Rovina Analytick geometria linernych tvarov m je rovina

Rovina Analytická geometria lineárnych útvarov

Čím je rovina určená • pevným bodom (A) • 2 smerovými vektormi (u, v) u A v • rovinu z rovnobežných rovín určuje pevný bod

Ako rovinu vyjadriť 1. parametrické vyjadrenie 2. všeobecná rovnica roviny

Parametrické vyjadrenie roviny PVR: X = A + t. u + s. v, t, s R u A v A[a 1; a 2; a 3] u = (u 1; u 2; u 3) v = (v 1; v 2; v 3) podľa súradníc: α: x = a 1 + t. u 1 + s. v 1 y = a 2 + t. u 2 + s. v 2 z = a 3 + t. u 3 + s. v 3

Príklad 1 Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom A[1, -3, 2] a má smerové vektory u = (2, -4, 1), v = (4, 1, -3) α: x = a 1 + t. u 1 + s. v 1 y = a 2 + t. u 2 + s. v 2 z = a 3 + t. u 3 + s. v 3 α: x = 1 + 2 t + 4 s y = -3 – 4 t + 1 s z = 2 + 1 t – 3 s

Príklad 2 Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi A[2, -4, 1], B[0, -3, -1], C[3, -2, 0] α : x = a 1 + t. u 1 + s. v 1 y = a 2 + t. u 2 + s. v 2 z = a 3 + t. u 3 + s. v 3 α : x = 2 – 2 t + s y = -4 + t + 2 s z = 1 – 2 t – s

Príklady 1. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom F[ -2, 6, -1] a má smerové vektory u = (-8, 9, 3), v = (3, -5, 6). 2. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi S[ -3, 3, -5], T[1, 7, -6], R[-2, 3, 6]. 3. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi E[-1, 0, 2], F[3, -2, 0], G[-2, 1, 1].

Príklady 4. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom K[-2, 0, -3] a je rovnobežná s rovinou α: x = 1 + 3 t – 2 s, y = 4 – 5 t + 3 s, z = 1 – 2 t – 3 s. 5. Zistite, či body G[10, -11, 0], H[-5, 14, 7] ležia v rovine α : x = 1 + 3 t – 2 s, y = 4 – 5 t + 3 s, z = 1 – 2 t – 3 s.

Príklady učebnica M 5 – riešené 79/Pr. 68 – 71 – neriešené 80/1 – 4

Všeobecná rovnica roviny • pevným bod (A) • normálový vektor (n) A[a 1; a 2; a 3] u = (u 1; u 2; u 3) v = (v 1; v 2; v 3) n = (a; b; c) u n v n u n A v VRR: ax + by + cz + d = 0

Ako určiť normálový vektor • je kolmý na 2 rôzne smerové vektory skalárny súčin smerového a normálového vektora je 0 • treba nájsť tri čísla a, b, c také, aby to platilo

Príklad 3 Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (2, 1, 0), v = (1, 2, 3) n = (a, b, c) Zvolíme napr. a = 1 Potom b = -2, c = 1 Normálový vektor je: n = (a, b, c) = (1, -2, 1)

Príklad 4 Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (-1, 2, -3), v = (0, -1, 1) n = (a, b, c) Zvolíme napr. c = 1 Potom a = -1, b = 1 Normálový vektor je: n = (a, b, c) = (-1, 1, 1)

Príklady Nájdite kolmý vektor na vektory: 1. u = (2, -2, 1), v = (0, 1, -2) 2. u = (0, 0, 1), v = (1, 1, 2) 3. u = (3, 2, -3), v = (2, -1, 3) 4. u = (1, 1, 1), v = (-3, 1, -1) 5. u = (0, 0, 1), v = (0, 1, 1)

Príklad 5 Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá má smerové vektory: u = (-1, 2, -3), v = (0, -1, 1) a v ktorej leží bod A[2, -3, 4] n = (a, b, c) sme určili v Príklade 4 Normálový vektor je: n = (a, b, c) = (-1, 1, 1) Dosadíme za a, b, c do základného tvaru: Dosadíme súradnice bodu A za x, y, z

Príklad 6 Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá má smerové vektory: u = (1, 2, 3), v = (0, 0, 1) a v ktorej leží bod A[1, 4, -5] Normálový vektor je: n = (a, b, c) = (-2, 1, 0) Dosadíme za a, b, c do základného tvaru: Dosadíme súradnice bodu A za x, y, z

Príklad 7 Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodmi A[2, -4, 0], B[-3, -1, 1] a C[3, 1, 1] n = (1; -3; 14)

Príklad 8 Napíšte VR roviny, ktorá má PV : x = 2 – 2 t + s; y = 1 + 3 t – 2 s; z = t + 3 s

Príklady 1. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodom F[-2, 6, 1] a je kolmá na vektor n = (-8, 9, 6). 2. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodom H[3, 5, -7] a je rovnobežná s vektormi a = (0, 2, -1) a b = (1, 1, 0). 3. Napíšte VR roviny, ktorá je kolmá na priamku, ktorá prechádza bodmi S[-3, 1] a T[0, 7, -6] a prechádza bodom T. 4. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodmi E[0, -1, 4], F[4, 5, 0] a G[1, -2, 3].

Príklady 5. Napíšte VR roviny, ktorá má vyjadrenie : x = 4 t + s; y = 4 + t; z = 1 + t – s. 6. Napíšte súradnice aspoň troch bodov roviny, ktorá má rovnicu : 2 x – 3 y + z + 6 = 0 7. Nájdite aspoň tri vektory, ktoré sú rovnobežné s rovinou : x – y + 2 z + 4 = 0 8. Napíšte parametrické vyjadrenie rovniny, ktorá má všeobecnú rovnicu : x – y + z + 1 = 0

Príklady učebnica M 5 – riešené 82 -83/Pr. 72 - 76 – neriešené 84/1 - 7

koniec