STRESS SFORZO Si consideri un corpo continuo in

STRESS

SFORZO Si consideri un corpo continuo in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne (P 1, P 2, …, PN). Per studiare l’effetto di queste sollecitazioni in un generico punto O, immaginiamo il corpo diviso in due parti A e B, mediante una superficie piana mm passante per O. Rimuovendo la parte B, quella A rimane in equilibrio se sulla superficie mm si fanno agire le sollecitazioni che esercitava la parte rimossa (B). In particolare, sull’areola elementare S agirà una sollecitazione F. Si definisce sforzo (stress) il vettore tn: Considerando la normale n all’area S, le componenti di t secondo n e nel piano mm prendono il nome di: n - sforzo normale n - sforzo tangenziale P P 2 1 m P n S 7 P 6 F=tn S O S A 5 B P n S m P n 3 P 4

z y zy zx x xz x yx z y yz p xy Note le componenti speciali dello sforzo nel generico riferimento x, y, z, è possibile ottenere le componenti di tensione agenti sul generico piano di normale n, attraverso le relazioni: p p

È sempre possibile individuare una terna d’assi rispetto alla quale le sforzi tangenziali ij sono tutte nulle e le sforzi normali attingono i valori estremi. Le direzioni di questi assi si chiamano direzioni principali di sforzo, i corrispondenti piani coordinati piani principali di sforzo e gli sforzi agenti normalmente ad essi sono detti sforzi principali. Gli sforzi principali vengono indicati con i simboli: 1 3 2 1 - il massimo 2 - l’intermedio 3 - il minimo 2 3 1

Stress review • Sforzo (Stress) = Forza/Area • 3 vettori principali: σ1, σ2, e σ3 ortogonali tra loro • σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 • σ1 è lo stress massimo principale, σ2 è quello intermedio, eσ3 è lo stress minimo

inoltre: • stress idrostatico σ1 = σ2 = σ3 • Stress litostatico è lo stres statico prodotto dalla massa sovrastante • Stress differenziale(σd) = (σ1 - σ3) • Pressione confinante σ2 = σ3 con σ1 > σ2 = σ3

Shear stress e normal stress Per ogni piano in un campo di stress definito da σ1, σ2, e σ3 con direzione parallela a σ2: σ1 θ σ3 σ3 σ1

Lo stress è risolto in 2 componenti: 1. Shear stress (σs), che agisce parallelamente al piano 2. Normal stress (σn), che agisce perpendicolarmente al piano σ1 σn θ σ3 σ3 σs σn σ1 σs

Le componenti dello stress sono legate dalle seguenti relazioni: 1. σs = ½(σ1 - σ3)sin(2θ) 2. σn = ½(σ1 + σ3) - ½(σ1 - σ3)cos(2θ) Dove θ = angolo tra il piano e σ1 σ1 σn θ σ3 σ3 σs σn σ1 σs

Mohr diagram for stress Relationship between σ1, σ3, σs, and σn is plotted graphically in Cartesian coordinates σs σn

Mohr circle for stress: circle with diameter = σd plotted on mohr diagram Center on the σn-axis at point = ½(σ1 + σ3) σs σ3 σ1 σn ½(σ1 + σ3)

Finding σs, and σn Can use a Mohr circle to find σs, and σn for any plane σs σ3 σ1 σn

Plot a line from center to edge of circle at angle 2θ-clockwise from σn-axis σs 2θ σ3 σ1 σn

X- and y-coordinates of intersection of line and circle define σs and σn for the plane (σs, σn) of plane σs σ3 σ1 σn

Coulomb’s failure criterion • Ogni materiale omogeneo ha un proprio inviluppo della rottura per la fratturazione fragile da taglio

The Coulomb envelope Tensile Fracture σs Shear Fracture Stable 2θ σ3 σ1 Stable Shear Fracture σn

Determining failure envelope Experimental rock deformation Holger Stunitz in the lab at Basel University

Coulomb law of failure σs σc = σ0 + tan(φ)σn φ σ0 σn

σc = σ0 + tan(φ)σn Formula defines shear stress under which rocks will fracture σc = critical shear stress — σs at failure σ0 = cohesive strength — σs when σn = 0 φ = angle of internal friction — φ ≈ 90 - 2θ

Fratture tensili e da taglio Usiamo il diagramma dei cerchi di Mohr per illustrare la rottura di una roccia, disegnado sia lo stress normale sia quello da taglio, come pure lo stress massimo e minimo. Facendo diversi test su campioni di roccia a differenti pressioni confinanti otteniamo una famiglia di valori di rottura che definiscono l’inviluppo della rottura.

Fratture & fratture da taglio in laboratorio Ci sono 2 tipi di test per valutare la resistenza di una roccia: 1) Test per la resistenza tensile: il campione è tirato lungo il suo asse (s 3) con o senza pressione confinante applicata ai suoi lati (s 1 = s 2) fino alla rottura. 2) Test per la resistenza alla compressione: il campione è compresso lungo il suo asse (s 1) con o senza pressione confinante applicata ai lati (s 2 = s 3) fino alla rottura. Alla rottura, I valori degli stress principali sono annotati e così l’orientazione del piano di rottura. Questi dati sono riportati nel cerchio di Mohr.

Un singolo esperimento produrrà un singolo dato che descrive gli stress da taglio e normale ( n, s) rispetto al piano di rottura nell’istante di rottura. Possono essre effettuati un numero di test simili a differenti pressioni confinanti e creare quindi una serie di dati. L’insieme dei punti mi definisce una linea chiamata inviluppo della rottura. L’inviluppo separa lo spazio di Mohr in due regioni: una stabile dove non c’è rottura, l’altra dove non possono esistere rocce indeformate.

Ogni punto lungo l’inviluppo rappresenta la rottura della roccia a differenti stress differenziali: Quindi ogni cerchio verso la destra è sempre più grande Rx failure (fracture) at a specified s 3 and s 1).

Rottura sotto stress compressivi § al crescere della pressione confinante (s 3), abbiamo bisogno di far crescere lo stress differenziale (s 1 -s 3). § la crescita dello stress differenziale è mostrato dal cambio nel diametro del cerchio di Mohr.

Il criterio di rottura di Coulomb Modelli dinamici e meccanici sviluppati da Coulomb (1773) e Mohr (1900). Il criterio descrive l’altezza e l’inclinazione dell’inviluppo della rottura per rocce in compressione. sc = so + s. Ntanf f = angolo di attrito interno tanf = coefficiente di attrito interno sc = stress di taglio critico per la fratturazione so = coesione s. N = stress normale

Questi test definiscono l’inviluppo della fratturazione per una particolare roccia § Tutti gli stress normali e di taglio sotto all’inviluppo sono stabili e nessuna frattura si produce. § Tutti gli stress sopra l’inviluppo produrranno la fratturazione § quando il cerchio di Mohr diventa tangente all’inviluppo allora il sc in quel punto causa una frattura. § nessun altra frattura si produce per altre combinazioni di sc sul cerchio. Relazione tra stress e fratturazione

Criterio di rottura di Coulomb: L’inclinazione e la linearità dell’inviluppo rivela che la resistenza alla compressione di una roccia aumenta con l’aumentare della pressione confinante. L’angolo di inclinazione è chiamato angolo di attrito interno (f). L’inviluppo è chiamato l’inviluppo di Coulomb

§ Nel caso specifico il punto di rottura sull’inviluppo di Coulomb formìnisce i seguenti valori dei moduli s. N = 43 and ss = 47 MPa. § in termini del criterio di rottura il valore dello stress di taglio di 47 MPa è lo stress critico di taglio (sc) necessario per la fratturazione. § parte della sua intensità è la coesione (s 0) letta direttamente come intercetta dell’inviluppo con l’asse y

Il resto dello stress critico di taglio ( c) è lo stress richiesto per superare l’attrito interno e quindi produrre la frattura. Questa componente equivale a: N tanf Questo valore è espresso in termini di stress normale agente sulla frattura e dell’angolo di attrito interno che è l’inclinazione dell’inviluppo.

§La coesione (s 0) è una piccola parte dello stress critico di taglio §La maggior parte delle fratture di taglio si formano quando lo stress di taglio sul piano di frattura raggiunge un livello di oltre il 50% dello stress normale agente sul piano.

Test della resistenza tensile § Le rocce sono generalmente molto deboli alla tensione. Esse sono dalle 2 alle 30 volte più forti alla compressione. §Ricorda: in geologia strutturale gli stress tensili sono negativi (-) mentre quelle compressivi sono positivi(+). § Possiamo rappresentare la rottura tensile nello spazio di Mohr ed avere un idea di come la legge di rottura tensile funziona.

Test della resistenza tensile Per primo confrontiamo questo test con quello della compressione: le rocce sono molto deboli alla tensione. Il rapporto tra resistenza alla tensione e quella per la compressione è 2: 1 fino a superare 1: 30. Se volete rompere un bastoncino lo potete piegare e lungo l’arco esterno agiranno stress tensili mentre in quello interno compressivi, dopo un po’ il bastoncino si romperà nella parte esterna. § Lo stato di stress proprio prima dell’esperimento è s 1 = s 2 = s 3 = 0. Questo è rappresentato da un singolo punto dove non c’è stress differenziale. § come lo stress tensile cresce parallelo alla lunghezza del campione così lo stress differenziale cresce.

Crescita degllo stress tensile con crescita del diametro del cerchio. All’inizio dell’esperimento non c’è nessun stress differenziale (stato di stress idrostatico). La rottura tensile avviene semplicemente quando la resistenza tensile della roccia è superata e il piano di frattura è perpendicolare allo stress tensile:

Lo stress tensile aumenta parallelamente alla lunghezza del campione. Come lo stress differenziale cresce così aumenta il diametro del cerchio di Mohr. Lo stress perpendicolare all’asse del campione è s 1. Durante il test esssndo lo stress tensile negativo deve essere per forza il minimo strss (s 3). Quando la resistenza tensile è superata allora la roccia si rompe perpendicolarmente alla direzione della tensione (s 3). Si forma una frattura di modo 1

La legge della resistenza tensile è: s 3 = T o Una roccia si romperà attraverso fratture di modo 1 se l’intensità dello sforzo minimo (s 3) sarà uguale o supera la resistenza tensile della roccia. La frattura di modo 1 è parallela a s 1 e perpendicolare a s 3. Nello spazio di Mohr il raggio che connette il centro del cerchio dello stress differenziale con il punto di rottura giace sull’asse x.

Test della resistenza tensile e compressiva Possiamo anche eseguire un test triassiale 8 con una quantità piccola di pressione confinante applicata ai fianchi del campione mentre applichaimo lo stress tensile lungo l’asse. Esploriamo le relazioni tra lo stress differenziale, pressione confiante e resistenza alla fratturazione di una roccia in compresione. 10 MPa

Se iniziamo l’esperimento con una pressione confinante di 10 Mpa allora aumenrtiamo lo stress tensile parallelo alla lunghezza del campione. Quando la resistenza tensile della roccia è superata allora il campione si rompe perpendicolarmente alla direzione di tensione (s 3). Si forma una frattura di modo 1. 10 MPa

Come il test va avanti lo stress differenziale (s 1 s 3) cresce (cioè il diametro del cerchio di Mohr) fino alla fratturazione.

Ora iniziamo l’esperimento con una pressione confinante di 40 MPa. Se la pressione confinante variano tra If the s 1 = 3 a 5 To (cioè tra 3 e 5 volte la resistenza tensile di un’arenaria), L’inviluppo si appiattisce leggermente passando per l’asse dello stress di taglio e la sua forma diventa parabolica (dark line). Si formano due fratture coniugate ibride (tensili e da taglio)

Note change in slope Cosa succede con pressioni confinanti più alte? A più alte pressioni confinanti il criterio di rottura di Coulomb non è valido. La roccia si comporta in un modo meno fragile. La linea dell’inviluppo diventa concava verso il basso e l’inviluppo ha un’inclinazione minore. Il criterio di Von Mises descrive il comportamento al di sopra della transizione fragile-duttile Quando la soglia di stress critico è superata la roccia si deformerà lungo dei piani di taglio duttili orientati a 45° da s 1.

Measured values of tensile strength, cohesive strength, and internal friction for a few rock types.

Rock failure envelope for a rock marked by low tensile strength, low cohesive strength, and low internal angle of friction.

Rock failure envelope for a rock marked by high tensile strength, high cohesive strength, and high internal angle of friction.

• Per la maggior parte delle rocce l’angolo di attrito interno è ≈ 30° • perciò θ alla rottura è ≈ 30

Slip su fratture preesistenti Fratture preesistenti non hanno coesione σ0 = 0 L’inviluppo della rottura per fratture preesistenti è ottenuta sperimentalmente

Inviluppo dell’attrito radente σs φf = angolo di attrito radente σn

Legge di Byerlee Descrive l’inviluppo dell’attrito radente σc = tan(φf)σn φf ≈ 40° per basse pressioni confinanti e ≈ 35° per alte pressioni confinanti

Legge di Byerlee per diversi litotipi

σS mb o l ou ure l i a F C elo v n E σ e p o l e nv E g din li S l = σ c pe Φ (tan n c ta ( = ) Φf ) σ0 + σN σN If the Mohr circle for a rock lies below BOTH envelopes: a n tio ic Fr σN ØNO new fracture will form ØNO movement happens on any pre-existing fracture plane

σS mb o l ou ure l i a F C elo v n E σ e p o l e nv E g din li S l a n tio = σ c pe 2θ Φ (tan n c ta ( = ) Φf ) σ0 + σN σN If the Mohr circle for a rock touches the sliding envelope: ic Fr σN ØNO new fracture will form ØMovement happens on any pre-existing fracture with pole making an angle θ with σ1 direction

σS elo v n E e r u il pe σ c an t ( = ta +σ 0 pe o l ve σc =( n E ing lid S al n a b. F m lo Φ )σ N σN f) Φ n F Cou tio ric NO new fracture will form 2θ 2 2θ 1 σN Movement happens on any pre-existing fracture with pole making any angle between θ 1 and θ 2 with σ1 direction

σS elo v n E e r u il pe σ c an t ( = ta +σ 0 pe o l ve σc =( n E ing lid S al n a b. F m lo Φ )σ N σN f) Φ n F tio ric Cou 2θ 3 2θ 2 2θ 1 σN Movement happens on any pre-existing fracture with pole making any angle between θ 1 and θ 2 with σ1 direction New fracture will form with pole making an angle θ 3 with σ1 direction

Effetto della pressione di poro dei fluidi La pressione dei fluidi (Pf) diminuisce effettivamente lo stress in tutte le direzioni Gli stress effettivi (σ1 eff, σ2 eff, e σ3 eff) = stress principali- Pf σ1 eff = σ1 - Pf σ2 eff= σ2 - Pf σ3 eff = σ3 - Pf

σs Condizioni di stress stabile σ1 σ3 σn

σs Aumento della pressione di poro porta al fagliamento σ1 eff σ3 eff σ1 σ3 σn