PODZIELNO WIELOMIANW DEFINICJA Wielomian Wx jest podzielny przez

PODZIELNOŚĆ WIELOMIANÓW

DEFINICJA Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) różny od wielomianu zerowego wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q(x), dla którego W(x)=Q(x) *P(x). Wówczas wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez P(x). Wielomian P(x) jest dzielnikiem wielomianu W(x). Jeśli wielomian W(x) = 0, to każdy niezerowy wielomian P(x) jest dzielnikiem wielomianu W(x), przy czym iloraz Q(x) jest wielomianem zerowym (Q(x)=0)

Podzielność wielomianów jest bardzo podobna do podzielności liczb całkowitych Liczba 45 jest podzielna przez 9, bowiem: Wielomian W(x)=x 2 -25 jest podzielny przez wielomian P(x)= x+5, bowiem: 45= 5*9 W(x)= (x-5) * (x+5) W dzieleniu 45: 9 : - liczba 9 jest dzielnikiem - liczba 4 jest ilorazem liczby 45 przez 9 W dzieleniu W(x): P(x) : - wielomian P(x)= x+5 jest dzielnikiem - wielomian Q(x)=x-5 jest ilorazem wielomianu W(x) przez P(x)

Uwaga! Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), to jest również powdzielny przez wielomian c*P(x), gdzie c jest liczbą rzeczywistą różną od zera. Przykład Dany mamy wielomian W(x)= x 2 -1 , możemy go zapisać w postaci: W(x)= (x+1)(x-1) więc jest podzielny przez P 1 (x)= x+1 W(x)= (1/2 x +1/2 x)*(2 x-2) więc jest podzielny przez P 2(x)=1/2 x+1/2 W(x)=(3 x+3)*(1/3 x-1/3) więc jest podzielny przez P 3(x)=3 x+3 itd.

Zadanie 1. Wielomian W(x)= 8 x 3+ax 2 -bx-3 podzielono przez wielomian P(x)=4 x 2 -1. W wyniku tego otrzymano iloraz Q(x)=2 x+3. Wyznacz wartości współczynników a i b. Wielomian(x) podzielono przez wielomian P(x), a iloraz tego dzielenia wynosi Q(x), więc: W(x)= P(x)*Q(x), stąd W(x)= (4 x 2 -1)(2 x+3), a po uporządkowaniu W(x)= 8 x 3+12 x 2 -2 x-3 Wiemy, że: W(x)=8 x 3+ax 2 -bx-3 oraz W(x)=8 x 3+12 x 2 -2 x-3 Na podstawie twierdzenia o równości wielomianów otrzymujemy : a=12 b=2. ( Wartości współczynników wielomianu)

Zadanie 2. Dany jest wielomian W(x)=x(x-1)(x+2)(x-3). Określ stopień wielomianu W(x). Następnie podaj przykład wielomianu stopnia drugiego i wielomianu stopnia trzeciego, króry jest dzielnikiem wielomianu W(x). Wielomian W(x) jest iloczynem czterech czynników W(x)= x*(x-1)*(x+2)*(x+3) Każdy czynnik jest wielomianem stopnia pierwszego, zatem: st. W(x)=1+1+1+1=4 Rozpatrzmy wielomian: P(x)=x(x-1), st. P(x)=2 Dla wielomianu P(x) istnieje wielomian: Q(x)=(x+2)(x-3), dla którego W(x)=P(x)*Q(x) Stąd dzielnikiem wielomianu W(x) jest wielomian P(x)= x 2 -x. Niech wielomian K(x) będzie iloczynem trzech czynników: K(x)=x(x-1)(x+2), st. K(x)=3 Wielomian można przedstawić jako: W(x)=K(x)*(x-3) Zatem dzielnikiem wielomianu W(x) jest wielomian K(x)=x 3+x 2 -2 x

Zadanie 3. Wielomian W(x)=2 x 3 -x 2 -16 x+15 jest podzielny przez wielomian P(x)=x 2+2 x-3. Znajdź iloraz W(x) przez P(x). Wielomian W(x)=2 x 3 -x 2 -16 x+15 możemy również zapisać jako: W(x)=(x 2+2 x-3)*Q(x) Wielomian W(x) jest trzeciego stopnia więc st. Q(x)=1. Zatem iloraz jest funkcją liniową Q(x)=mx+n, gdzie m≠ 0. Otrzymujemy: W(x)=(x 2+2 x-3)(mx+n)=mx 3+(n+2 m)x 2+(2 n-3 m)x-3 n Porównujemy współczynniki przy x 3 i wyrazy wolne: m=2 -3 n=15, stąd n=-5 Pozostaje jeszcze sprawdzić równość współczynników przy x 2 i x : n+2 m=-5+2*2=-1 2 n-3 m=2*(-5)-3*2=-16 Szukanym ilorazem jest wielomian Q(x)=2 x-5

Wykonały: Małgorzata Swoboda, Hanna Kuraszkiewicz