 9, 47. 1015 m ( / a. l. ) (≈ 10. 000 km) l d 1 = 15000. c (m/s). 8 (min) … mais en a. l. 15000. c. 8. 60 [ m/s min s/min ] d 1 = -----------------------------------c. 1. 365, 25. 24. 60 [ m/s an j/an h/j min/h s/min / a. l. ] d 1 ≈ 0, 228 a. l. 14 l l d 2 ≈ 0, 171 ; d 3 ≈ 0, 799 ; d 4 ≈ 1, 141 ; d 5 ≈ 0, 456 ; d 6 ≈ 2, 795 dtot ≈ 2, 79 a. l.

Exercices (par groupe) l Soit un mobile ayant r(t) = 3 t 4 − 6 t 2 comme équation de position – – – 15 Déterminer l’équation de sa vitesse Déterminer l’équation de son accélération Calculer la vitesse instantanée pour t = 0, 5 et 10 s. Calculer la vitesse moyenne pour les intervalles de temps (t 1, t 2) = (0, 5), (0, 10) et (5, 10) secondes. Calculer l’accélération instantanée pour t = 0, 5 et 10 s. Calculer l’accélération moyenne pour les intervalles de temps (t 1, t 2) = (0, 5), (0, 10) et (5, 10) secondes.

Exercices (par groupe) l Soit un mobile ayant r(t) = 3 sin(π t) comme équation de position – – – 16 Déterminer l’équation de sa vitesse Déterminer l’équation de son accélération Calculer la vitesse instantanée pour t = 0, 5 et 10 s. Calculer la vitesse moyenne pour les intervalles de temps (t 1, t 2) = (0, 5), (0, 10) et (5, 10) secondes. Calculer l’accélération instantanée pour t = 0, 5 et 10 s. Calculer l’accélération moyenne pour les intervalles de temps (t 1, t 2) = (0, 5), (0, 10) et (5, 10) secondes.

Solutions l r(t) = 3 t 4 − 6 t 2 – l r(t) = 3 sin(π t) – 17 v(t) = 12 t³ - 12 t ; a(t) = 36 t² - 12 v(t) = 3 π cos(π t) ; a(t) = - 3 π² sin(π t)

Cinématique l 18 Et maintenant, qui va plus vite ?