5 DORUSAL DENKLEM SSTEMLERNN SAYISAL ZMLER a 11

5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a 11 x 1 =b 1 x 1, x 2, …. xn f(x 1)= a 11 x 1 -b 1=0 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 1

Karşılaştığımız pek çok sistem; • Hareket Denklemleri, kimyasal denklemler, ısı yasaları, akım-gerilim yasaları, birbirine bağlı olarak değişen değişkenlerle ve bunların oluşturduğu denklemlerle ifade edilirler. 5 I 1 -25 I 4=-200 -37 I 3 -4 I 4= -250 -25 I 1 -4 I 3+29 I 4=100 Doğrudan ve iteratif çözüm yöntemleri Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 2

5. 1. DOĞRUDAN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ • 5. 1. 1. Ters Matris Yöntemi a 11 x 1+a 12 x 2+a 13 x 3=b 1 a 21 x 1+a 22 x 2+ a 23 x 3=b 2 a 31 x 1+a 32 x 2+ a 33 x 3=b 3 [A] [X]=[B] [A]-1 [A] [X]= [A]-1 [B] [I] [X]= [A]-1 [B] (Hatırlatma: Matrisin tersi A-1= Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab idi. ) 3

Örnek: Aşağıda verilen denklemlerde bilinmeyen olarak tanımlanan x 1, x 2 ve x 3 değerlerini ters matris yöntemini kullanarak bulunuz. • • • 2 x 1 -3 x 2+2 x 3=-11 x 1+ x 2+ -2 x 3=8 3 x 1 -2 x 2 - x 3=-1 = +a 11 Çözüm -a 12 + a 13 = a 11(a 22 a 33 -a 23 a 32)-a 12(a 21 a 33 -a 31 a 23)+a 13(a 21 a 32 -a 31 a 22) =2(-1 -4)+3(-1+6)+2(-2 -3) = 2(-5)+3(5)+2(-5) =-5 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 4

= (+1) ((1*-1)-(-2*-2))=-5 C(aij) =(-1)i+j Mij C(a 11)) =(-1)1+1 =(-1)2 i+j M 11 C(a M ij ij Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 5

C[A]= Ek Matris (yani Adjoint[A])=(C[A])T Adjoint[A])= Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 6

[A]-1= = x 1, x 2, …. xn x 1=1, x 2=3 ve x 3=-2 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 7

5. 1. 2. Cramer Yöntemi: xk= [Ak]= Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 8

Örnek: Aşağıda verilen denklem takımını Cramer kuralıyla çözün. 3 x 1 + 4 x 2 -5 x 3 = -47 -2 x 1 -5 x 2+ 7 x 3= 56 -7 x 1+2 x 2 - 3 x 3= 15 • Çözüm: =3(15 -14)-4(6+49)-5(-4 -35)=3 -220+195=-22 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 9

E= x 1=-5, x 2=2 ve x 3=8 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 10

Problemin Matlab’ta çözümü: Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 11

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 12

5. 1. 3. Gauss-Yoketme Yöntemi uygun katsayılarla çarpma, bölme 3 x + 4 y + 2 z= 71 x + 2 y + 6 z= 73 4 x + 12 y + 5 z=180 3 x + 4 y + 2 z= 71 -3 x + 2 y + 6 z= 73 tarafa toplama, çıkarma 3 x + 4 y + 2 z= 71 -3 x -12 y - 18 z=-219 + -8 y+16 z=-148 Denklemde yerine koyma y=(148 -16 z)/8 a 33 x 3=b 3 x 3= b 3/a 33 Adım adım x 3, , x 2, x 1 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 13

• Gauss yoketme işlemi için; • Genişletilmiş matris: W=[A|b] Bu durumda Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 14

N=M+1 j=1, 2, …N i=k+1, k+2, …. , M k=1, 2, …M-1 wij- Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 15

wij wijj=1 j=2 j=3 j=N k=1, wkk=w 11 i=2 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 16

wij wij- k=1, wkk=w 11 i=3 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 17

wij wij- k=1, wkk=w 11 i=M Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 18

wij wij- k=2, wkk=w 22 i=3 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 19

wij wij- k=2, wkk=w 22 i=M Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 20

wij wij- k=3, wkk=w 33 i=M Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 21

a 33 x 3=b 3 x 3= b 3/a 33 Adım adım (i=M-1, M-2, …. . , 1) • Geriye doğru bilinmeyenleri bulmak ve yerine koymak için x 3, , x 2, x 1 w. MM x. M=w. MN idi x. M = w(M-1) x. M-1+w(M-1)Mx. M=w(M-1)N x. M-1= Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 22

Örnek: Yanda verilen 4 bilinmeyenli denklem takımını Gauss-Yoketme yöntemiyle çözünüz. Çözüm Bu denklem takımını sağa genişlemiş matris olarak yazalım ve köşegenin altını sıfırlamak üzere önce birinci satırı esas alarak a 21, a 31 ve a 41 elemanlarını adım sıfırlayalım. Kutuların sol tarafındaki sayılar, sıfırların çarpıldığı sayılardır. Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 23

2/1 k=1. i=2. satırlar 4/1 k=1. i=3. satırlar 5/1 k=1. i=4. satırlar 15/10 k=2. i=3. satırlar 1 -3 4 -5 -11 18/10 k=2. i=4. satırla r 1 -3 4 -5 -11 2 - 4 6 8 42 0 10 -2 18 64 4 3 2 1 -11 0 0 -11 -6 -63 5 3 1 -3 -38 0 18 -19 22 17 1 -3 4 -5 -11 77/55 k=3. i=4. satırla r 1 -3 4 -5 -11 0 10 -2 18 64 0 10 -2 18 -64 4 3 2 1 -11 0 0 -11 -6 -63 5 3 1 -3 -38 0 0 -77/5 -52/5 -491/5 1 -3 4 -5 -11 0 10 2 -18 -64 0 10 -2 18 64 0 -15 14 -21 -33 0 0 -11 -6 -63 5 3 1 -3 -38 0 0 0 -2 -10 1 -3 4 -5 -11 0 10 -2 18 64 0 15 -14 21 33 0 18 -19 22 17 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 24

Pivot (referans eksen) Seçimi 3 x + 4 y + 2 z= 71 x + 2 y + 6 z= 73 4 x + 12 y + 5 z=180 3 x + 4 y + 2 z= 71 4 x + 12 y + 5 z=180 x + 2 y + 6 z= 73 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 25

Gauss-Yoketme Yönteminin Matlab’ta Çözümü idi Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 26

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 27

Program Algoritması (Yok etme yordamı) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 28

Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 29

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 30

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 31

Örnek: Şekildeki devrede bilinmeyen i 12, i 52, i 32, i 65, i 54 ve i 43 akımlarını Gauss Yoketme yöntemi ile bulun İpucu: ilk 4 denklemi Kirchoff’un akım yasasından, kalan 2 denklemi de her iki kapalı çevrime gerilim yasasını uygulayarak elde edebilirsiniz. b) Problemi çözen programı yazın. Program, ilgili pivot sıfır olduğu sürece (birden fazla sefer de sıfır olabilir) pivotun bulunduğu satırı, bir alt satırla yer değiştirsin. c) Programı anlaşılır şekilde tarif eden bir akış şeması oluşturun. Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 32

Genel olarak devre çözümü yapacak bir programda farklı devrelere karşı esnek olabilmek için her bir direnç arası düğüm olarak tanımlanır. Bu nedenle her düğümü hesaba katmak gerektiği unutulmamalıdır. En genel haliyle çözüm aşağıdaki gibidir. a) Kirscoff’un akım yasası işaretleri göz önüne alındığında b) Kirscoff’un gerilim yasasını 1. ve 2. çevreye uygularsak (akım yönlerini saat yönünde seçelim) 1. çevre denklemi: 5 i 43+ 10 i 32+ 5 (-i 52)=0 2. çevre denklemi: 20 i 65+ 5 i 52+ 5 (-i 12)=-200 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 33

6 bilinmeyenimiz ve 6 denklemimiz var bu denklemleri yeniden düzenleyip matrisel forma getirirsek (karıştırmamak için sıralamayı küçükten büyüğe olacak şekilde yapabiliriz) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 34

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 35

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 36

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 37

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 38

Gauss-Yoketme Yönteminin Algoritması (Yok etme yordamı) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 39

Gauss-Yoketme Yönt. Algoritması (Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 40

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 41

5. 2. YİNELEMELİ YÖNTEMLER • İteratif ve yaklaşık çözümler daha önce anlatılan yerine koyma yöntemlerine bir alternatif oluştururlar. Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 42

5. 2. 1. Gauss-Siedel Yöntemi • 3’e 3’lük bir denklem sistemini örnek olarak alalım. Başlangıç koşulları: x 1=0; x 2=0; x 3=0 0 a 11 x 1+a 12 x 2+a 13 x 3=b 1 a 21 x 1+a 22 x 2+ a 23 x 3=b 2 a 31 x 1+a 32 x 2+ a 33 x 3=b 3 n değişken için Gauss-Siedel formülü; Yakınsama koşulu Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 43

Örnek: Gauss-Siedel yöntemini kullanarak aşağıdaki sistemin çözümünü bulun. • 3 x 1 -0. 1 x 2 -0. 2 x 3 =7. 85 • 0. 1 x 1+7 x 2 - 0. 3 x 3=-19. 3 • 0. 3 x 1+0. 2 x 2+10 x 3=71. 4 Çözüm: Önce bilinmeyenleri diğerleri cinsinden bulalım. Burada x 2 ve x 3’ü sıfır varsayarsak Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 44

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 45

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 46

5. 2. 2. Jacobi Yöntemi Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 47

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 48

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 49

Serhat YILMAZ, KocaeliÜn. , Elektronik ve Hab 50