DEFINICIJA RELACIJA ta je relacija Relacija je odnos

DEFINICIJA RELACIJA Ø Šta je relacija? Relacija je odnos, veza između dva objektaØ To su, na primer: jednako, paralelno, normalno, slično i mnoge druge. Ø Relacija je povezivanje elemenata skupa A sa elementima skupa B. Ø Znači ako i i pri tome su u datoj relaciji, onda svakom paru pridružujemo vrednost T, a ako to nije slučaj vrednost Ø Relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda skupova A i B Ø Ako je A=B , onda se skup Ø naziva Dekartovim kvadratom. Relacije se predstavljaju: uređenim parovima, tablicama, graficima i td.

Primer Relaciji , odgovara tablica i grafik. 1 2 1 T T 2 T T 3 4 T T

OSOBINE RELACIJA Ø Neka je Ø (R) refleksivnost akko Ø (S) simetričnost akko Ø (AS) antisimetričnost Ø (T) tranzitivnost

Primer: U skupu definisana je relacija Napisati tablicu, prikazati je grafički, ispisati parove i ispitati osobine relacije. 1 1 2 3 4 5 T T

VRSTE RELACIJA ü Relacija ekvivalencije : refleksivna, simetrična i tranzitivna. ü Relacija poretka : refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Primer: Relacije ekvivalencije: jednako, podudarno, slično i td, a relacije poretka: Relacija ekvivalencije može da se razlaže na klase ekvivalencije ü Klasa ekvivalencije , elementa x i relacije ü Količnički skup Sve klase ekvivalencije jednog skupa čine njegovo razlaganje na disjunktne podskupove, a njihova unija je sam polazni skup. i td

Primer U skupu definisana je relacija Odrediti elemente relacije i prikazati je. Dokazati da je ova relacija, relacija ekvivalencije, odrediti klase ekvivalencije I količnički skup.

Primer - tabela Tabela 1 2 3 4 1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 1 1 1 4

OSOBINE RELACIJA * (R) Relacija je refleksivna , jer * (S) Relacija je simetrična , jer * (T) Relacija je tranzitivna , jer * Ovo je relacija ekvivalencije. * * Data relacija rastavlja skup A na 2 podskupa (klase) Količnički skup je

Primer U skupu definisana je relacija Pokazati da je zadata relacija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije i količnički skup. Relacija je refleksivna Relacija je simetrična Relacija je tranzitivna Znači radi se o relaciji ekvivalencije Data relacija rastavlja skup S na 3 podskupa. Količnički skup je

FUNKCIJE ü Pojam funkcije ili preslikavanja spada u osnovne matematičke kategorije. ü Jasna predstava o pojmu funkcije stvorena je tek u 17. veku. ü Kod funkcija, kao i kod relacija, uspostavlja se veza između elemenata dva skupa, ali dok kod relacija jednom elementu x skupa A mogu odgovarati više elemenata skupa B, kod funkcija jednom elementu x skupa A može odgovarati smo jedan elemenat y skupa B.

DEFINICIJA I OSOBINE ⇛ Preslikavanje ili funkcija skupa A u skup B, u oznaci je relacija , koja ima osobinu da je svaki elemenat skupa A u relaciji tačno sa jednim elementom skupa B, tj ⇛ Kod funkcija uobičajeno je da umesto pišemo i kažemo da funkcija f preslikava x u y. ⇛ Tada x nazivamo originalom, y njenom slikom. ⇛ Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupa naziva se oblast definisanosti ili domen funkcije. ⇛ Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupa naziva se oblast vrednosti ili kodomen funkcije.

Primer: Kod funkcija na konačnim skupovima koristimo sledeće zapise: Ako su dati skupovi i onda jedna od mogućih funkcija je ili zapisana korišenjem uređenih parova Relacija elementa 2 i 3. nije funkcija, jer bi se element b preslikavao u dva različit

DEFINICIJA I OSOBINE , naziva se binarnom operacijom. • Funkcija • Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, množenje i sl. • Funkcija se naziva “na” ili surjektivna ako • U suštini • Ako je preslikavanje “ 1 -1” i “na” takvo preslikavanje ili funkciju nazivamo bijektivnim, (obostrano jednoznačno preslikavanje). se naziva “” ili injektivna ako

Primer: Ispitati da li je funkcija bijekcija. Ako je ispunjeno preslikavanje je “ 1 -1”. Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije je koristiti kontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi. Dakle čime smo dokazali da je preslikavanje “ 1 -1”. Da bismo dokazali da je preskikavanje “na” rešimo polaznu jednačinu po y. Dobićemo izraz Onda i zaključujemo da je preslikavanje “na”. Pošto je preslikavanje “ 1 -1” i “na”, ono je odnosno bijekcija.

KOMPOZICIJA FUNKCIJA Neka su date i funkcije. Tada izraz predstavlja proizvod ili kompoziciju ili slaganje preslikavanja f i g, a definiše se kao Primer: Ako su dati skupovi Tada glasi

Primer Neka su funkcije zadate formulama Tada je:

INVERZNA FUNKCIJA • Ako je A sa osobinom • Možemo i pisati • Grafici funkcija f i bijekcija, onda je inverzna funkcija skupa B u skup , gde je I identičko preslikavanje, tj. su simetrični u odnosu na pravu y=x.

Primer Naći inverzno preslikavanje od Pokazali smo da je funkcija bijekcija, odnosno zadovoljava da je 1 -1 i na. Dakle postoji inverzno preslikavanje Grafici ovih funkcija su simetrični u odnosu na pravu y=x Primer: Odrediti inverznu funkcije Kako i za x=-1 i x=1 dobijamo istu vrednost funkcije y=1 , zaključujemo da funkcija nije “ 1 -1” , odnosno bijekcija, pa ne postoji inverzna funkcija.

Primer Preslikavanja f i g definisana su sa f(x)=4 x+5 i g(x)=x-5. Odrediti Rešenje: Prvo mora da se proveri da li je preslikavanje g bijekcija.

PITANJA ZA PONAVLJANJE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Definisati pojam relacija. Navesti osobine relacija. Šta je relacija ekvivalencije? Šta je relacija poredka? Šta je funkcija? Koja je osnovna razlika između relacija i funkcija? Koje je preslikavanje 1 -1? Koje je preslikavanje na? Šta je bijekcija? Definisati inverzno preslikavanje. Definisati kompoziciju preslikavanja.