Analytick geometria kvadratickch tvarov Elipsa a priamka Vzjomn

Analytická geometria kvadratických útvarov Elipsa a priamka

Vzájomná poloha a b t sečnica a dotyčnica t ukážka v Geogebre nesečnica b

Riešenie vzájomnej polohy Polohu priamky a elipsy riešime rovnakým postupom ako vzájomnú polohu kružnice a priamky, čiže riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych. Rovnicu alebo vyjadrenie priamky dosadíme do rovnice elipsy a upravíme. Dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorú štandardne riešime. Podľa hodnoty diskriminantu určíme vzájomnú polohu nasledovne: • D > 0 ide o sečnicu – rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s elipsou pretína. • D < 0 ide o nesečnicu – rovnica nemá riešenie. • D = 0 ide o dotyčnicu – rovnica má jedno riešenie, pomocou ktorého dostaneme súradnice dotykového bodu.

Príklady na precvičenie Určte vzájomnú polohu priamky a elipsy, ak je dané: a) priamka p: x = 5 + 3 t, y = 2 t a elipsa e: 4 x 2 + y 2 = 4 riešenie b) priamka p: x + 2 y – 25 = 0 a elipsa e: 4 x 2 + 9 y 2 = 900 riešenie c) priamka p: 3 x – y + 2 = 0 a elipsa e: x 2 + 4 y 2 = 16 riešenie

koniec

Príklad a) Určte vzájomnú polohu priamky a elipsy, ak je daná priamka p: x = 5 + 3 t, y = 2 t a elipsa e: 4 x 2 + y 2 = 4. priamka je nesečnica späť

Príklad b) Určte vzájomnú polohu priamky a elipsy, ak je daná priamka p: x + 2 y – 25 = 0 a elipsa e: 4 x 2 + 9 y 2 = 900. priamka je dotyčnica v bode T[9, 8]. späť

Príklad c) Určte vzájomnú polohu priamky a elipsy, ak je daná priamka p: 3 x – y + 2 = 0 a elipsa e: x 2 + 4 y 2 = 16. priamka je sečnica v bodoch [0, 2] a [ , ] späť