Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II

Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado Prof. ssa Oriana Pagliarone

• • • ax=b 2 ax=bc x 2=c x 2+bx=c x 2+c=bx x 2 -bx=c (area) (segmento) x 2+10 x=39 x 2+1400=90 x x 2+21=10 x x 2 -3 x=10

ax=b 2 b b 2 a 2 2 t t ax X

ax = bc DE=ML DO=MN c A ax a X D E M bc b o I triangoli DEO e MNL sono uguali N L G F H I parallelogrammi DELM e DONM sono equivalenti( DOLM in comune) Il rettangolo DEFG è equivalente al parallelogramma DELM (stessa base DE e stessa altezza DG) Il rettangolo MNHG è equivalente al parallelogramma DONM (stessa base MN e stessa altezza MG) I rettangoli DEFG e MNHG sono equivalenti bc = ab + MNHG = ab + DEFG = ax x = AE

X 2 = C AH=1 HD = C B A X 1 H D C BH 2= AH ∙ HD D X 2 = 1 ∙ C X =±√C

x 2+bx-c=0 x 2+bx=c esempio x 2+10 x-39=0 aggiungo 52 x 2+10 x + 52 =39+25 (x+5)2= 64 X+5=8 x=8 -5=3 X=3 e ora ……… 8 5 5 52 5 x 5 x X 2 8 3

Ora possiamo anche costruire il rettangolo di area 39 x 2+10 x = 39 Sapendo che x=3 e che x(x+10)=39 30 10 39 9 3 Abbiamo costruito il rettangolo di area 39

2 x +bx=c x 2 + bx = c x 2 + bx + b 2/4 = b 2/4 + c (x+b/2)2 = b 2/4 + c x = -b/2 ± √(b 2/4 + c) (trascurando la soluzione negativa b>0, c>0 -b/2 - √(b 2/4 + c)) x = -b/2 + √(b 2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

x 2+bx = c ----- √(b 2/4+c) ----b/2 x Costruisci il quadrato di lato √(b 2/4+c) Costruisci il quadrato di lato b/2 L’area in giallo è = b 2 /4 +c – b 2 /4 = c x = √(b 2/4+c) – b/2 r r x 2 Sposta il rettangolo r L’area totale del quadrato e dei due rettangoli gialli è sempre c Per cui c = x(b/2) + x 2 + x(b/2) = x(b/2 + x + b/2)= = x(b+x) = x 2 + bx = c

x 2+c=bx x 2+1400=90 x A AB=90 Scompongo AB in AD=70 e DB=20 in modo che AD ∙ DB = 1400 e costruisco DF=√ 1400 Costruisco M punto medio di AB AM=MB=45 e in M costruisco MC=DF MD=MB-DB=45 -20=25 EM=MD=25 AE=20 EC=√(1400+625)=√ 2025=45 EC=CD=45=AB/2 E e D sono le intersezioni di AB con la circonferenza di raggio AB/2 e centro C E 70 M 90 C D 20 B F Quindi : Costruisco AB=90, il punto medio M, costruisco in M perpendicolarmente il segmento MC =√ 1400 Costruisco la circonferenza di raggio AB/2 e centro C Costruisco le intersezioni E e D della circonferenza con AB AD e DB sono le soluzioni

x 2+1400=90 x 70 20 20 1400 = 20 ∙ 70 X 2 x 90 X=20 1° soluzione

x 2+1400=90 x 70 70 x 2 20 1400 70 X=70 2° soluzione

x 2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x 2 – bx = -c x 2 – bx +b 2/4 = b 2/4 –c (x-b/2)2= b 2/4 –c x-b/2 = ±√(b 2/4 –c) x = b/2 ±√(b 2/4 –c) Costruiamo geometricamente le soluzione

x 2+c=bx P T b/2 H L 1 ----- c ----- K A ----- c+1 -----Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c E M D B b Costruire AB=b e traslare PL =√c in MT con M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio b/2 e centro T che interseca in E e D il segmento AB EM = √(b 2/4 -c) x 1 = b/2 - √(b 2/4 -c) = AM-EM = AE x 2= b-x 1 = AB-AE = EB AE e EB sono le soluzioni

x 2+c=bx x 2+21=10 x Soluzione b>0, c>0 x 2 – bx = -c x 2 – bx +b 2/4 = b 2/4 –c (x-b/2)2= b 2/4 –c x-b/2 = ±√(b 2/4 –c) x = b/2 ±√(b 2/4 –c) costruiamo geometricamente le soluzione per b=10 c=21 x 2 +21 =10 x x=5± 2=3 x 1=3 x 2 =7

Costruiamo il quadrato di lato 5 Costruzione di x 2 +21=10 x Costruiamo il quadrato di lato 2 Togliendo il quadrato di lato 2 al quadrato di lato 5 si ottiene una figura di area 25 -4= 21 x Spostiamo il rettangolo x(5 -x) 2 Aggiungiamo il quadrato di x 21 5 -x X 2 5 ----10 -------X 2+21=10 X X

x 2+21=10 x 10 x-x 2=21 -10 x+x 2=-21 25 -10 x+x 2=25 -21 (5 -x)2=4 5 -x=± 2 Vediamo ora 5 -x X 5 -x x 2 5 -x=2 x=3 Costruendo il quadrato di lato 5 e togliendo il quadrato di lato (5 -x), si ottiene il rettangolo x(5 -x) di lato x cercato 5 10 5 -x E ora la 2 a soluzione x=7 x x

2 x +21=10 x x 2° soluzione 10 x-x 2=21 x(10 -x)=21 -10 x+x 2=-21 25 -10 x+x 2=2521 (x-5)2=4 x-5= 2 x=7 X-5 x 10 -x 21 Semplificando …. X-5 X-5 5 x 10 10 -x

semplificando Disegniamo il quadrato di area 4 che è il quadrato di x-5, aggiungendo il segmento di lunghezza 5 otteniamo x =2+5 =7 4 X-5 5 x

x 2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x 2 – bx = -c x 2 – bx +b 2/4 = b 2/4 –c (x-b/2)2= b 2/4 –c x-b/2 = ±√(b 2/4 –c) x = b/2 ±√(b 2/4 –c) Costruiamo geometricamente le soluzione

In generale: costruiamo X=b/2 -√((b 2/4)-c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 Costruiamo il quadrato di lato √((b 2/4)-c) Togliendo il quadrato di lato √((b 2/4)-c) al quadrato di lato b/2 si ottiene una figura di area b 2/4 –(b 2 /4 -c)= c X=b/2 -√((b 2/4)-c) Spostiamo il rettangolo x(b/2 -x) √((b 2/4)-c) x Aggiungiamo il quadrato di x b/2 -x C X 2 b/2 -x x X -----b----X 2+c=b. X

Costruiamo x=b/2+√(b 2/4 –c) Costruiamo il segmento √(b 2/4 –c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 L’area gialla è = b 2 /4 –(b 2 /4 –c)=c Costruiamo il quadrato di lato √(b 2/4 –c) X= b/2 + √(b 2/4 –c) -------X------√(b 2/4 –c) C r 1 x Costruiamo il quadrato di x Spostiamo c trasformandolo nel rettangolo r 1 + r 2 r 1 X+b/2 - √(b 2/4 –c) = b/2+b/2=b r 2 b/2 x X- √(b 2/4 –c) =b/2 b/2 -√(b 2/4 –c) ---------b-------- x 2 +c = bx

x 2 -bx=c con b>0 , c>0 x 2 -bx+b 2/4=b 2/4+c (x-b/2)2 = b 2/4+c x – b/2 = ± √(b 2/4+c) x =b/2 ± √(b 2/4+c) x = b/2 + √(b 2/4+c) essendo √(b 2/4+c) > b/2 la soluzione x = b/2 - √(b 2/4+c) è negativa e la scartiamo per la rappresentazione grafica

x 2 -bx=c ------- x --------b/2 ---- √(b 2/4+c) ----x -b C b/2 1 Costruisci il quadrato di lato √(b 2/4+c) Costruisci il quadrato di lato b/2 x Prolunga il lato del primo quadrato di un segmento lungo b/2 x = b/2 + √(b 2/4+c) b/2 La zona gialla ha area c: infatti b 2/4+c –b 2/4 = c x – b = b/2 + √(b 2/4+c) –b/2= = √(b 2/4+c) –b/2 Il rettangolo giallo di area x(x-b) = è quello cercato c

X 2 -3 x=10 x -----7/2 -----3/2 2 r 10 3/2 Ripeti la dimostrazione precedente nel caso particolare b=3 c=10 Costruisci il quadrato di lato √(b 2/4+c)= √(32/4+10) = √ 49/4= 7/2 x Costruisci il quadrato di lato b/2=3/2 La differenza delle aree dei due quadrati è 49/4 -9/4=40/4 =10 ( l’area della zona gialla) Aggiungi il segmento b/2=3/2 X = b/2 + √(b 2/4+c) = = 3/2 + √(3 /4+10) = = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5 x – b = 5 -3 = 2 x 2 -3 x =10 x(x-3)=10 5∙ 2=10

Una soluzione ingenua……. x 2 -3 x=10 x(x-3) = 10 x (x-3) = 5∙ 2 x=5 x x =5 10 x-3 2 3

x 2 -3 x=10 x 2 -3 x + 9/4=10+9/4 (x-3/2)2=49/4 (x-3/2)2=(7/2)2 costruiamo il quadrato di area 49/4 , aggiungiamo al lato 3/2 , otteniamo x 49/4 7/2 x-3/2 x 3/2

x 2 -bx=c x 2 -bx +b 2/4= b 2/4 +c (x-b/2)2 = b 2/4 +c x-b/2 =± √(b 2/4 +c) x=b/2 + √(b 2/4 +c) e allora… La soluzione x= b/2 - √(b 2/4 +c) è negativa

x 2 -bx=c P H L 1 ----- c ----- T K ----- c+1 -----Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c √c E A √(b 2/4+c) b/2 M b Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= √(b 2/4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB TM = √(b 2/4+c) = MD AM= b/2 AD = b/2 + √(b 2/4+c) x 1 = b/2 + √(b 2/4+c)=AD AD è la soluzione positiva B D

2 x +bx=c x 2 + bx = c x 2 + bx + b 2/4 = b 2/4 + c (x+b/2)2 = b 2/4 + c x = -b/2 ± √(b 2/4 + c) (trascurando la soluzione negativa b>0, c>0 -b/2 - √(b 2/4 + c)) x = -b/2 + √(b 2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

x 2+bx=c P H L 1 ----- c ----- T K ----- c+1 -----Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c √c E A √(b 2/4+c) b/2 M b Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= √(b 2/4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB TM = √(b 2/4+c) = MD BM= b/2 BD = √(b 2/4+c) - b/2 x 1 = √(b 2/4+c)- b/2 = BD BD è la soluzione positiva B D

• • Animazione flash ax=b 2 Animazione flash ax=bc Animazione flash x 2=c Animazione flash x 2+bx=c Animazione flash x 2+c=bx Animazione flash x 2+21=10 x Animazione flash x 2 -3 x=10