Rseaux complexes Questce quun rseau Pointssites relis par

Réseaux complexes

Qu’est-ce qu’un réseau ? Points/sites reliés par des liens individus ordinateurs pages web aéroports molécules. . relations sociales (ex: collaborations scientifiques) câbles hyperliens connexions aériennes réactions chimiques. . Autoorganisation Evolution dynamique

Etude des réseaux complexes • Etude phénoménologique: dégager des caractéristiques générales • Modélisation: comprendre les mécanismes • Conséquences: comprendre l’importance des différentes caractéristiques pour différents phénomènes, par exemple la propagation d’épidémies, la fragilité en face de pannes ou d’attaques. . .

Réseaux sociaux: l’expérience de Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) Dodds et al. , Science 301, 827 (2003) “Six degrés de séparation”: “petit-monde”

L’Internet: un autre “petit-monde” Histogramme des distances entre deux sites: distances typiques très petites par rapport à la taille d’Internet Autres exemples: WWW, réseaux de transports, etc. . .

Une autre caractéristique répandue: “Clustering” n 3 Plus grande probabilité d’être connectés 2 1 Clustering: Mes amis se connaissent très probablement entre eux (exemple typique: réseaux sociaux) Effet quantifié par le coefficient de clustering, entre 0 et 1

Modèle le plus simple de réseaux: Erdös-Renyi (1960) -N points, liés avec probabilité p: Réseau -statique, -homogène: nombre de voisins similaire pour tous -Modifications du modèle pour introduire le clustering

Réseau du transport aérien

Une vision d’Internet

Homogène vs. Hétérogène Réseau homogène nombre de voisins similaire pour tous Réseau hétérogène: grandes variations du nombre de voisins

Principales caractéristiques des réseaux complexes • Nombreux éléments en interaction • Evolution dynamique • Auto-organisation Architecture non-triviale Propriétés émergentes Phénomènes coopératifs Internet, World-Wide-Web, Réseaux sociaux etc. . . petit-monde clustering hétérogénéité

Modélisation des réseaux complexes Processus microscopiques des composants Physique Statistique Propriétés statistiques et dynamiques au niveau macroscopique

Changement de point de vue La modélisation commence par la compréhension des mécanismes de base de la formation du réseau La topologie complexe est générée dans les modèles, et non mise à la main de façon ad-hoc Meilleure compréhension de l’interaction entre dynamique, trafic, etc. . .

Exemple de mécanisme: L’attachement préférentiel 1)Les réseaux croissent par l’addition de nouveaux sites Exemples: WWW : addition de nouvelles pages webs Internet : nouveaux ordinateurs, serveurs 2) Les nouveaux sites se connectent plutôt vers des sites ayant déjà de nombreux voisins Exemples: WWW : liens vers des pages webs connues Internet : liens vers des fournisseurs d’accès bien connectés 1) + 2) => réseau très hétérogène

Graphe aléatoire vs Attachement préférentiel

Autres niveaux de complexité • intensités des liens réseaux dynamiques (ex: peer-to-peer) • • réseaux dirigés (ex: WWW)

Exemple d’applications: épidémiologie

Modèles de propagation d’épidémies Description schématique des individus et de leur état: Les individus peuvent se trouver dans certains états: Sain/Susceptible * Infecté * Immunisé/Remis -Propagation par contact S I I I p -Guérison/immunisation I R

Modèles de propagation d’épidémies Réseau de contacts: • Individus=sites • Liens=possibilité de propagation Réseau dont la topologie joue un rôle important

Importance de la topologie du réseau de contacts Virus sur ordinateurs Computer worms Epidémiologie Topologie d’Internet Topologie du réseau d’ email Topologie du réseau de transports/déplacements

Importance de la topologie du réseau de contacts S I I I p Graphes homogènes L’épidémie meurt 0 Graphes hétérogènes L’épidémie se propage pc L’épidémie se propage p 0 pc=0 (ou très petit) p

Un autre exemple de modèle de propagation d’une épidémie c d b a Ville A Ville B

Un autre exemple; propagation d’une épidémie c d a b Ville A Ville B =>Importance du réseau de transport !

Une épidémie ancienne Peste Noire 14ème siècle Dec. 1350 June 1350 Dec. 1349 Dec. 1347 June 1349 Dec. 1348 June 1348 Dec. 1350 Dec. 1347

Une épidémie récente SARS Nov. 2002 Mar. 2003

Etudes possibles § caractérisation du réseau de transport (essentiellement: transport aérien) § modèle simple d’épidémie § reproduire a posteriori le déroulement de l’épidémie pour valider le modèle § étude, dans le cadre du modèle, de l’influence des différents niveaux de complexité § étude de la prédictabilité § étude de mesures d’endiguement

Conclusion -Importance études empiriques -Modélisation Physique Statistique -Conséquences sur processus divers (exemples: épidémies; fragilité des réseaux; . . . ) Domaine interdisciplinaire: informatique, biologie, épidémiologie, sciences sociales. . .

Robustness Complex systems maintain their basic functions even under errors and failures (cell mutations; Internet router breakdowns) 1 S: fraction of giant component S fc 0 1 Fraction of removed nodes, f node failure

Case of Scale-free Networks Random failure fc =1 s (2 < g 3) Attack =progressive failure of the most connected nodes fc <1 fc 1 Internet maps R. Albert, H. Jeong, A. L. Barabasi, Nature 406 378 (2000)

Failures vs. attacks Failures Topological error tolerance 1 3 : fc=1 S 0 Attacks (R. Cohen et al PRL, 2000) fc f 1