EANLI DENKLEML MODELLER EANLI DENKLEML MODELLER Eanl denklem

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER • Eşanlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü etki vardır. • Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli bir model kurulamaz. • Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecektir. • Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak etkileyen veya karşılıklı olarak birlikte etkilenen bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır.

Eşanlı modeldeki değişken tanımları • İÇSEL DEĞİŞKEN: Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı olarak etkileyen değişkenlere içsel değişken denir. • DIŞSAL DEĞİŞKEN: Değerleri dışarıdan belirlenen değişkenlerdir.

Örnek 1 1. Talep Denklemi 2. Arz Denklemi Y 1= a 0+a 1 Y 2+u 1 Y 2= a 2+a 3 Y 1+b 1 X+u 2 Y 1: Miktar; Y 2: Fiyat Yağış miktarı(X) X: Yağış Miktarı Arz Miktarı Y 1 Buğday Fiyatı Y 2

Örnek 2 Y=f(X)=a 0+a 1 X +u 1 X=f(Y)=b 0+b 1 Y+b 2 I+u 2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi X Y I

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y 1=f(X 1, X 2, X 3, . . . . Xk, u 1) Y 2=f(X 1, X 2, X 3, . . . . Xk, Y 1, u 2) Y 3=f(X 1, X 2, X 3, . . . . Xk, Y 1, Y 2, u 3) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL • Modelin, ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkenleri yer alır. • İkinci denklemim sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y 1 yer alır. • Üçüncü denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk ve ikinci denklemin içsel değişkenleri yer alır. • Hata terimleri u’ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. • Geri dönüşlü modellerin denklemleri teker basit EKKY ile çözülebilir.

Geri Dönüşlü Model Y 1=a 10 +b 11 X 1+b 12 X 2+u 1 Y 2=a 20+a 21 Y 1 +b 21 X 1+b 22 X 2+u 2 Y 3=a 30+a 31 Y 1+a 32 Y 2 +b 31 X 1+b 32 X 2 +u 3 • Y’ler içsel, X’ler dışsal değişkenlerdir. • Farklı hata terimleri arasında ilişki olmadığı varsayımı yapılmaktadır. Kov(u 1, u 2)=kov(u 1, u 3)=kov(u 2, u 3)=0 • Geri dönüşlü sistemin her bir denklemine ayrı Basit EKKY uygulanabilir. • Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yoktur. Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü sebep ilişkisi gösterir.

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y 1=a 0+a 1 Y 2+a 3 Y 3+b 1 X 1+b 2 X 2+u 1 Y 2=a 3+a 4 Y 1+a 5 Y 3+b 3 X 3+u 2 Y 3=a 6+a 7 Y 1+a 8 Y 2+b 4 X 2+b 5 X 3+u 3 EŞANLI MODEL Y 1 Y 2 X 1 X 2 X 3 Y 1=a 0+b 1 X 1+b 2 X 2+u 1 Y 2=a 1+a 2 Y 1+b 3 X 3+u 2 Y 3=a 3+a 4 Y 1+a 5 Y 2+b 4 X 1+b 5 X 2+u 3 GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Y 3 Y 1 X 1 Y 2 X 2 Y 3 X 3

YAPISAL MODEL • Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını gösteren denklemlerden meydana gelir. • Yapısal denklemler adı verilen bu denklemler, içsel değişkenleri; • Diğer içsel değişkenler • Dışsal değişkenler • Hata teriminin fonksiyonu olarak ifade ederler.

YAPISAL MODELLER • Bir yapısal modelin matematiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şart: Yapısal modelin denklem sayısı Yapısal modelin içsel değişken sayısı = Y 1=a 12 Y 2+a 13 Y 3+……. a 1 MYM+b 11 X 1+b 12 X 2+……. . +b 1 k. Xk+u 1 Y 2=a 21 Y 1+a 23 Y 3+……. a 2 MYM+b 21 X 1+b 22 X 2+……. . +b 2 k. Xk+u 2 Y 3=a 31 Y 1+a 32 Y 2+……. a 3 MYM+b 31 X 1+b 32 X 2+……. . +b 3 k. Xk+u 3 YM=a. M 1 Y 1+a. M 2 Y 2+……. a. M 3 YM+b. M 1 X 1+b. M 2 X 2+……. . +b. Mk. Xk+u. M

YAPISAL MODELLER Y 1, Y 2, …. YM= İçsel(Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X 1, X 2, …. . , XK= Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler 1. Değerleri model içinde tayin edilir. 2. Stokastiktir. Dışsal Değişkenler 1. Değerleri model dışında tayin edilir. 2. Stokastik değildir. 3. İçsel değişkenlerin gecikmleri değerleri de (yt-1) dışsal değişken olarak kabul edilir. 4. Xt, Xt-1 dışsal değişkenler grubundadır.

Daraltılmış Model ♦ Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daraltılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daraltılmış kalıp parametreleri elde edilebilir. ♦ Bir daraltılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y 1= f(X 1, X 2, ……. , Xk, v 1) Y 2= f(X 1, X 2, ……, Xk, v 2) Genel Daraltılmış Model YM= f(X 1, X 2, ……, Xk, v. M) Yi=πi 1 X 1+πi 2 X 2+……. +πik. Xk i=1, . . …M

Yapısal ve Daraltılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Katsayı(=Parametre): Katsayı bir değişkenin önünde yer alan sabittir. Denklem ve Özdeşlikler: * Tanım denklemleri veya Özdeşlikler * Davranış Denklemleri * Denge Şartı Denklemleri

Basit Makro Ekonomik Model Ct=a 0+a 1 Yt +u 1 t Tüketim Fonksiyonu It=b 0+b 1 Yt+b 2 Yt-1+u 2 t Yatırım fonksiyonu Yt=Ct+It+Gt Gelir Eşitliği Denklemi Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1, Gt)=π1+π2 Yt-1+π3 Gt+v 1

Daraltılmış Kalıp Denklemleri It=f (Yt-1, Gt)=π4+π5 Yt-1+π6 Gt+v 2 Yt=f (Yt-1, Gt)=π7+π8 Yt-1+π9 Gt+v 3

Daraltılmış Parametrenin Yapısı Birinci Kısım Etki: Doğrudan etkiyi gösterir. İkinci Kısım Etki: Dolaylı etki, içsel değişkenlerin karşılıklı bağımlılığından doğan etki. = Toplam Etki + Doğrudan Etki Dolaylı Etki

Bir Malın Arz ve Talep Modeli Yapısal Model Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı: Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a 0+a 1 Pt+u 1=b 0+b 1 Pt+u 2 1 v 1 2 v 2

Yapısal ve Daraltılmış Model Parametreleri • Yapısal parametreler, ekonominin tek bir kesimindeki her bir yapısal denklemindeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan etkisini gösterir. • Daraltılmış kalıp parametreleri hem doğrudan hem de dolaylı etkiyi gösterir. • Daraltılmış kalıp parametreleri π’ler, dışsal değişkendeki değişmenin içsel değişkenler üzerindeki doğrudan ve dolaylı olmak üzere toplam etkisini, içsel değişkenler arasındaki karşılıklı bağımlılık dikkate alındıktan sonra, ölçmeye yararlar.

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki hata terimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basit EKKY uygulandığı taktirde TUTARSIZ tahminciler elde edilmektedir. Ct=b 0+b 1 Yt+ut Yt=Ct+It

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI kov(Yt, ut) 0 İspatı Kov (Y, u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0

Eşanlılık Sınaması Eşanlılık sınaması, bir açıklayıcı değişkenin(içsel)hata terimi ile ilişkili olup olamadığının sınanmasıdır. Hausman Model Kurma Sınaması Talep Fonk. : Qt=a 0+a 1 Pt+a 2 It+a 3 Rt+u 1 t (1) Arz (2) Fonk. : Qt=b 0+b 1 Pt+u 2 t Daraltılmış Kalıp denklemleri: Pt=P 0+P 1 It+P 2 Rt+vt (3) Qt=P 3+P 4 It+P 5 Rt+wt (4)

Eşanlılık Sınaması 1. Adım: Pt nin Rt ile It ye göre regresyonu hesaplanıp v-tah ler bulunur. EKKY tahmini (5) 2. Adım: Qt nin Pt ile v-tah’ ne göre regresyonu hesaplanır: [(5), (1) de yerine konulur] 3. Adım: v-tah’nin katsayısına t sınaması uygulanır. Sonuç anlamlı çıkarsa eşanlılık olmadığı önsavı reddedilir.

Dışsallık Sınaması Y 1, Y 2, Y 3 gibi üç değişkenli, üç denklemli bir model ve X 1, X 2, X 3 gibi dışsal değişkenler bulunsun. Y 1 i=b 0+b 2 Y 2 i+b 3 Y 3 i+a 1 X 1 i+u 1 i 1. Adım: Y 2 ve Y 3 için daraltılmış kalıp denklemlerinden Y 2 i-tah ve Y 3 i -tah elde edilir. 2. Adım: Aşağıdaki denklem tahmin edilir. 3. Adım: l 2=l 3=0 önsavı test edilir. Eğer bu önsav reddedilirse Y 2 ve Y 3 içsel sayılır.

EŞANLI MODELLEDE BELİRLENME PROBLEMİ • Eksik Belirlenmiş Denklem(= Belirlenmemiş Denklem) • Tam Belirlenmiş Denklem • Aşırı Belirlenmiş Denklem Belirlenmiş Model

1. Eksik Belirlenme Durumu: • Bir malın arz ve talep modelinin parametreleri tahmin edilmek isteniyor. • Yapısal modelde a 0, a 1, b 0, ve b 1 parametreleri vardır. Fakat sadece iki tane daraltılmış model katsayısı 1 ve 2 den tahmin edilemez. • Arz-talep modeli belirlenmemiş ya da eksik belirlenmiştir.

2. Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri a) Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+u 2 Daraltılmış kalıp denklemleri: P= 1+ 2 I+v 1 Q= 3+ 4 I+v 2 Eksik Belirlenmiş Tam Belirlenmiş

2. Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri b) Talep: Q=a 0+a 1 P+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+b 2 T+u 2 Daraltılmış kalıp denklemleri: P= 1+ 2 T+v 1 Q= 3+ 4 T+v 2 Tam Belirlenmiş Eksik Belirlenmiş

2. Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Her İkisi de Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli c)Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+b 2 T+u 2 Daraltılmış kalıp denklemleri: P= 1+ 2 I+ 3 T+v 1 Q= 4+ 5 I+ 6+v 2 Tam Belirlenmiş

3. Aşırı Belirlenme Durumu Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli Arz fonk. Q=a 0+a 1 P+u 1 Aşırı belirlenmiş Talep fonk. Q=a 2+a 3 P+b 1 I+b 2 Z+u 2 Eksik belirlenmiş Her İki Denklemi de Belirlenmiş Yapısal Model Talep fonk. Q=a 0+a 1 P+a 2 I+a 3 Z+u 1 Tam belirlenmiş Arz fonk. Aşırı belirlenmiş Q=b 0+b 1 P+b 2 T+u 2

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden Hareketle Araştırılması 1. Belirlenmenin İlk Şartı= Boy Şartı K-k m-1 M=Modeldeki toplam içsel değişken sayısı m= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K= Modeldeki toplam dışsal değişken sayısı k=Belirlenmesi araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı 1. K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiştir. 2. K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiştir. 3. K-k<m-1 ise denklem eksik belirlenmiştir.

Örnekler 1. Talep: Q=a 0+a 1 P+u 1 Talep denklemi için: K=0 K-k m-1 k=0 0 -0<2 -1 m=2 0<1 Arz: Q=b 0+b 1 P+u 2 Talep Denklemi Eksik Belirlenmiştir Arz denklemi için: K=0 K-k m-1 k=0 0 -0<2 -1 0<1 m=2 Arz Denklemi Eksik Belirlenmiştir

Örnekler 2. Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+u 1 Talep denklemi için: K=1 K-k m-1 k=1 m=2 1 -1<2 -1 0<1 Arz: Q=b 0+b 1 P+u 2 Talep Denklemi Eksik Belirlenmiştir Arz denklemi için: K=1 K-k m-1 k=0 1 -0<2 -1 1=1 m=2 Arz Denklemi Tam Belirlenmiştir

3. Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+b 2 T+u 2 Talep denklemi için: K=2 K-k m-1 k=1 2 -1<2 -1 1=1 m=2 Talep Denklemi Tam Belirlenmiştir Arz denklemi için: K=2 K-k m-1 k=1 2 -1<2 -1 m=2 1=1 Arz Denklemi Tam Belirlenmiştir

4. Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+a 3 Z+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+b 2 T+u 2 Talep denklemi için: K=3 K-k m-1 k=2 3 -2<2 -1 1=1 m=2 Arz denklemi için: K-k m-1 K=3 k=1 m=2 3 -1<2 -1 2>1 Talep Denklemi Tam Belirlenmiştir Arz Denklemi Aşırı Belirlenmiştir

Yöntem 2: Modeldeki En Az M-1 Değişkeni İçermeme Yöntemi ile Boy Şartı 1. Tam Belirlenme Hali=M-1 2. Aşırı Belirlenme Hali>M-1 3. Eksik Belirlenme Hali< M-1 Örnek: Talep fonk. Q=a 0+a 1 P+u 1 Arz fonk. Q=b 0+b 1 P+u 2 M-1 =2 -1=1 değişkeni içermemesi gerekiyor. Halbuki talep denklemi tüm değişkenleri içeriyor. Eksik belirlenmiştir. Arz fonksiyonu da eksik belirlenmiştir. M=2 olup arz fonksiyonunun M-1 değişkeni içermeme durumu yoktur.

2. Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+u 2 Q, P=içsel değişken; I=dışsal değişken Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması Yapısal model, sadece u terimleri denklemlerin sağında kalacak şekilde düzenlenir. Q-a 0 -a 1 P-a 2 I=u 1 (1. Denklem) Q-b 0 -b 1 P=u 2 (2. Denklem)

2. Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı Adım 2: YKT(Yapısal Katsayılar Tablosu)nin Düzenlenmesi • Satırlarda adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; • Sütunlarda da değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu düzenlenir. Denklemler 1. Denklem 2. Denklem Q 1 1 Değişkenler P I -a 1 -a 2 -b 1 0

Adım 3: BADT(Belirlenmesi Araştırılan Denklemde Bulunmayan Değişkenlerin Katsayıları Tablosu)nin Düzenlenmesi YKT de; belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir. YKT Q P 1. d 1 -a 1 I -a 2 2. d 1 -b 1 0 BADT -a 2

Adım 4: BADT dan (M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir. M-1=2 -1=1 ve (M-1)=1 X 1 |A| = |-a 2| 0 Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır. Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.

1. K-k=m-1 ve (M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem tam belirlenmiştir( Boy şartı da rank şartı da gerçekleşmiştir. ) 2. K-k>m-1 ve (M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem aşırı belirlenmiştir( Boy şartının da rank şartının da gerçekleşmesi) 3. K-k m-1 ve (M-1) boyundaki |A| determinantlarının hepsi sıfıra eşitse ise denklem belirlenmemiştir( Boy şartının gerçekleşmesi fakat rank şartının gerçekleşmemesi) 4. K-k<m-1 ise yapısal denklem eksik belirlenmiş veya belirlenmemiştir.

Talep: Q=a 0+a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0+b 1 P+b 2 T+u 2 Adım 1: Yapısal modelin yeniden yazılması Q-a 0 -a 1 P-a 2 I=u 1 (1. Denklem) Q-b 0 -b 1 P-b 1 T=u 2 (2. Denklem) Adım 2: YKT ‘nin Düzenlenmesi Denklemler Değişkenler P I T Q 1. Denklem 2. Denklem 1 1 -a 1 -b 1 -a 2 0 0 -b 2

Adım 3. BADT’nin Düzenlenmesi YKT Q 1. d 1 P -a 1 2. d 1 -b 1 I -a 2 0 T 0 -b 2 BADT -b 2

Adım 4: M-1=2 -1=1 ve (M-1)=1 X 1 |A| = |-b 2| 0 Adım 5: Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.