Dedekind abc abc abba a00aa aa0 abc abc

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실수 (Dedekind) (a+b)+c = a+(b+c), a+b=b+a, a+0=0+a=a, a+(-a)=0 (ab)c= a(bc), ab=ba, 1 a=a 1=a,

실수 (Dedekind) (a+b)+c = a+(b+c), a+b=b+a, a+0=0+a=a, a+(-a)=0 (ab)c= a(bc), ab=ba, 1 a=a 1=a, aa-1=1=a-1 a a(b+c) = ab + ac a, b ∊ P ↦ a+b ∊ P; a, b ∊ P ↦ ab ∊ P, a ∊ F a ≠ 0 ↦ a ∊ P 또는 –a ∊ P Dedekind cut

√ 2√ 2 무리수, 초월수 ? e Euler (1737), Hermite (1873) Pi Lambert(1761), Lindemann(1882)

√ 2√ 2 무리수, 초월수 ? e Euler (1737), Hermite (1873) Pi Lambert(1761), Lindemann(1882) Lambert r 유리수인경우 tan r, er 무리수 Hermite, Weierstrass a가 대수수인경우 ea, log a 는 초월수 Hilbert 7번 문제 a 대수수, b 무리대수수인경 우 ab는 초월수이다. (Gel’fond, Schneider 1934)

수는 어떻게 주어지는가? Decimal representation Limits of sequences Sums of sequences Infinite product Continued

수는 어떻게 주어지는가? Decimal representation Limits of sequences Sums of sequences Infinite product Continued fractions Definite integral Etc….

e= lim n-> (1+1/n)n e = 2. 71828183…. . log x = x 1

e= lim n-> (1+1/n)n e = 2. 71828183…. . log x = x 1 dt/t, log(e) =1 e = n=1 1/n! e= [2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1…] (Euler)

군 group Binary operation *: G x G -> G Associative Identity a *

군 group Binary operation *: G x G -> G Associative Identity a * e = e * a = a Inverse a * a -1 = e = a-1 * a 예 (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q-{0}, *), (R-{0}, *), (C-{0}, *) (Z/n. Z, +), ((Z/n. Z)x, *) 아벨군 a*b = b*a 갈루아

Dihedral group {1, r, r 2, …, r n-1, s, sr 2, …, sr

Dihedral group {1, r, r 2, …, r n-1, s, sr 2, …, sr n-1}

Symmetric group A={1, 2, 3, …, n} f: A -> A, g o f:

Symmetric group A={1, 2, 3, …, n} f: A -> A, g o f: A -> A Cycle decomposition (135)(478)(29) Sn 은 아벨군이 아니다. n>2

동형군 Homomorphism F: G -> H, F(g*h) =F(g)*F(h) Isomorphism homomorphism + bijection 동형인 것들은

동형군 Homomorphism F: G -> H, F(g*h) =F(g)*F(h) Isomorphism homomorphism + bijection 동형인 것들은 그중 하나만 연구하면 된 다.

환 Ring (R, +, *) (I) (R, +) abelian group (II) x is associative

환 Ring (R, +, *) (I) (R, +) abelian group (II) x is associative (III) distributive law a*(b+c) = a*b + a*c Commutative a*b=b*a Identity

환의 예 정수 Z, 유리수 Q, 실수 R, 복소수 C Z/n. Z Z( D)={a+b

환의 예 정수 Z, 유리수 Q, 실수 R, 복소수 C Z/n. Z Z( D)={a+b D: a, b Z} Hamiltonian a+ b i + c j + d k i 2=j 2=k 2=-1, ij = -ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j

환의 예 다항식환 polynomial ring an x n + b n-1 x n-1 +

환의 예 다항식환 polynomial ring an x n + b n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 행렬환 (aij) (a ij) + (bij) = (aij+ bij) (a ij) (bij) = ( k aik bkj)

모듈 Module (M, +, R) (M, +) abelian group, R ring R x M

모듈 Module (M, +, R) (M, +) abelian group, R ring R x M -> M (a) (r+s)m= rm + sm (b) (rs)m = r(sm) (c) r(m+n) = rm + rn 1 m = m

체(Field) Commutative ring F identity e for *, inverse for F-{0} R, Q Z/p.

체(Field) Commutative ring F identity e for *, inverse for F-{0} R, Q Z/p. Z p는 소수 R(x), Q(x), Z/p. Z(x) Field extension K F C = R + Ri R