Uredjeni skupovi i mree Ivana Mici Relacija poredka

Uredjeni skupovi i mreže Ivana Micić

Relacija poredka (uredjenja) na skupu

Uredjeni skupovi

Izotona i antitona preslikavanja

Min (max) i najmanji (najveći) element

Donja i gornja granica

Mreža Uredjen skup čiji svaki dvoelementni podskup ima supremum i infimum nazivamo mrežom. Indukcijom se lako dokazuje da i svaki konačan podskup mreže ima supremum i infimum. Za beskonačne podskupove mreže to ne mora da važi. Teorema Ako je L mreža, tada je (L, ∧, ∨) univerzalna algebra takva da za sve x, y, z ∈ L važe sledeći uslovi: (L 1) x ∧ x = x, x ∨ x = x (idempotentnost); (L 2) x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x (komutativnost); (L 3) (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z), (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (asocijativnost); (L 4) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x (apsorpcija). Obratno, ako je L algebra sa dve binarne operacije ∧ i ∨ koje zadovoljavaju uslove (L 1)–(L 4), tada je L mreža, u odnosu na parcijalno uredjenje definisano sa a < b ⇔ a ∧ b = a (ili, ekvivalentno, a > b ⇔ a ∨ b = a).

Kompletna mreža Kako smo napred napomenuli, svaki konačan podskup mreže ima supremum i infimum, ali to ne mora da važi za beskonačne podskupove. Stoga za mrežu u kojoj svaki neprazan podskup ima supremum i infimum nazivamo potpunom ili kompletnom mrežom. Jasno, svaka takva mreža je ograničena. Primer 1. Označimo sa E (A) skup svih relacija ekvivalencije na nepraznom skupu A. Taj skup je parcijalno uredjen inkluzijom relacija, i u odnosu na to parcijalno uredjenje on je potpuna mreža. Primer 2. Neka je dat skup svih kongruencija na algebri A tipa F. Tada on predstavlja kompletnu podmrežu mreže E (A) relacija ekvivalencije na A, sa istom nulom i jedinicom kao u E (A).

Reziduirane mreže Koriste se kao strukture istinitosnih vrednosti u fazi logici. U nastavku ćemo pokazati kako se prirodne logičke pretpostavke reflektuju na odgovarajuće osobine strukture istinitosnih vrednosti. Približna ocena istine direktno vodi do pretpostavke da je skup istinitosnih vrednosti L parcijalno uredjen (relacijom ) sa 0 i 1 kao najmanjim i najvećim elementom, respektivno. Za svake dve istinitosne vrednosti a i b, postoji istinitosna vrednost veća od obe (može se uzeti 1). Na ovaj način dolazimo do zahteva za postojanjem supremuma (dualno infimuma) dvoelementnih podskupova u L.

Modeliranje kvantivifikatora Označimo sa {ϕi | i ∈ I} skup nekih datih pravila. Uopštenje klasičnog slučaja dvoelementne logike, dovodi do pretpostavke da je istinitosna vrednost izraza ”postoji i tako da je ϕi” supremum svih istinitosnih vrednosti od ϕi, tj. ||”postoji i tako da je ϕi”|| =Vi∈I||ϕi|| (||ϕ|| je istinitosna vrednost od ϕ). Dakle, ako želimo da razvijemo ove egzistencijalne (i dualno, univerzalne) osobine, onda supremum ( i infimum) proizvoljnog podskupa od L MORAJU DA postoje. Na ovaj način zaključujemo da je L, kompletna mreža

Modeliranje konjunkcije & Operaciju koja joj odgovara označićemo sa ⊗, tj. ⊗ je binarna operacija na L i da bi ona izražavala operaciju koja odgovara klasičnoj konjnkciji zahtevamo da važi: 1⊗ 1 = 1; 1⊗ 0 = 0⊗ 1 = 0 ⊗ 0 = 0. Ako želimo da istinitosna vrednost od ϕ&ψ bude ista kao istinitosna vrednost od ψ&ϕ, dolazimo do zahteva da ⊗ bude komutativna operacija. Dakle važi: ||ϕ&ψ|| = ||ϕ|| ⊗ ||ψ|| i ||ψ&ϕ|| = ||ψ|| ⊗ ||ϕ||, pa uslov ||ϕ&ψ|| = ||ψ&ϕ|| povlači ||ϕ|| ⊗ ||ψ|| = ||ψ|| ⊗ ||ϕ||. Iz zahteva da su istinitosne vrednosti za ϕ&(ψ&χ) = (ϕ&ψ)&χ dolazimo do asocijativnosti operacije ⊗. (L, ⊗, 1) je komutativan monoid.

Modeliranje konjunkcije & Dalje, intuitivno zahtevamo da ⊗ bude neopadajuća operacija, tj. da iz a 1< a 2 i b 1<b 2 sledi a 1 ⊗ b 1< a 2 ⊗ b 2, što znači da većim istinitosnim stepenima dva pravila odgovaraju veći istinitosni stepeni njihove konjunkcije.

Modeliranje implikacije

Modeliranje implikacije

Modeliranje implikacije

Kompletna reziduirana mreža