Testi classici Richard Dedekind Essenza e significato dei

Testi classici: Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri. Giuseppe Peano, Arithmetices principia. Enrico Giusti IL GIARDINO DI ARCHIMEDE Un museo per la matematica

Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo L. Kronecker I numeri si possono con diritto considerare come una libera creazione dello spirito umano R. Dedekind

Un po’ di storia 1666 -1683 : Newton e Leibniz inventano il calcolo infinitesimale.

Un po’ di storia 1700 -1800: La discussione sugli infinitesimi.

Un po’ di storia 1700 -1800: La metafisica del calcolo.

Un po’ di storia 1817: Bernard Bolzano Dimostrazione puramente analitica del teorema che tra due valori che danno risultati di segno opposto c’è almeno una radice reale dell’equazione.

Un po’ di storia 1821: Cauchy, Cours d’analyse.

Un po’ di storia 1821: Cauchy, Cours d’analyse. Affinché la serie u 1 + u 2 + u 3 + … sia convergente è in primo luogo necessario he il termine generale un decresca indefinitamente all’aumentare di n; ma questa condizione non è sufficiente, e occorre ancora che al crescere di n le somme un + un+1 + un+2 ecc. prese in numero arbitrario, finiscano per diventare costantemente minori di ogni valore assegnabile. Reciprocamente, quando questa condizione è soddisfatta, la convergenza della serie è assicurata.

Un po’ di storia 1872 Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen Charles Méray, Nouveau précis d’analyse infinitésimale Georg Cantor, Über die Ausdehnung eines Satze aus der Theorie der trigonometrischen Reihen

Un po’ di storia Ogni teorema di algebra e di analisi superiore, per quanto remoto, si può enunciare come un teorema sui numeri naturali. P. G. L. Dirichlet

Un po’ di storia Euclide, Elementi, Libro VII Definizione 1: Unità è ciò secondo cui di ogni cosa che esiste si dice uno. Definizione 2: Il numero è una moltitudine composta di unità.

Un po’ di storia Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique Benché questa proposizione abbia un numero infinito di casi, ne darò una dimostrazione molto breve, supponendo due lemmi. Il primo, che è evidente di per sé, è che questo rapporto è vero nella seconda base. Il secondo, che se questo rapporto è vero in una base qualsiasi, si ritroverà necessariamente nella base che segue. Da dove si vede che esso sussiste necessariamente in tutte le basi; infatti si trova nella seconda base per il primo lemma, dunque per il secondo si ritrova nella terza base, dunque nella quarta, e così via all'infinito.

Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri. Non si deve nella scienza prestar fede senza dimostrazione a ciò che è dimostrabile. Per quanto queste richiesta apparisca chiara, mi sembra che essa non sia soddisfatta, anche se si tien conto dei lavori più recenti. … io intendo già di considerare il concetto di numero come del tutto indipendente … e di riconoscere piuttosto in questo concetto una emanazione diretta delle pure leggi del pensiero.

Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri. Alla domanda espressa nel titolo di questo scritto io rispondo: i numeri sono libere creazioni dello spirito umano. Se si segue attentamente quello che noi facciamo nel computo di un insieme di oggetti, si è condotti a considerare la capacità dello spirito di riferire oggetti a oggetti, … senza la quale è affatto impossibile ogni pensiero. Sopra questo fondamento, del resto assolutamente necessario, deve essere costruita, a mio parere, tutta la scienza dei numeri.

Richard Dedekind, Essenza e significato dei numeri. I punti fondamentali sono: la netta distinzione del finito dall’infinito, la nozione del numero di oggetti, la dimostrazione della validità logica del metodo d’induzione completa, ovvero dell’argomentazione ricorrente da n a n+1, e anche la dimostrazione che la definizione induttiva (ovvero per ricorrenza) è completa e scevra da ogni contraddizione.

Insiemi e applicazioni In seguito intenderò per oggetto ogni oggetto del nostro pensiero. Ogni oggetto è completamente determinato da tutto quello che di esso può essere detto e Avviene assai spesso che diversi oggetti a, pensato. b, c, … considerati per qualche ragione sotto un medesimo punto di vista, vengano idealmente messi insieme; allora si dice che essi formano un insieme. S.

Una sorta di dizionario Sistema Insieme S è un intero di A S contiene A Sistema composto Unione Interferenza Intersezione Rappresentazione Applicazione Rappresentazione simile Applicazione iniettiva

Insiemi e applicazioni Un insieme A si dice parte di un insieme S, quando ogni elemento di A è anche un elemento di S. Siccome si presenterà assai spesso l’occasione di parlare di queste relazione, … vogliamo per brevità esprimerla col simbolo A S. Un insieme A si dice parte propria di S, quando A è una parte di S ma è diverso da S.

Insiemi e applicazioni Per una rappresentazione φ di un insieme S s’intende una legge, la quale faccia corrispondere ad ogni dato elemento s di S un oggetto determinato. Questo oggetto si dice l’immagine di s e si designa con φ(s). Una rappresentazione φ di un insieme S si dice iniettiva, quando a elementi distinti a, b del sistema S corrispondono sempre immagini distinte φ(a), φ(b). Gli insiemi R, S si dicono simili, se esiste una rappresentazione iniettiva φ di S per la quale si abbia φ(S)=R.

Finito e infinito Definizione. Un insieme S si dice infinito se esso è simile ad una sua parte propria. Nel caso contrario S si dice un insieme finito.

Finito e infinito Teorema. Esistono insiemi infiniti. Dimostrazione. L’insieme S di tutte le cose che possono essere oggetto del mio pensiero è infinito. Invero, se s è un elemento di S, allora il pensiero s’ che s può essere oggetto del mio pensiero è esso stesso un elemento di S. Se si considera s’ come immagine f (s) dell’elemento s, allora la rappresentazione f di S così definita godrà della proprietà che la sua immagine S’ è una parte di S, e sarà precisamente una parte propria di S, perché vi sono elementi di S (p. es. il mio proprio io) che sono distinti da ogni simile pensiero s’, e che perciò non sono contenuti in

Catene Definizione. [Un insieme] K si dice una catena se φ(K) K. Notiamo espressamente che questa proprietà di essere catena appartiene alla parte K dell’insieme S non già intrinsecamente, ma soltanto in relazione con la data rappresentazione φ; rispetto ad un’altra rappresentazione dell’insieme S sopra sé stesso, K può ben cessare di essere catena.

Catene Definizione. Sia A una parte di S. Indicheremo con A 0 l’intersezione di tutte quelle catene (come S, p. es. ) di cui A è una parte. … Chiameremo A 0 la catena dell’insieme A o brevemente la catena di A.

I numeri Definizione. Un insieme N si dice semplicemente infinito se esiste una rappresentazione iniettiva φ di N sopra sé stesso tale che N risulti la catena di un elemento non contenuto in φ(N). A questo elemento daremo il nome di elemento fondamentale e lo indicheremo con il simbolo 1.

I numeri Un insieme N semplicemente infinito è caratterizzato dall’esistenza di un elemento 1 e di una rappresentazione φ di N soddisfacenti alle condizioni seguenti : α. φ(N) N. β. N = 10. γ. L’elemento 1 non è contenuto in φ(N). δ. La rappresentazione φ è iniettiva.

I numeri Se nello studio di un insieme N semplicemente infinito … si fa completa astrazione dalla natura particolare dei suoi elementi, continuando però a pensarli come distinti e non confondibili tra loro, e si considerano soltanto le relazioni reciproche la rappresentazione φ stabilisce tra essi, allora questi elementi si chiamano numeri naturali o numeri ordinali o anche semplicemente numeri, e l’elemento fondamentale 1 si chiama il numero fondamentale della serie numerica N.

I numeri Data questa astrazione da ogni altro contenuto degli elementi, i numeri si possono con diritto considerare come una libera creazione dello spirito umano. Le relazioni, oppure le leggi, che si deducono unicamente dalle condizioni α, β, γ, δ, e che perciò sono le stesse in tutti i sistemi ordinati e semplicemente infiniti, qualunque siano i nomi attribuiti ai singoli elementi, costituiscono l’oggetto immediato della scienza dei numeri, ovvero dell’aritmetica.

Arithmetices principia

Arithmetices principia Nelle dimostrazioni aritmetiche mi sono avvalso del libro H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, Berlin 1861. Mi è stato ancora più utile lo scritto recente R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen, Braunschweig 1888, in cui si esaminano acutamente delle questioni appartenenti ai fondamenti dei numeri.

Arithmetices principia

Arithmetices principia Assiomi 1. 1 N Un insieme N semplicemente infinito è caratterizzato dall’esistenza di un elemento 1 e di una rappresentazione φ di N soddisfacenti alle condizioni seguenti : α. φ(N) N. β. N = 10. γ. L’elemento 1 non è contenuto in φ(N). δ. La rappresentazione φ è iniettiva. 2. a N s(a) N 3. a, b N s(a) = s(b) a=b 4. a N s(a) 1 5. K N, (1 K ) (x K s(x) K = 5. K, (1 K ) (x K N s(x) K N N

Arithmetices principia Definizione della somma a+b a+1 = s(a) a + (b+1) = (a+b) + 1

Arithmetices principia Teorema : (a+b)+c = a+(b+c) 1. (a+b)+1=a+(b+1): il teorema vale per c=1 2. Supponiamo che valga per c. (a+b)+(c+1) = [(a+b)+c]+1 = [a+(b+c)]+1 = a+[(b+c)+1] = a+[b+(c+1)] e dunque il teorema vale per c+1.

Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo L. Kronecker I numeri si possono con diritto considerare come una libera creazione dello spirito umano. Essi servono come mezzo per distinguere più facilmente e più nettamente le cose. R. Dedekind Unità è ciò secondo cui di ogni cosa che esiste si dice uno. Euclide

Venti[quattro] anni dopo (1911) Quando circa otto anni fa mi è stato chiesto di sostituire alla seconda edizione del mio scritto una terza edizione, esitavo ad acconsentire, perché nel frattempo erano sorti e s’eran fatti valere dubbi sul rigore di alcuni punti fondamentali della mia concezione. Riconosco anche oggi che questi dubbi hanno il loro valore e che sono in parte giustificati.