Analyse des circuits lectriques GPA 220 Cours 10

Analyse des circuits électriques -GPA 220 - Cours #10: Systèmes de deuxième ordre Enseignant: Jean-Philippe Roberge S Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Cours #10 S Retour sur le cours #9: S Réponse à l’échelon des circuits RL et RC S Proposition d’une méthode générale de résolution S Théorie du cours #10: S Système de deuxième ordre: S Circuit RLC en parallèle: réponse naturelle (Prochain cours: réponse à l’échelon) S Quiz #3 : Semaine prochaine 2 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 3 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (1) Système de premier ordre S Typiquement, voici à quoi ressemble généralement la réponse d’un système d’ordre 1 à une entrée de type échelon: Constante de temps? Gain statique? Temps de réponse? 4 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (2) Dynamique réponse à l’échelon – circuits RL S Dynamique de la réponse à l’échelon d’un circuit RL: 5 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (3) Dynamique réponse à l’échelon – circuits RC S Dynamique de la réponse à l’échelon d’un circuit RC: 6 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (4) Proposition d’une méthode générale de résolution S Première étape: On se pose la question est-ce qu’il faut ajouter ou enlever une source? S Deuxième étape: On se pose ensuite la question quelles sont les conditions initiales sur l’inductance ou le condensateur? 7 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (5) Proposition d’une méthode générale de résolution S Troisième étape: On substitue dans l’équation appropriée: Réponse naturelle: Circuit RL Circuit RC Réponse à l’échelon: Circuit RL Circuit RC 8 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Cours #10 9 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Systèmes de deuxième ordre (1) S Un système de deuxième ordre est un système dont la dynamique s’exprime à l’aide d’une équation où intervient la dérivée deuxième d’une variable. La forme générale: S Si les coefficients a, b, c & d sont constants, on parle encore d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre 2. S Si d=0, on parle alors d’une équation différentielle homogène. S Si d=0, et que a, b et c sont constants (invariants), alors la solution de cette équation est plus simple à trouver. Ce sera le cas dans le cadre du cours. S Les systèmes d’ordre 2 sont très répandus dans le domaine du génie! Exemple: 10 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Systèmes de deuxième ordre (2) S Autre exemple de système d’ordre 2: Soit u le couple appliqué au bras afin de positionner la tête de lecture et y le déplacement angulaire qui en résulte: Exemple et image tirés des notes de cours d’ELE 3202 – École Polytechnique de Montréal 11 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Systèmes de deuxième ordre (3) S Typiquement, voici à quoi ressemble la réponse d’un système d’ordre 2: Image tirée de: http: //upload. wikimedia. org/wikipedia/com mons/4/4 f/Second_order_transfer_functio n. svg 12 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (1) S Exprimer v(t) en fonction de R, L et C en supposant que L et/ou C contiennent de l’énergie: 13 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (2) S Solution générale d’une équation différentielle d’ordre 2, homogène, linéaire à coefficients constants: S Où: 14 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (3) S Il existe trois types de réponses, dépendamment de la valeur du taux d’amortissement: 15 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (4) Réponse sur-amortie (ζ>1) S Si ζ>1 (réponse sur-amortie), alors les racines (s 1 et s 2) sont réelles et négatives. Pour trouver la valeur de A 1 et de A 2, il suffit alors d’utiliser les deux conditions initiales: 16 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (5) Réponse sur-amortie (ζ>1) S Or on sait que: 17 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (6) Réponse sous-amortie (ζ<1) S Dans le cas où ζ<1 (réponse sous-amortie), les racines s 1 et s 2 seront complexes: S Qui peut se ré-écrire sous la forme: S Où wd se nomme la fréquence naturelle amortie. À partir d’Euler, on obtient: 18 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (7) Réponse sous-amortie (ζ<1) S Pour trouver B 1 et B 2 on utilise aussi les conditions initiales: 19 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (8) Réponse à amortissement critique (ζ=1) S Lorsque ζ=1, nous sommes dans une situation particulière qui se nomme amortissement critique. Dans cette situation unique, les racines s 1 et s 2 sont réelles et égales: S Pour trouver les valeurs de D 1 et D 2 on utilise aussi les conditions initiales: 20 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (9) Rappel sur ce que nous venons de voir… S Nous avons trouvé la tension entre les noeuds d’un RLC parallèle lorsque l’on déconnecte une source et que le circuit possède de l’énergie. S En connaissant v(t), on connait la dynamique du système, c’est-à-dire qu’il est alors possible de déterminer directement i. L(t), i. R(t) et i. C(t) à partir des formules que nous avons vu précédemment (Inductance, loi d’Ohm et capacitance). 21 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (10) Rappel sur ce que nous venons de voir… S Sommaire de l’expression de v(t) dépendamment du taux d’amortissement ζ : **Tiré du livre, page 299. 22 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Références S [1] Présentations Power. Point du cours GPA 220, Vincent Duchaine, Hiver 2011 S [2] NILSSON, J. W. et S. A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, 2002. S [3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l’Université Laval, 3 ième édition, 2001 S [4] Floyd, Thomas L. Fondements d’électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc. , 4 ième édition, 1999 23 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014