TEORIA DOS NMEROS Aula 1 Inteiros Principais Propriedades

TEORIA DOS NÚMEROS Aula 1 – Inteiros, Principais Propriedades, Axiomas e Princípios Prof. Mário Alves

TEORIA DOS NÚMEROS Conteúdo Programático desta aula § Definição de número inteiro; § Propriedades dos números inteiros; § Valor absoluto de um número inteiro; § Fatorial de um número inteiro. INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS DEFINIÇÃO DE NÚMERO INTEIRO Definimos como números inteiros, cuja representação corriqueira, dada por Cantor, ou apenas inteiros: . . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . Seu conjunto é representado pela letra maiúscula Z, ou seja: Z = {. . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . } INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS DEFINIÇÃO DE NÚMERO INTEIRO No nosso conjunto Z, destacam-se os seguintes subconjuntos, os quais serão bastante importantes ao longo da nossa disciplina: (a) Conjunto Z* dos inteiros não nulos ( diferente de zero ): Z* = { x pertence a Z | x é diferente de zero } = {. . . , -3, -2, -1, 1, 2, 3, . . . } (b) Conjunto Z+ dos inteiros não negativos ( maior ou igual a zero) Z+ = { x pertence a Z | x é maior ou igual a zero } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS DEFINIÇÃO DE NÚMERO INTEIRO (c) Conjunto Z- dos inteiros não positivos ( menor ou igual a zero) Z- = { x pertence a Z | x é menor ou igual a zero } = { 0, -1, -2, -3, -4, -5, . . . } (d) Conjunto Z*+ dos inteiros positivos ( >0 ): Z*+ = { x pertence a Z | x > 0 } = { 1, 2, 3, 4, . . . } (e) Conjunto Z*- dos inteiros negativos ( <0 ): Z*- = { x pertence a Z | x < 0 } = { -1, -2, -3, -4, . . . } INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS O conjunto Z dos números inteiros, munido das operações de adição (+) e multiplicação (. ) possui propriedades essenciais que, a seguir, enumeraremos, onde a, b e c são inteiros quaisquer, ou seja, elementos de Z: 1) a+b = b+a e ab = ba 2) (a+b) + c = a + (b+c) e (ab)c = a(bc) 3) 0+a = a e 1. a = a 4) -a = (-1)a e a-a = a + (-a) = 0 5) a(b+c) = ab + ac 6) 0. a = 0, e se ab = 0, então a = 0 ou b = 0 INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS Há uma relação de ordem entre os números inteiros, representada pelo sinal < (menor que), a qual tem as seguintes propriedades: 1) 2) 3) 4) 5) Se Se Se a a a é diferente de 0, então a < 0 ou 0 < a < b e b < c, então a < c < b, então a+c < b e 0 < c, então ac < b e c < 0, então bc < ac INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS Exercício Nr 1. 1: Demonstre que –(a+b) = (-a) + (-b) Passo 1: -(a+b) = (-1)(a+b) = Passo 2: (-1)a + (-1)b = Passo 3: (-a) + (-b) INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO Definição: Denominamos valor absoluto de um número inteiro a, o inteiro que indicamos por |a| e é tal que: a se a 0 -a se a < 0 Exemplo: |8| = 8 e |-6| = 6 Assim, como a definição de |a|, para todo inteiro a, vale: 1) |a| 0 2) |a|2 = a 2 3) |-a| = |a| 4) a |a| INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO Também definimos o valor absoluto |a| de um inteiro a com as seguintes igualdades: |a| = máx (-a, a) Exemplo: |-6| = |-8| = máx (-8, 8) = 8 INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO Teorema 1. 1: Se a e b são dois inteiros, então: |ab| = |a|. |b| Demonstração: |ab| = Teorema 1. 2: Se a e b são dois inteiros, então: |a+b| |a| + |b| Demonstração: Temos, pela definição de |a|: -|a| a |a| e -|b| b |b| INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO Somando as desigualdades, temos: -(|a|+|b|) (a+b) |a|+|b| E isto implica: |a+b| |a|+|b| Daí, temos o nosso primeiro corolário: Corolário 1. 1: Se a e b são dois inteiros, então: |a-b| |a| + |b| Demonstração: |a-b| = |a+(-b)| |a| + |-b| = |a| + |b| INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO Definição: Denominamos fatorial de um inteiro não negativo a, o inteiro indicado por a!, tal que: a! = 1, se a=0 ou a=1; e a! = n(n-1)(n-2)(n-3). . . 3. 2. 1 , se n 2 Exemplo: 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 Obs. : Vale a pena observar que n! = n(n-1)!. Isso será bastante útil na resolução de inúmeros problemas. INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO Exercício Nr 1. 2: Qual é o produto dos n primeiros inteiros positivos pares e qual é o produto dos n primeiros inteiros positivos ímpares? Para os n primeiros inteiros positivos pares, temos: 2, 4, 6, 8, 10, . . . , 2 n-2, 2 n , ou seja: 2. 1, 2. 2, 2. 3, 2. 4, 2. 5, . . . , 2(n-1), 2. n, portanto: 2 n (1. 2. 3. 4. . . (n-1). n) = 2 n. n! INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO Para os n primeiros inteiros positivos ímpares, temos: 1, 3, 5, 7, 9, . . . , 2 n-3, 2 n-1, ou seja: 1. 3. 5. . . (2 n-3)(2 n-1) = INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Exercício Nr 1. 3: Calcular o inteiro positivo n, sabendo: 3 n + 3 n+1 + 3 n+2 + 3 n+3 = 1080. - Colocando 3 n em evidência, temos: 3 n (1+3+9+27) Decompondo 1080 em fatores primos, temos: 1080 = 23. 33. 5 Assim, observamos que: 3 n (1+3+9+27) = 3 n. 40 E que 1080 = 33. 40 Logo, concluímos que n=3. INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1

TEORIA DOS NÚMEROS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Exercício Nr 1. 4: Resolva a seguinte equação: (x+2)! = 72. x! - (x+2)! = (x+2)(x+1). x! - Logo, temos: (x+2)(x+1). x! = 72. x! - Como x! é diferente de zero, podemos simplificar, restando a equação de 2º grau: x 2+3 x+2 = 72 x 2+3 x-70 = 0 x=-10 ou x=7 - Como -10 não atende a nossa definição de fatorial, temos como solução x=7. INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA 1