AmostragemReconstruo Amostragem impulsiva 1 Teorema de Amostragem Ou

Amostragem/Reconstrução Amostragem impulsiva 1

Teorema de Amostragem Ou critério de Nyquist Notar que: Transformada de um pente de diracs é um pente de diracs: O espectro do sinal amostrado é uma soma de réplicas do sinal continuo deslocadas na frequência. 2 d ( W ) = d ( f ) A reconstrução do sinal contínuo é possível desde que: 2

Teorema de Amostragem impulsiva Sem Sobreposição espectral (sem aliasing) Espectro do sinal contínuo Espectro de uma sequência de diracs Amostragem Com Sobreposição espectral (aliasing) 3

Aliasing w Cos[(2 - )n+ ]=Cos[- n+ ]=Cos[ n- ] n 0 < n Dois sinais analógicos diferentes têm a mesma representação digital: l para n inteiro Cos[(2 f. A-2 f) t + ] e Cos[2 f t - ] w Implica perca de informação a não ser que não seja possível encontrar alguns dos sinais referidos na entrada, nomeadamente se as frequências do sinal de entrada estiverem limitadas a f. A/2. 4

Teorema de Amostragem w Ou seja n n n Se o sinal original estiver limitado a frequências inferiores a f. A/2 é possível reconstruir o sinal original a partir do amostrado (com um filtro passa baixo) e não há perca de informação. Se o sinal não estiver limitado a frequências inferiores a f. A/2 existem diversas frequências analógicas que correspondem á mesma frequência digital (aliasing), pelo que há perca de informação. Conclusão: Conclusão não há perca de informação quando amostramos um sinal real analógico arbitrário com largura de banda B, se e só se f. A >2 B 5

Reconstrução Amostragem Reconstrução É possível através de um filtro passa baixo desde que não exista sobreposição espectral 6

Reconstrução Vale zero nos pontos correspondentes às restantes amostras Soma de Sincs 7

Frequência de amostragem w Na prática, dependendo da aplicação, a frequência de amostragem deve ser maior do que 2 B, por exemplo Fa=4 B w Tal permite filtros de reconstrução e de antialiasing menos selectivos, e mais fácil de implementar na prática. 8

Sub/Sobre-Amostragem w Sub Amostragem: Redução da frequência de amostragem. w Sobre Amostragem: Aumento da frequência de amostragem. Teorema da Amostragem ( B < (2 /M)/2 ) Nota: não é, em geral, equivalente a amostrar a uma frequência superior 9

Processamento de Sinais contínuos Filtro Anti. Sobreposição de espectro Amostragem e retensão Conversor Analógico para Digital Processador Digital de Sinais Filtro de reconstrução retenção de ordem zero Conversor Digital para analógico 10

Relação entre a DTFT e FT A DTFT resulta da Transformada de Fourier quando consideramos o sinal no tempo formado por uma série de diracs 11

Relação entre a DTFT e FT A FT também pode ser derivada da DTFT quando o intervalo de amostragem tende para zero! 12

Resposta em Frequência w O processamento de sinais contínuos através de sistemas discretos (digitais) conduz a sistemas que são apenas aproximadamente invariantes no tempo! tempo w No entanto quando podemos aplicar o critério de Nyquist: æ Ys ( f ) = H A ( f )ç H(e jω ) f ç = 2π ω Xs( f ) fa è Frequência normalizada ö ÷H R ( f ) ÷ ø 13

Aproximação de invariancia no tempo w Os sistemas de Processamento digital de sinais contínuos são apenas aproximadamente invariantes no tempo: n n Os sinais devem estar dentro do limite de Nyquist limitados pelos filtros de anti-aliasing ou de reconstrução. Tal pode implicar duas coisas: l l Que o atrasos do filtro é consideravelmente maior que o período de amostragem. Para filtros muito selectivos o atraso será grande. Se os filtros não forem muito selectivos então o sinal fora da banda é reflectido para dentro da banda resultando em ruído de medição. Os filtros utilizados na prática dependem da aplicação. Os sinais variam lentamente quando comparados com o período de amostragem 14

Exemplo: Implementação de um Atraso Fraccionário w Atraso Fraccionário: Um atraso que não é múltiplo da frequência de amostragem. n. T Assumindo filtros de anti-aliasing e de reconstrução ideais: O que corresponde a um impulso para atrasos inteiros, e a um sinc amostrado para atrasos fraccionários. 1 0. 5 Notar que é possível facilitar muito a implementação se não se exigir a correspondência ao atraso em toda a banda. 0 -0. 5 0 5 10 15 20 15

Modelação e desmodelação Sinal digital DSP A/D Filtro de reconstrução Canal Sinal digital DSP D/A Filtro antialiasing 16

Amostragem e Retenção w A reconstrução é muitas vezes efectuada utilizando retentores de ordem zero. Amostragem Retenção de ordem zero (ZOH) 17

ZOH w Saída é convulsionada, w Se necessário o efeito pode ser eliminado pre-filtrando o sinal por um filtro cuja função de transferência seja a inversa deste na banda de passagem! Ex: Sinal digital ZOH Fa = 400 Hz B = 80 Hz resultado 18

Amostragem de Sinais Passa-banda Sinal Real Amostragem para certos valores da frequência central e da largura de banda (tal como na figura) B Distância entre réplicas: 2 B = Fa Em qualquer caso é pelo menos necessário que Fa>2 B Replicando separadamente as frequências positivas e negativas Para sinais complexos temos Fa>B! 19