SKUPOVI Skupovi i neka njihova svojstva Sonja Bani

SKUPOVI Skupovi i neka njihova svojstva Sonja Banić, prof.

Ova prezentacija pomoći će vam da steknete neka osnovna znanja o skupovima. Podatke koji vam se čine važni možete, ako želite, zapisati u bilježnicu. Ako želite ići dalje, kliknite na lijevu tipku miša. Zadatke rješavajte u bilježnicu. Nakon što ste riješili zadatke, možete klikom na lijevu tipku miša provjeriti rješenja. Želim vam ugodan i uspješan rad!

Skup je osnovni matematički pojam koji ne definiramo. Skup čine njegovi elementi. Element skupa je osnovni matematički pojam koji ne definiramo. Često smo spominjali skupove brojeva. . . ili skupove točaka u ravnini: skup prirodnih brojeva: N={1, 2, 3, 4, . . } Kružnica je skup točaka ravnine jednako udaljenih od čvrste točke, središta kružnice. skup parnih brojeva: A={2 k : k je cijeli broj}

Skupove obično označavamo velikim slovima A, B, C, . . . , a njihove elemente malim a, b, c, d, . . Da je a element skupa A kraće zapisujemo koristeći znak a A Da b nije element skupa A kraće zapisujemo koristeći znak b A

Skup je zadan kada je točno određeno koji elementi čine taj skup. Skup možemo zadati takoda nabrojimo sve njegove elemente: A={a, e, i, o, u } B={2, 4, 6, 8} Ili možemo odrediti elemente skupa pomoću njihovih svojstava: A={samoglasnik u hrvatskoj abecedi} B={x | x je paran broj manji od 10}

ZADATAK 1: a) Zapiši navođenjem elemenata skup A višekratnika broja 3 manjih od 30 b) Koje su od sljedećih tvrdnji istinite: 1) 3 A 2) 14 A 3) 2 A 4) 21 A RJEŠENJE: a) A={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} b) 1) da 2) ne 3) da 4) ne

Broj elemenata nekog skupa nazivamo kardinalni broj tog skupa. Kardinalni broj skupa S označavamo sa |S| ili k. S PRIMJER: A={a, e, i, o, u }, |A|=5 ili k. A=5 B={2, 4, 6, 8}, |B|=4 ili k. B=4 A kakav je kardinalni broj skupa prirodnih brojeva?

Za skupove koji imaju beskonačno mnogo elemenata Kažemo da su beskonačni skupovi. Njihov kardinalni broj možemo označiti s ∞. Takvi su skupovi N, Z, Q, R i C Svi oni imaju beskonačno mnogo elemenata (ali ne i jednako mnogo elemenata). Ako je kardinalni broj skupa S prirodan broj kažemo da je skup S konačan skup ili da ima konačno mnogo elemenata.

Skup koji nema niti jednog elementa nazivamo prazan skup i označavamo s Ø. Očito vrijedi: kØ=0 ZADATAK: Odredi kardinalne brojeve sljedećih skupova: 1) A={x | x je prirodan broj manji od 10} 2) B={x | x je cijeli broj manji od od 10} 3) C={x | x je prirodan broj manji od 0} 4) D={x | x je cijeli broj veći od -5 i manji od 5} RJEŠENJE: 1) k. A=9 2) k. B=∞ 3) k. C=0 4) k. D=9

Da bismo lakše stvorili predodžbu o odnosima među skupovima koje promatramo, prikazujemo ih crtežima. Takav način prikazivanja skupova naziva se Venn-Eulerovi dijagrami. A u u A B B

Za skup A kažemo da je podskupa B ako je svaki element skupa A također i element skupa B. To označavamo s A B. B A Prazan skup je podskup svakog skupa. Ø A Na primjer, skup prirodnih brojeva je podskupa cijelih brojeva, N Z. Primjetimo, svaki skup je podskup samog sebe. A A

ZADACI: 1. Je li skup S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} podskupa prirodnih brojeva? Ne, jer 0 nije prirodan broj. 2. Neka je A={4, 6, 8, 10}. Jesu li istinite sljedeće tvrdnje: a) {6} A b) {4, 5, 6} A c) A S d) Ø A a) DA b) NE c) NE d) DA

Za bilo koji skup S možemo promatrati skup svih njegovih podskupova. Taj skup zove se partitivni skupa S i označava se s P (S). Ispiši sve članove skupa P (S) ako je S={2, 3}. P (S)={Ø, {2}, {3}, {2, 3}} U matematici često promatramo samo podskupove nekog određenog skupa. Za skup čije podskupove promatramo kažemo da je univerzalni skup i označavamo ga s u.

Unija skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samo oni elementi koji pripadaju ili skupu A ili skupu B ili i skupu A i skupu B. A B = {x | x A ili x B} u A B A B Iz definicije se jednostavno vidi da unija skupova ima ova svojstva: 1) A B= B A 2) A A B i B A B 3) A Ø=A 4) A u=u B

ZADATAK: Neka je: A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, a, b} i C={a, b, c, d} Ispiši skupove: 1) A B 2) A C 3) A B C Jesu li neki od ovih skupova jednaki? Prikaži ove skupove pomoću Venn-Eulerovih dijagrama. RJEŠENJE: 1) A B={1, 2, 3, 4, a, b} 2) A C={1, 2, 3, 4, a, b, c, d} 3) A B C={1, 2, 3, 4, a, b, c, d} Jednaki su skupovi A C i A B C A ° 1 ° 2 ° 3 B ° 4 °a °b °c C °d

Presjek skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samo oni elementi koji su i elementi skupa A i elementi skupa B. A B = {x | x A i x B} A u u A A B B A B Iz definicije se jednostavno vidi da presjek skupova ima ova svojstva: 1) A B = B A 2) A B A i A B B 3) A Ø = Ø 4) A u = A

ZADATAK: Naka je: A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, a, b} i C={a, b, c, d} Ispiši skupove: 1) A B 2) B C 3) A C RJEŠENJE: 1) A B={3, 4} 2) B C={a, b} 3) A C=Ø Ako skupovi A i B nemaju zajedničkih elemenata tada je njihov presjek prazan skup. Za skupove čiji je presjek prazan skup kažemo da Su disjunktni skupovi. Skupovi A i C iz prethodnog zadatka su disjunktni. A u C

ZADATAK: Zadani su skupovi: A={1, 2, 3, 4, 5} B={1, 3, 5, 7} C={x | x je prirodan broj manji od 7} D={x | x je rješenje jednadžbe x 2 - 8 x + 15 = 0} Ispiši i nacrtaj skupove: 1) A C 2) B D 3) A B C D 4) A B C D RJEŠENJE: 1) A C={1, 2, 3, 4, 5} 2) B D={3, 5} 3) A B C D={3, 5} 4) A B C D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B ° 1 A ° 2 ° 3 ° 7 D ° 5 ° 4 C ° 6

Razlika skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samo oni elementi koji su elementi skupa A i koji nisu elementi skupa B. A B = {x | x A i x B} u u A B A Uočimo: B A BA B A B B A Kakvi su skupovi A B , B A i A B međusobno? Disjunktni!

ZADATAK: Zadani su skupovi: A={1, 2, 3, 4, 5} B={1, 3, 5, 7} C={x | x je prirodan broj manji od 7} D={x | x je rješenje jednadžbe x 2 - 8 x + 15 = 0} Nađi razliku skupova: 1) A B 2) B A 3) A C 4) C A 5) (A B) D Rješenja: 1) A B={2, 4} 2) B A={7} 3) A C= Ø 4) C A ={6} 5) (A B) D={1} B ° 1 A ° 2 ° 3 ° 7 D ° 5 ° 4 C ° 6

Komplement skupa A je skup AC kojeg čine oni i samo oni elementi univerzalnog skupa u koji nisu elementi skupa A A C= u A u AC={x | x u i x A} A Uočimo da vrijedi: 1) A AC= u 2) A AC= Ø 3) (AC)C = A 4) ØC=u 5) u. C= Ø AC

ZADATAK: Neka je u ={x | x je prirodan broj manji od 50} i neka su A={x | x je prirodan broj manji od 40} i B={x | x je višekratnik broja 5 manji od 50} Odredi skupove: 1) AC 2) A B Rješenja: 3) AC B 1) {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49} 4) AC B 2) {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} 5) (A B)C 3) {41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49} 4) {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} 5) {41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49}