Ensino Superior Clculo 3 3 Limites e Continuidade
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Ensino Superior Cálculo 3 3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x, y), quando (x, y) tende para um valor (x 0, y 0), é o número L (se existir) e é representado por Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x 0, y 0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz -se que f(x, y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x, y) = L), quando o par (x, y) se aproxima de (xo, yo), se quanto mais perto (x, y) estiver de (xo, yo), mais perto f(x, y) estará de L.
Limite de f(x, y)
Propriedades dos Limites Considerando f(x, y) e g(x, y) funções de duas variáveis, com lim (x, y) (xo, yo) f(x, y) = L e lim (x, y) (xo, yo) g(x, y) = M 0. 1º) lim (x, y) (xo, yo) L = L 2º) lim (x, y) (xo, yo) K. f(x, y) = k. lim (x, y) (xo, yo) f(x, y) = k. L 3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M 4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M 5º) 6º) De maneira geral, Lim {[OP[f(x, y)]} = OP[lim f(x, y)] = OP(L)
Calculando Limites
Calculando Limites Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.
Exemplo da Regra dos Dois Caminhos Mostrar que não existe. Como f(xo, yo) = 0/0 = indeterminação
Regra dos Dois Caminhos Então, façamos, (x, y) tender para (0, 0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”). (1º caminho) Os limites são diferentes, logo não há o limite. (2º caminho) z 1°caminho in cam 2° x ho y
Continuidade de Funções de Várias Variáveis O conceito de continuidade de uma função f(x, y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias. Assim, diz-se que uma função f(x, y) é contínua em (xo, yo), se lim(x, y)�(xo, yo)f(x, y) existe e é igual à f(xo, yo). EXEMPLO: Mostrar que não é contínua em (x, y) = (0, 0)
Propriedades da Continuidade Se f(x, y) e g(x, y) são contínuas em (xo, yo), então: • f(x, y) + g(x, y) também é contínua. • f(x, y) / g(x, y) também é contínua. • u(x, y) = w[g(x, y)] também é contínua.
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