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1) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de posición en función del tiempo es: Sabiendo que este gráfico es un arco de parábola y que la velocidad en t=0 s es de 3 m/s, justifique de qué tipo de movimiento se trata. Escriba las ecuaciones horarias del movimiento. Realice los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento.

Veamos primero a qué conclusiones podemos arribar a partir del gráfico de posición en función del tiempo que nos presentan. 1. Podemos observar que el gráfico NO ES una recta, lo que implica que el movimiento NO ES un MRU. 2. La recta tangente al gráfico de posición en función del tiempo en todo el intervalo exhibido tiene pendiente positiva (la posición x aumenta), es decir que la velocidad es positiva. 3. Además, a medida que transcurre el tiempo la velocidad aumenta (la pendiente de la recta tangente es cada vez mayor) lo que implica que la aceleración es positiva. 4. Por último nos dicen que este gráfico de posición en función del tiempo es un arco de parábola. Esto quiere decir que la posición es una función cuadrática del tiempo y por lo tanto el movimiento es un MRUV.

Como ya vimos que el movimiento es un MRUV, sabemos que las ecuaciones horarias tienen que tener la forma: Eligiendo t 0=0 s y usando la información que nos provee el enunciado y la que nos proporciona el gráfico sabemos que: Para poder terminar de escribir las ecuaciones horarias de este movimiento nos falta conocer el valor de la aceleración. A partir del gráfico sabemos que x(10 s)=120 m. Reemplazando esta información en la ecuación horaria de posición tenemos que:

Con lo cual las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento son:

Nos piden ahora hacer los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento. Como el movimiento es un MRUV entonces la aceleración es constante. Además ya hallamos su valor (ax=2 m/s 2), con lo cual el gráfico de aceleración en función del tiempo es:

Como el movimiento es un MRUV entonces el gráfico de velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la aceleración. Para graficar una función lineal alcanza con ubicar dos puntos distintos que pertenezcan al gráfico y luego unirlos con una recta. Ya sabemos que vx(0 s)=3 m/s y además tenemos la ecuación horaria que nos dice cuál es el valor de vx para todo instante de tiempo. Entonces usando esta ecuación averiguo el valor de vx(t) para un instante distinto a t=0 s, por ejemplo t=4 s.

2) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de posición en función del tiempo es: Justifique de qué tipo de movimiento se trata. Escriba las ecuaciones horarias del movimiento. Realice los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento.

Veamos primero a qué conclusiones podemos arribar a partir del gráfico de posición en función del tiempo que nos presentan. 1. Podemos observar que el gráfico es una recta y por lo tanto la pendiente de la recta tangente a este gráfico de posición en función del tiempo (es decir la velocidad) es siempre la misma. Esto que implica que el movimiento es un MRU. 2. También podemos ver que el valor de la posición x disminuye con el transcurso del tiempo, es decir que la velocidad es negativa.

Como ya vimos que el movimiento es un MRU, sabemos que las ecuaciones que lo describen tienen que tener la forma: Eligiendo t 0=0 s y usando la información que nos proporciona el gráfico sabemos que: Para poder terminar de escribir las ecuaciones horarias de este movimiento nos falta conocer el valor de la velocidad. A partir del gráfico sabemos que x(10 s)=-10 m. Reemplazando esta información en la ecuación horaria de posición tenemos que: Con lo cual las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento son:

Nos piden ahora hacer los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento. Como el movimiento es un MRU entonces la velocidad es constante. Además ya hallamos su valor (vx=-2 m/s), con lo cual el gráfico de velocidad en función del tiempo es:

Hagamos ahora el gráfico de ax(t) correspondiente a este movimiento. Como la velocidad es constante, entonces la aceleración es nula (la aceleración indica el cambio de velocidad con el transcurso del tiempo). Otra forma de verlo es que la aceleración es la pendiente de la recta tangente al gráfico de velocidad en función del tiempo. En este caso el gráfico de velocidad es una recta horizontal y la pendiente de una recta horizontal es igual a 0. Con lo cual el gráfico de aceleración en función del tiempo es:

3) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de velocidad en función del tiempo es: Justifique de qué tipo de movimiento se trata. Sabiendo que la posición en t=0 s es de 2 m, escriba las ecuaciones horarias del movimiento. Realice los gráficos de x(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento.

Veamos primero a qué conclusiones podemos arribar a partir del gráfico de velocidad en función del tiempo que nos presentan. 1. Podemos observar que la velocidad NO ES constante, lo que implica que el movimiento NO ES un MRU. 2. Podemos observar que el gráfico es una recta y por lo tanto la pendiente de la recta tangente a este gráfico de velocidad en función del tiempo (es decir la aceleración) es siempre la misma. Esto que implica que la aceleración es constante y por lo tanto el movimiento es un MRUV. 3. También podemos ver que el valor de la velocidad vx disminuye con el transcurso del tiempo, es decir que la aceleración es negativa.

Como ya vimos que el movimiento es un MRUV, sabemos que las ecuaciones horarias tienen que tener la forma: Eligiendo t 0=0 s y usando la información que nos dan en el enunciado y la que nos proporciona el gráfico sabemos que: Para poder terminar de escribir las ecuaciones horarias de este movimiento nos falta conocer el valor de la aceleración. A partir del gráfico sabemos que vx(10 s)=-2 m/s. Reemplazando esta información en la ecuación horaria de velocidad tenemos que:

Con lo cual las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento son:

Nos piden ahora hacer los gráficos de x(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento. Como el movimiento es un MRUV entonces la aceleración es constante. Además ya hallamos su valor (ax=-0, 5 m/s 2), con lo cual el gráfico de aceleración en función del tiempo es:

Hagamos ahora el gráfico de x(t) correspondiente a este movimiento. Como el movimiento es un MRUV sabemos que este gráfico debe ser una parábola. Este gráfico lo realizaremos en forma aproximada ya que no tenemos una regla en forma de parábola. Una forma de hacer este gráfico es confeccionar una tabla de valores utilizando la ecuación horaria de posición: Marcar luego estos puntos en el gráfico. Y por último unirlos con una curva.

Otra forma de hacer el gráfico de x(t) correspondiente a este movimiento. Como el movimiento es un MRUV sabemos que este gráfico debe ser una parábola. 2 el Por Primero, Luego último analizamos miramos lacaso el ecuación qué signo dehoraria tiene la positiva velocidad ladeaceleración. alguno averiguamos de extremos, que si la aceleración por deen la ejemplo Como en enusando nuestro caso vla aceleración es esposición, (negativa vxen (0 s)=3 m/s (Sabemos ax=-0, 5 m/s ) lalos recta tangente ), valor entonces la t=0 s x(0 s) posición es positiva entonces loses extremos la parábola del intervalo debe sertiempo así: que interesa. t=0 s. así: Si ven (0 s) entonces la de pendiente de lanos recta tangente en t=0 s debe será parábola serpositiva así: xdebe ser positiva: Si vx(0 s)=0 m/s la recta tangente en t=0 s ser horizontal: Y si ladebe aceleración es negativa debe ser así: Y Si vx(0 s) es negativa: Y marcamos esos puntos en el gráfico.

4) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de aceleración en función del tiempo es: Justifique de qué tipo de movimiento se trata. Sabiendo que x(0 s)=0 m y que el móvil partió del reposo, escriba las ecuaciones horarias del movimiento. Realice los gráficos de x(t) y de vx(t) correspondientes a este movimiento.

Como la aceleración no cambia con el transcurso del tiempo, es decir que es constante, el movimiento es un MRUV. En consecuencia, las ecuaciones horarias tienen la forma: Eligiendo t 0=0 s y usando la información que nos provee el enunciado y la que nos proporciona el gráfico podemos escribir las ecuaciones horarias:

Nos piden ahora hacer los gráficos de x(t) y de vx(t) correspondientes a este movimiento. Como el movimiento es un MRUV entonces el gráfico de velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la aceleración. Para graficar una función lineal alcanza con ubicar dos puntos distintos que pertenezcan al gráfico y luego unirlos con una recta. Ya sabemos que vx(0 s)=0 m/s y además tenemos la ecuación horaria que nos dice cuál es el valor de vx para todo instante de tiempo. Entonces, usando esta ecuación averiguo el valor de vx(t) para un instante distinto a t=0 s, por ejemplo t=7 s.

Hagamos ahora el gráfico de x(t) correspondiente a este movimiento. Como el movimiento es un MRUV sabemos que este gráfico debe ser una parábola. Obtenemos primero la posición al comienzo y al final del intervalo: Marcamos esos puntos en el gráfico. Además, en nuestro caso vx(0 s)=0 m/s, entonces la recta tangente al gráfico en t=0 s debe ser horizontal: En nuestro caso la aceleración es positiva (ax=1 m/s 2), entonces la parábola debe ser cóncava:

5) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo uniformemente variado a partir del instante t=0 s. Sabiendo que: x(0 s)=-4 m, vx(0 s)=1 m/s y vx(10 s)=-2 m/s, escriba las ecuaciones horarias del movimiento. Realice los gráficos de x(t), vx(t) y ax(t) correspondientes a este movimiento. Hagamos primero el gráfico de vx(t). Como el movimiento es un MRUV entonces sabemos que el gráfico de velocidad en función del tiempo es una recta. Y nos dan como dato en el enunciado dos puntos de ese gráfico. Los marco en el gráfico y los uno con una recta. A partir de este punto la resolución es igual a la del ejercicio 3. Exhibo a continuación las respuestas.

Averiguo la aceleración: Entonces, las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento son: Y los gráficos de x(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento son:

6) Para los cinco ejercicios anteriores, 7) analice: 8) * en qué intervalos de tiempo el movimiento se da hacia los x positivos, en cuáles se da hacia los x negativos y en qué instantes se produce el cambio de sentido de movimiento (¿cuál es el valor de vxen esos instantes? ) 9) * en qué intervalos de tiempo la rapidez aumenta y en cuáles disminuye. 10)calcule: 11) * el desplazamiento en el intervalo de 0 s a 10 s. 12) * la velocidad promedio correspondiente al intervalo de 0 s a 10 s. 13) * la distancia recorrida en el intervalo de 0 s a 10 s.

Analicemos el sentido de movimiento. El movimiento se da hacia los x positivos si vx(t)>0, es decir cuando el valor de la posición aumenta con el transcurso del tiempo, y hacia los negativos si vx(t)<0, es decir cuando el valor de la posición disminuye con el tiempo. Para el primero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t). En este gráfico se puede ver claramente que la velocidad es siempre positiva y por lo tanto en todo este intervalo [0 s; 10 s] el movimiento se da hacia los x positivos. Consecuentemente, puede observarse en el gráfico de x(t) que la posición aumenta en todo el intervalo de tiempo considerado.

Para el segundo de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t). En este gráfico se puede ver que la velocidad es siempre negativa, de hecho es constantemente igual a -2 m/s y por lo el móvil siempre se mueve hacia los x negativos. Consecuentemente, puede observarse en el gráfico de x(t) que la posición disminuye en todo el intervalo de tiempo considerado.

Para el tercero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t). En este gráfico se puede ver que vx es positiva en el intervalo de [0 s; 6 s), es decir que en ese intervalo el móvil se mueve hacia los x positivos, y que es negativa en el intervalo (6 s; 10 s] y por lo tanto el móvil se mueve hacia los x negativos. Puede observarse también en el gráfico de x(t) que la posición aumenta en el intervalo [0 s; 6 s) y disminuye en el intervalo (6 s; 10 s]. El cambio de sentido de movimiento se da cuando vx=0. Por lo general es necesario utilizar la ecuación horaria para saber en qué valor de t ocurre.

Para el cuarto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t). En este gráfico se puede ver claramente que la velocidad es positiva para todo el intervalo (0 s; 10 s] y por lo tanto el movimiento se da hacia los x positivos. A tiempo t=0 s el móvil se halla en reposo con lo cual no se desplaza ni hacia los x positivos ni hacia los negativos. Consecuentemente, puede observarse en el gráfico de x(t) que la posición aumenta en todo el intervalo de tiempo considerado.

Para el quinto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t). En este gráfico se puede ver que vx inicialmente es positiva y al finalizar el intervalo es negativa. Como el cambio de sentido de movimiento se da cuando vx=0, utilicemos la ecuación horaria para saber en qué valor de t ocurre. En conclusión el móvil se mueve hacia los x positivos en [0 s; 3, 33 s), hacia los negativos en el intervalo (3, 33 s; 10 s] y el cambio en el sentido de movimiento se da en t=3, 33…s Puede observarse también en el gráfico de x(t) que la posición aumenta en el intervalo [0 s; 3, 33 s) y disminuye en el intervalo (3, 33 s; 10 s].

Analicemos ahora la rapidez. Hay básicamente dos formas de hacerlo. Como ya vimos en clase, la rapidez, que es igual al módulo de la velocidad, aumenta cuando la velocidad y la aceleración tienen igual signo y disminuye cuando tienen signo opuesto. Primera forma de hacerlo: teniendo el gráfico de vx(t). Realizamos un gráfico del módulo de la velocidad, es decir de la rapidez. Segunda forma de hacerlo: analizar en qué intervalos de tiempo vx y ax tienen igual signo y en cuáles tienen signo dstinto.

Para el primero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx). Vemos claramente que la rapidez aumenta en todo el intervalo [0 s; 10 s]. A partir del gráfico de ax(t) se observa que en el intervalo [0 s; 10 s] tanto la aceleración como la velocidad son positivas, es decir que tienen igual signo, lo que implica que la rapidez aumenta en todo el intervalo.

Como el segundo de los movimientos estudiados es un MRU, la velocidad es constante y por lo tanto su módulo, es decir la rapidez, también lo es. Para el tercero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx). Vemos claramente que la rapidez disminuye de 0 s a 6 s y aumenta de 6 s a 10 s. En este caso la aceleración es constante y vale siempre ax=-0, 5 m/s 2, es decir que es siempre negativa. Vemos en el gráfico de vx(t) que la velocidad es positiva en el intervalo [0 s; 6 s], en consecuencia ax y vx tienen distinto signo y por lo tanto la rapidez disminuye. De 6 s a 10 s tanto ax como vx tienen igual signo, lo que implica que la rapidez aumenta en ese intervalo.

Para el cuarto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx). Vemos claramente que la rapidez aumenta en todo el intervalo [0 s; 10 s]. En este caso la aceleración es constante y vale siempre ax=1 m/s 2, es decir que es siempre positiva y la velocidad también lo es, en consecuencia ax y vx tienen en este caso siempre el mismo signo y por lo tanto la rapidez aumenta en todo el intervalo.

Para el quinto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx). Vemos que la rapidez primero disminuye y luego aumenta. En este caso la aceleración es constante y vale siempre ax=-0, 3 m/s 2, es decir que es siempre negativa. Vemos en el gráfico de vx(t) que la velocidad primero es positiva (ax y vx tienen distinto signo y por lo tanto la rapidez disminuye), en un cierto instante se hace 0 y luego es negativa (ax y vx tienen igual signo y por lo tanto la rapidez aumenta). Nos faltaría averiguar en qué instante pasa de disminuir a aumentar y eso ocurre cuando la velocidad cambia de signo, es decir cuando se invierte el sentido de movimiento, y esto ya lo hicimos: Por lo tanto la rapidez disminuye en [0 s; 3, 33 s) y aumenta en (3, 33 s; 10 s].

Calculemos ahora el desplazamiento, la velocidad promedio y la distancia recorrida para cada movimiento. El desplazamiento realizado en un cierto intervalo de tiempo [tinicial; tfinal] es el cambio neto de posición: Dx=x(tfinal)-x(tinicial). Una forma de hacerlo si uno tiene el gráfico de x(t) es fijarse cuál es el valor de la posición al principio del intervalo y al final del intervalo y luego hacer la diferencia.

Si uno tiene la ecuación horaria de x(t) puede hallar cuál es el valor de la posición al principio del intervalo y al final del intervalo y luego hacer la diferencia. Por ejemplo, para el segundo movimiento: ecuación horaria Por último, otra forma de calcular el desplazamiento si uno tiene el gráfico de vx(t) es calcular el área encerrada entre el gráfico y el eje tomando como positivas las que están por arriba del eje y negativas las que están por debajo. Por ejemplo para el tercer movimiento tenemos:

Procediendo de cualquiera de esas tres formas se puede calcular al desplazamiento para los dos movimientos restantes: Para el cuarto: Dx=50 m Y para el quinto: Dx=-5 m La velocidad media o promedio en un intervalo de tiempo [tinicial; tfinal] es la velocidad que debería tener para realizar el mismo desplazamiento en el mismo intervalo de tiempo si el movimiento fuese un MRU y por lo tanto se calcula: La velocidad media para cada uno de los cinco movimientos en el intervalo [0 s; 10 s] es: 1) vxmedia=13 m/s 2) vxmedia=-2 m/s 3) vxmedia=0, 5 m/s 4) vxmedia=5 m/s 5) vxmedia=-0, 5 m/s Donde lo único que hicimos fue dividir el desplazamiento por el lapso de tiempo correspondiente que en este caso es de 10 s.

Por último nos falta calcular la distancia recorrida. Hay dos formas fáciles de hacerlo. Si un movimiento es rectilíneo y el sentido de movimiento es siempre el mismo entonces la distancia recorrida es igual al módulo del desplazamiento. Por ejemplo, para el primer movimiento, como es rectilíneo y siempre se mueve hacia los positivos, tenemos que: Distancia recorrida = │Dx│=130 m Si en algún momento cambia el sentido de movimiento siempre podemos subdividir el intervalo de forma tal que en cada parte se esté desplazando siempre en un mismo sentido. Por ejemplo, para el tercer movimiento tenemos que: Distancia recorrida de 0 s a 6 s= │x(6 s)-x(2 s)│= │11 m-2 m│ =9 m Distancia recorrida de 6 s a 10 s= │x(10 s)-x(6 s)│= │7 m-11 m│ =4 m Distancia total de 0 s a 10 s =9 m+4 m=13 m

Por último, la otra forma de calcular la distancia recorrida si uno tiene el gráfico de vx(t) es calcular el área encerrada entre el gráfico y el eje tomando todas las áreas como positivas. Por ejemplo, calculemos nuevamente la distancia recorrida para el tercer movimiento siguiendo este camino: La distancia recorrida para los movimientos restantes es: 2) Distancia recorrida = 20 m 4) Distancia recorrida = 50 m 5) Distancia recorrida = 8, 33…m