CONJUNTOS NUMRICOS e TEORIA DOS NMEROS NMEROS NATURAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOS e TEORIA DOS NÚMEROS

NÚMEROS NATURAIS 1 “São os números que 2 usamos quando precisamos 3 contar coisas. ” 4

São todos os números inteiros nãonegativos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . } N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . }

NÚMEROS INTEIROS Como efetuar a subtração de 3 – 4? Pelos Naturais é impossível!

“São todos os números que pertencem aos Naturais acrescido dos seus respectivos opostos. ” Z = {. . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS 1. Inteiros não Negativos (Z+): Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . } 2. Inteiros não Positivos (Z-): Z- = {. . . , -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS 3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+): Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . } 4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-): Z*- = {. . . , -6, -5, -4, -3, -2, -1}

NÚMEROS RACIONAIS Como dividir um osso para dois cachorros? Os Inteiros não permitem a resolver este problema!

“Para resolver isso foram criados os números fracionários. ” Q = Z { números fracionários } Q = {a/b | a, b Z e b 0}

SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS 1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+): Q*+ = {Z*+} {Todos os números fracionários não negativos} 2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-): Q*- = {Z*-} {Todos os números fracionários não Positivos}

SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS 3. Racionais não Negativos (R+): Q+ = {Z+} {Todos os números fracionários não negativos} 4. Racionais não Positivos (Q-): Q- = {Z-} {Todos os números fracionários não Positivos}

2, 252 Número Racional. Finitos algarismos após a vírgula. 2, 252525. . . Número Racional. Infinitos algarismos periódicos após a vírgula (dízima periódica). 3, 1415926. . . Não é um número Racional. Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula

NÚMEROS IRRACIONAIS Como descrever números que não são inteiros nem fracionários?

O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. I = {Todos os números que Q não consegue descrever}

Raizes inexatas. Inf. algarismos não periódicos após a vírgula. 3, 1415926. . . Número PI. Supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais. 2, 7182818. . . Número de Euler. Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas decimais.

NÚMEROS REAIS “Descreve todo o conjunto dos números racionais e irracionais” R={Q} {I}

R Números Reais Q Números Racionais. . . , -3/2, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, . . . Z Números Inteiros. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . N Números naturais 0, 1, 2, 3, 4. . . I Números Irracionais

NÚMEROS IMAGINÁRIOS “Descreve todo o conjunto dos números reais e números complexos”

R Números Reais Q Números Racionais. . . , -3/2, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, . . . Z Números Inteiros. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . N Números naturais 0, 1, 2, 3, 4. . . C Números Imaginários I Números Irracionais

Axiomas “Um axioma é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada, é considerada como óbvia, um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria!”

Axiomas para os números Reais 1. Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma soma, ou seja: a – b = a + (– b) 2. Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma multiplicação, ou seja: ( ) 1 a b = a ÷ b = a· b

Axiomas para os números Reais 3. Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de dois números reais são únicos. 4. Lei Comutativa: a) a + b = b + a b) a·b = b·a “A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”

Axiomas para os números Reais 5. Lei Comutativa: a) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c b) (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c “A ordem em adições e multiplicações sucessivas é irrelevante!”

Axiomas para os números Reais 6. Lei Distributiva: a) a·(b + c) = a·b + a·c b) b·(a + c) = b·a + b·c c) c·(a + b) = c·a + c·b “A multiplicação é distributiva em relação a adição!”

Axiomas para os números Reais 7. Lei de Identidade: a) Existe apenas um número real na qual a soma dele com outro número qualquer X é igual a X, ou seja: X+0 = 0+X = X b) Existe apenas um número real na qual a multiplicação dele com outro número qualquer x é igual a x, ou seja: 1·X = X· 1 = X

Axiomas para os números Reais 8. Lei de Inverso: a) Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que: X + (–X) = (–X) + X = 0 b) Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real X 1 tal que: X·(X-1) = (X-1)·X = 1

Axiomas para os números Reais 9. Lei do fator zero: a) Para qualquer número Real X: X· 0 = 0 b) Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0, então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.

Axiomas para os números Reais 10. Lei do número negativo: a) (– 1)·a = – a b) (– 1)·(–a) = – (–a) = a c) (–a)·(–b) = a·b d) –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)

Axiomas para os números Reais 11. Lei dos Quocientes:

Axiomas para os números Reais 12. Lei do número absoluto: Qualquer número Real tem um número absoluto correspondente, tal que: Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a |–a|=|a|=a

Axiomas para os números Reais 13. Lei da ordem das operações: “Em uma expressão, uma soma ou uma subtração só deve ser realizada após todas as operações de multiplicação e divisão já terem sido efetuadas, ao menos que elas apareçam isoladas por ( ), [ ] ou { }”.