Vzjomn poloha priamok v priestore Analytick geometria linernych

Vzájomná poloha priamok v priestore Analytická geometria lineárnych útvarov

Poloha priamok • totožné – splývajúce p = q – rovnaké vektory, všetky body sú totožné • rovnobežné p‖q – rovnaké vektory, žiaden spoločný bod • rôznobežné p‖q – rôzne vektory, jediný spoločný bod = priesečník • mimobežné p q – rôzne vektory, nemajú žiaden spoločný bod

Totožné priamky • rovnaké vektory, všetky body sú totožné p s q p=q

Rovnobežné priamky p ‖ q • rovnaké vektory, nemajú spoločné body, dá sa nimi položiť rovina p s q

Rôznobežné priamky p ‖ q • rôzne vektory, majú 1 spoločný bod – priesečník P, dá sa nimi položiť rovina sp q sq P p

Mimobežné priamky p • rôzne vektory, nemajú spoločný bod, nedá sa nimi položiť rovina sp Ap p sq q Aq q

Príklad 1 Určte vzájomnú polohu priamok: a: x = 1 – t, y = 2 + t, z = -1 + t , b: x = 2 + 2 r, y = 1 – 2 r, z = -2 r • Pre vektory platí: majú rovnaký smer, len inú veľkosť • Priamky môžu byť rovnobežné alebo totožné – určíme podľa jedného bodu: • Bod A[1, 2, -1] leží na priamke a, neleží na priamke b priamky a, b sú rovnobežné a ‖ b

Príklad 2 Určte vzájomnú polohu priamok: a: x = 1 – t, y = 2 + t, z = 1 + t , b: x = 2 + 2 r, y = 1 – 2 r, z = -2 r • Pre vektory platí: majú rovnaký smer, len inú veľkosť • Priamky môžu byť rovnobežné alebo totožné – určíme podľa jedného bodu: • Bod A[1, 2, 1] leží na priamke a, leží na priamke b priamky a, b sú totožné a = b

Príklad 3 Určte vzájomnú polohu priamok: a: x = 1 – 2 t, y = 8 + 3 t, z = 6 – t , b: x = 4 + s, y = 3 – 2 s, z = 10 + 3 s • Pre vektory platí: nemajú rovnaký smer • Priamky môžu byť rôznobežné alebo mimobežné – určíme hľadaním priesečníka:

Príklad 3 pokračovanie • priamky môžu byť rôznobežné alebo mimobežné – určíme hľadaním priesečníka: a: x = 1 – 2 t, y = 8 + 3 t, z = 6 – t , b: x = 4 + s, y = 3 – 2 s, z = 10 + 3 s priamky a, b sú rôznobežné a ‖ b • priesečník P[3, 5, 7]

Príklad 4 Určte vzájomnú polohu priamok: a: x = -3 + 2 t, y = -1 + 2 t, z = 4 t , b: x = 3 + r, y = -1 + 2 r, z = 4 • Pre vektory platí: nemajú rovnaký smer • Priamky môžu byť rôznobežné alebo mimobežné – určíme hľadaním spoločného bodu:

Príklad 4 pokračovanie • priamky môžu byť rôznobežné alebo mimobežné – určíme hľadaním spoločného bodu: a: x = -3 + 2 t, y = -1 + 2 t, z = 4 t , b: x = 3 + r, y = -1 + 2 r, z = 4 priamky a, b sú mimobežné a b

Príklady učebnica M 5 – riešené 75 – 77/Pr. 65 – 67 – neriešené 78/1 – 5

Koniec