Projekt AS KOMPETENCJI jest wspfinansowany przez Uni Europejsk

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007 -2013 CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie i Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach • ID grupy: 97/88_MF_G 1 i 97/30_MF_G 1 • Opiekun: Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: , , Równania diofantyczne” • Semestr/rok szkolny: semestr III / rok szkolny 2010/2011

Równania diofantyczne Nasza prezentacja ma na celu utrwalenie wiadomości z algebry, teorii liczb, podzielności.

DIOFANTOS • Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4 x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi.

ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS?

W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnej Sztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część Życia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg, Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka, Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek Ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

ROZWIĄZANIE: x – czas życia Diofantosa 1/6 x – jego dzieciństwo 1/12 x – okres młodości 1/7 x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem 5 – lata oczekiwania na syna 1/2 x – czas życia syna 4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna Rozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą: 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + 1/2 x + 4 = x Stąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata.

ZADANIA DIOFANTOSA

Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek:

RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa. Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: * Czy ma ono rozwiązania? * Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? * Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

NWD Twierdzenie Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne NWD(a, b) = xa + by.

11 -5 -31 NWD(309, 186) Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309, 186) 309 = 1 · 186 + 123 186 = 1 · 123 + 63 123 = 1 · 63 + 60 63 = 1 · 60 + 3 60 = 20 · 3 + 0 Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 − 1 · 60 = = 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 = = 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 = = 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) = = − 3 · 309 + 5 · 186 Zatem 3 = − 3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postać x = − 3, y = 5.

11 -5 -31 Równanie ax + by = c Twierdzenie Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb całkowitych x 0, y 0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: x = x 0 + ·t, y = y 0 − ·t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne 309 x + 186 y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci x = − 3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

11 -5 -31 Przykłady równań diofantycznych • Równanie 2 x+1=y 2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3, 3) • Równanie xy=yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2, y=4 oraz x=4, y=2

11 -5 -31 Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001 x + 35 y = 49 Rozwiązanie Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa. 1001 = 28 · 35 + 21 2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35 35 = 1 · 21 + 14 21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14 =7 21 = 1 · 14 + 7 14 = 21 · 7 + 0 Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy 14 · 1001 + (− 399) · 35 = 49 Para x 0 = 14, y 0 = − 399 jest rozwiązaniem. Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci: x =x 0 + · t = 14 + 5 · t y =y 0 − · t = − 399 − 143 · t t − liczba całkowita.

11 -5 -31 Zadanie 2 Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu. Rozwiązanie Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, to 3 x + 5 y = 149. Otrzymujemy: x = 298 + 5 · t y = − 149 − 3 · t, t − liczba całkowita Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem dobrać takie t, aby x = 298 + 5 · t ≥ 0, y = − 149 − 3 · t ≥ 0. Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy x = 298 + 5 · t y = − 149 − 3 · t, − 59 ≤ t ≤ − 50.

11 -5 -31 Odpowiedź Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów t − 59 − 58 − 57 − 56 − 55 − 54 − 53 − 52 − 51 − 50 x 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 y 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1

11 -5 -31 A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy

11 -5 -31

11 -5 -31

11 -5 -31

11 -5 -31 Równanie a 1 x 1 +. . . + anxn = b Twierdzenie Równanie diofantyczne a 1 x 1 +. . . + anxn = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a 1, . . . , an)|b.

11 -5 -31 JAK ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE a 1 x 1 +. . . + anxn = b, GDY NWD(a 1, . . . , an) DZIELI b?

11 -5 -31 Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12 x + 15 y + 7 z = 11. Rozwiązanie Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12 x + 15 y = 3(4 x + 5 y) = 3 w. Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań 12 x + 15 y = 3 w 3 w + 7 z = 11. Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam sposobem otrzymując rozwiązanie z = 11 − 3 · u, w = − 22 + 7 · u. Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania Otrzymując 12 x + 15 y = 3(− 22 + 7 u).

11 -5 -31 cd. rozwiązania Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy 4 x + 5 y = − 22 + 7 u. Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego rozwiązania równania 4 x + 5 y = 1. 4 · (− 1) + 5 · 1 = 1. wiec 4 · (22 − 7 u) + 5 · (− 22 + 7 u) = − 22 + 7 u. Odpowiedź: Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka liczb postaci x = 22 − 7 u + 5 t y = − 22 + 7 u − 4 t z = 11 − 3 u gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.

11 -5 -31 Równanie Pitagorasa Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3, 4 oraz 5. Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x 2 + y 2 = z 2 zwanego równaniem Pitagorasa. Trójka x 0, y 0, z 0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx 0, dy 0, dz 0 tez jest rozwiązaniem tego równania, bo (dx 0)2 + (dy 0)2 = (dz 0)2 ↔ x 20+ y 20 = z 20.

11 -5 -31 Rozwiązywanie równania Pitagorasa Definicja Rozwiązanie x 0, y 0, z 0 równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(x 0, y 0, z 0 ) = 1. Uwagi 1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx 0, dy 0, dz 0 , gdzie x 0, y 0, z 0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe. 2. Jeżeli x 0, y 0, z 0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb x 0, lub y 0 jest parzysta.

11 -5 -31 Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x 0, y 0, z 0 równania x 2 + y 2 = z 2, dla którego y 0 jest liczba parzystą jest posta x 0 = m 2 − n 2 , y 0 = 2 mn, z 0 = m 2 + n 2 , gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m > n , NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta. Przykład m 2 3 4 5 5 n 1 2 3 x 3 5 15 21 9 y 4 12 6 20 40 z 5 13 17 29 41

11 -5 -31 Wielkie Twierdzenie Fermata Równanie: xn+yn=zn dla n=2 obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. dla n>2 równanie to nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych

11 -5 -31 Równanie Pella Równanie x 2 – ny 2=1 gdzie n>0 zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella) nie ma rozwiązań, jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej, ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.

Wnioski Bardzo częstym zadaniem na konkursach matematycznych, w których członkowie naszych grup biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się , że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania często związane są z bardzo pomysłowymi rozumowaniami.

Bibliografia W. Sierpiński , , Czym zajmuje się teoria liczb” W. Sierpiński , , O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych” A. P. Juszkiewicz , , Historia Matematyki” Z. Bobiński, P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki , , O liczbach i równaniach” Z. Bobiński, P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki , , Miniatury matematyczne” Zasoby internetowe

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007 -2013 CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie