Raciocnio lgico matemtico Unidade 3 Deduo Seo 3

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 1 – Regras de inferência diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 1

Revisando • Proposição: Afirmação que possui um valor lógico (verdadeiro ou falso) • Premissa: Proposição utilizada em um argumento • Conclusão: Fato obtido através de uma sequência de premissas diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 2

Premissa e conclusão • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 3

Premissa e conclusão • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 4

Assimilar – argumento válido • diegofernandes. weebly. com V V F F F Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 5

Assimilar – argumento válido • V V F F F V V F F V

Assimilar – argumento inválido • V V V F F F V V V

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 2 – Modus ponens e silogismo diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 8

Modus Pomens • Modus pomens (forma de provar através da afirmação). • Basicamente, método funciona a partir de uma condicional entre duas proposições verdadeiras

Modus Pomens - exemplo • p q V V F F F V V F F V

Silogismo • Enfoque introdutório • Composto por: – 1º) Premissa maior. – 2º) Premissa menor. – 3º) Conclusão diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 11

Silogismo - Exemplo • Toda mãe cuida dos filhos (premissa maior) • Fernanda é mãe. (premissa menor) • Logo, Fernanda cuida dos filhos. (conclusão) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 12

Silogismo – REGRA 1 • Todo silogismo contém somente 3 termos: Maior, médio e menor • Exemplo – Toda mãe cuida dos filhos. – Fernanda é mãe. – Logo, Fernanda cuida dos filhos. • Termo maior: Cuida dos filhos • Termo médio: Mãe • Termo menor: Fernanda • Logo, Fernanda cuida dos filhos. (conclusão) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 13

Silogismo – REGRA 2 • Nunca, na conclusão, os termos podem ter extensão maior do que as premissas • Exemplo de violação (construção errada) – Toda menina gosta de bordar. – Nenhum menino é menina. – Portanto, nenhum menino gosta de bordar. Comentário: • Não é mencionado sobre meninos gostar ou não de bordar, portanto, não é possível chegar nesta conclusão. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 14

Silogismo – REGRA 3 • O termo médio não pode entrar na conclusão • Exemplo de violação (construção errada) – Todo cachorro é quadrúpede. – Golden Retriever é uma raça de cachorro. – Logo, todo cachorro é cachorro. Comentário: • O erro foi que o termo médio “cachorro” apareceu na conclusão. . . • O certo seria: Logo, todo Golden Retriever é quadrúpede. • Conclusão sempre segue o termo menor. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 15

Silogismo – REGRA 4 • O termo médio deve ser universal ao menos uma vez. • Exemplo de violação – Alguns inteligentes são legais. – Alguns professores são inteligentes. – Logo, alguns professores são legais. Comentário: • Premissas usam termo alguns, o que demonstra se tratar de casos particulares. . . • Dessa forma não pode ser inferido que alguns professores são legais. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 16

Silogismo – REGRA 5 • De duas premissas negativas, nada se conclui. • Exemplo de violação – O Cão de Crista Chinês não tem pelo. – O gato Sphynx não tem pelo. – Logo, a carga genética deles são iguais. Comentário: • As duas raças mencionadas não possuem pelos, porém não é possível afirmar que a carga genética deles são iguais. . (Do ponto de vista biológico se tratam inclusive de espécies diferentes e com certeza a carga genética não é igual) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 17

Silogismo – REGRA 6 • De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa. • Exemplo de violação: – Todos os estudantes são inteligentes. – Camila é estudante. – Portanto, Camila não é inteligente. – Comentários: Assumindo premissas como sendo verdadeiras, conclusão está totalmente errada, pois não existe nenhuma premissa negativa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 18

Silogismo – REGRA 7 • A conclusão sempre segue a premissa menor ou mais fraca. • Exemplo de violação: – Os alunos inteligentes estudam. – Pedro é um aluno inteligente. – Portanto, os alunos estudam. – Comentário: • Deveria seguir a premissa menor, ou seja, Pedro. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 19

Silogismo – REGRA 8 • De duas premissas particulares, nada se conclui. • Exemplo de violação: – Algumas alunas são estudiosas. – Alguns alunos da faculdade Y são meninas (alunas). – Portanto, algumas alunas da faculdade Y são estudiosas. – Comentário: • Todos os termos são usados de forma particular. • Premissas e conclusão podem ser corretas, porém não é possível afirmar que alguma aluna da faculdade Y seja bondosa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 20

Silogismo – TIPOS • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 21

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 3 - Contrapositiva diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 22

Lembrando •

Pergunta • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 24

Modus Tollens • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 25

Exemplo equivalente Modus ponens Modus tollens Se Pedro guarda dinheiro, então ele faz poupança. Pedro guardou dinheiro. Se Pedro não fez poupança, então ele não guardou dinheiro. Pedro não guardou dinheiro. p: Pedro guarda dinheiro; q: ele faz poupança. ~q: Pedro não fez poupança; ~p: Pedro não guardou dinheiro. Conclusão: Pedro não fez Conclusão: Pedro fez poupança. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 26

Para entender • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 27

Exemplo 2 • Se Pedro praticar muito, então ele se tornará um mestre no que faz. • Ele não se tornou um mestre. O que podemos concluir? diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 28

Exemplo 2 - Resultado • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 29

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 4 – Redução ao absurdo diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 30

Absurdo • Demonstrar através de um absurdo? • Como isso pode trazer um argumento válido? • Aplicação: – Casos onde não é possível chegar a uma conclusão verdadeira, mesmo partindo de premissas verdadeiras – Para isso, vamos negar uma premissa verdadeira (supor o que se quer provar como algo contrário ao que se quer provar de forma a se chegar em um absurdo) • Perceba: lembre que os princípios lógicos são o da identidade, o da não contradição, e o do terceiro excluído. A prova por absurdo pretende violar o principio lógico da não contradição. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 31

Simbolicamente • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 32

Exemplo 1 • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 33

Exemplo 1 - assim teremos 1. Diego é professor ou Camila é pedagoga. 2. Diego não é professor. 3. Camila não é pedagoga. 4. Camila é pedagoga. (Silogismo disjuntivo de 1 e 2) 5. Camila é pedagoga e Camila não é pedagoga. (Conjunção de 3 e 4) ABSURDO

Observação - silogismo disjuntivo • Forma de argumentação classificada como válida do seguinte tipo: p ou q não p Logo q • Exemplo – Ele compra um carro ou ele compra uma casa. – Ele não compra um carro. – Logo, ele compra uma casa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 35

Exemplo 2 • 1. 2. 3. 4. 5. Se x e y é impar, então xy é impar. x e y é impar. xy é impar. (modus ponens 1 e 2) xy é par e xy é impar. (conjunção 3 e 4) ABSURDO diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 36

Unidade 4 Conjuntos diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 37

Conjunto • Conceito: Reunião de elementos com alguma característica comum. • Exemplos: • • Conjunto dos livros da biblioteca da faculdade Anhanguera. Conjunto dos alunos da turma de RLM. Conjunto dos planetas do sistema solar. Conjunto dos números pares. • Perceba nos exemplos que existem conjuntos finitos e infinitos. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 38

Tipos especiais de conjuntos • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 39

Pertence / Contém / Está contido • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 40

Operações com conjuntos • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 41

Operações com conjuntos • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 42

Conjuntos numéricos • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 43

Conjuntos numéricos • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 44

Conjuntos numéricos • Reais: conjunto formado pelos conjunto dos números racionais e reais diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 45

Produto cartesiano • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 46

Plano cartesiano • Representação gráfica de pontos ou coordenadas x < 0 (negativos) y > 0 (positivos) x > 0 (positivos) y > 0 (positivos) x < 0 (negativos) y < 0 (negativos) x > 0 (positivos) y < 0 (negativos) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 47

Relação • Valores de a b=a+1 Valores de b 0 b = 0 + 1 = 1 1 1 b = 1 + 1 = 2 2 2 b = 2 + 1 = 3 3 3 b = 3 + 1 = 4 4 diegofernandes. weebly. com Plano cartesiano da relação Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 48

Relação e função • Domínio: representado por todos os elementos do conjunto de partida • Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto de chegada • Imagem: representada pelos elementos do contradomínio que possuem correspondência com o domínio – “respostas da função” diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 49