Poploavanja kristali kvazikristali Franka Miriam Brckler Vladimir Stilinovi
Popločavanja, kristali, kvazikristali Franka Miriam Brückler Vladimir Stilinović
KRISTALI
• Idealni kristali su oblika konveksnih poliedara. • Stalnost kutova In plano axis laterum et numerum et longitudinem varie mutari, non mutatis angulis. N. Stensen, 1669.
R. J. Haüy (1743. – 1822. ) 1801. Kristali se sastoje od sićušnih paralelepipeda koji se slažu jedan do drugoga – kristali su periodične građe.
Jesu li kristali stvarno periodični? • Jesu – dokazano činjenicom da difraktiraju rentgensko zračenje.
Ako su kristalografi u pravu. . . • Neka je struktura periodična. . . • simetrija objekta X je izometrija f (euklidskog) prostora obzirom na koju je objekt invarijantan tj. f(X) = X • može se opisati kao f(x) = Ax+b s |det(A)| = 1 • f je rotacija ako je b=0 i det(A)=1 tj. A SO(3) • Eulerov teorem: u R 3 to je stvarno rotacija u oko neke osi • najmanji mogući kut rotacije (koja je simetrija objekta) > 0 najveći n N takav da je n = 2 – govorimo o osi rotacije reda n
Ako su kristalografi u pravu. . . • translacija za vektor b: tb(x) = x + b • objekt X u euklidskom prostoru posjeduje translacijsku simetriju ako postoji vektor b pripadnog vektorskog prostora t. d. tb(X) = X • obzirom na kristalografe, zanimaju nas objekti koji u n-dimenzionalnom prostoru posjeduju simetrije u n linearno nezavisnih smjerova e 1, . . . , en (periodičnost) • ako je X takav i O X, onda X mora sadržavati beskonačno mnogo točaka tj. bar sve točke T takve da je predstavnik nekog vektora oblika s cjelobrojnim koeficijentima
Ako su kristalografi u pravu. . . • rešetka u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru, generirana nekom bazom {e 1, . . . , en} tog prostora, je skup • često se gleda točkovna rešetka u euklidskom prostoru, uz odabrani koordinatni sustav (O; {e 1, . . . , en}):
Ako su kristalografi u pravu. . . • Teorem (kristalografska restrikcija): Neka je X E 3 objekt koji je periodičan. Ako X kao simetriju posjeduje rotaciju reda n, onda je n {1, 2, 3, 4, 6}. • Dokaz: • X periodičan obzirom na bazu {e 1, . . . , en} kao podskup sadrži rešetku L’; neka je A rotacija reda n koja mu je simetrija (BSO: oko z-osi) za kut [0, • ona mora sve točke s cjelobrojnim koordinatama preslikavati u isto takve obzirom na {e 1, . . . , en} ima matricu s cjelobrojnim elementima • trag matrice je invarijanta 2 cos( )+1 Z {0, /3, /4, /2, }
Jesmo, u pravu smo. . . Na kristalima se zamjećuju samo određeni elementi simetrije: Centar inverzije (“simetrije”) Zrcalne ravnine Osi 2. , 3. , 4. i 6. reda.
Što su popločavanja? • popločavanje prostora R 2 (R 3) je (prebrojiva) familija T zatvorenih skupova pi R 2 (R 3) prostora takva da vrijedi - pi = R 2 (R 3) - i, j int pi int pj = • moguće je dodatno zahtijevati da pločice osim geometrijskih imaju i neka druga svojstva (npr. boje) • generirajući skup je minimalni podskup P T sa svojstvom da nikoja dva elementa iz P nisu sukladna; elementi od P se zovu protopločice
- dvije protopločice - šest protopločica ako uzmemo u obzir boje
Nije sve normalno. . . • moguća su čudna popločavanja • popločavanja kojima nisu sve pločice topološki diskovi, npr. pločice s rupama • popločavanja u kojima se (bar) dvije pločice sijeku u nepovezanom skupu • popločavanja u kojima (bar jedna) pločica nije uniformno ograničena • popločavanja u kojima nema takvih anomalija: normalna popločavanja
Još malo o popločavanjima • najčešće protopločice: poligoni (ne nužno konveksni) – obično se zahtijeva da nijedan vrh neke pločice ne leži unutar nekog brida neke druge • za dani kvadrat stranice 2 r mogu se definirati brojevi t(r), e(r), v(r), kao brojevi pločica, bridova, strana popločavanja koje se nalaze u “dijelu popločavanja određenom tim kvadratom” (skupu svih pločica koje imaju neprazan presjek s tim kvadratom i sve koje su potrebne da njihova unija bude jednostavno povezan skup) • popločavanje je metrički uravnoteženo ako za r + postoje limesi izraza t(r)/4 r 2, e(r)/4 r 2, v(r)/4 r 2 i nezavisni su o izboru kvadrata tj. možemo definirati broj vrhova, bridova i strana po jediničnoj površini
Periodična popločavanja • jednostavnosti radi gledamo euklidsku ravninu E 2 • postoje dva nekolinearna vektora a i b te ograničen podskup ravnine (“jedinična ćelija”) C sa svojstvom da za svaku točku T postoje cijeli brojevi m, n te točka TC C takvi da je TCT = ma+nb • pripadna rešetka generirana je paralelogramom P određenim vektorima a i b • svako normalno periodičko popločavanje je metrički uravnoteženo
b C a
Koja je prava?
Kristalni sustavi • Postoji konačno mnogo tipova rešetki, obzirom na odnose baznih vektora tj. obzirom na simetrije rešetki – pet u ravnini, sedam u 3 D-prostoru • a, b, c duljine baznih vektora, α, β, γ kutevi između po dva od njih
Kako klasificirati periodična popločavanja? • 17 grupa tapeta – prema simetrijama
Moguće simetrije u dvodimenzijskima periodičnim popločavanjima
Određivanje grupe tapeta: Odredi maksimalni red n rotacije i utvrdi postoji li bar jedno zrcaljenje. 1, da postoje li klizna zrcala koja nisu zrcala: cm , pm 1, ne postoji li klizno zrcaljenje: pg, p 1 2, da postoje li zrcaljenja u dva različita smjera? da postoje li centri rotacije na zrcalima: pmm, cmm ne pmg 2, ne postoji li klizno zrcaljenje: pgg, p 2 3, da jesu li svi centri rotacije na zrcalima: p 3 m 1, p 31 m 3, ne p 3 4, da postoje li zrcala koja pod kutem 45°: p 4 m, p 4 g 4, ne p 4 6, da p 6 m 6, ne p 6
p 1 p 3 (ignorirati boje) p 2 (ignorirati boje)
p 4 (ignorirati boje) p 6 m pg
cm pm
p 3 m 1 p 4 g p 31 m p 4 m
cmm (ignorirati boje) pgg pmm pmg (ignorirati boje)
U trima dimensiama • prostorne grupe (230 komada) • određene mogućim kombinacijama simetrija koje imaju jednu fiksnu točku i simetrija rešetke • različite kompozicije simetrijskih operacija: tzv. složeni elementi simetrije (klizne ravnine, vijčane osi. . . )
Kvaziperiodična popločavanja • vrsta neperiodičnih popločavanja, no: iako nemaju translacijsku simetriju, nije potpuno nepravilno • svaki ograničen podskup takvog popločavanja (neprecizno, ali praktično, dakle kristalografima draže. . . ) se ponavlja beskonačno mnogo puta
Penroseova popločavanja • 1974. – sir Roger Penrose (1931. -) • najpoznatija kvaziperiodična popločavanja
Nekoliko zanimljivosti o Penroseovim popločavanjima • uvijek neperiodično • beskonačno mnogo različitih, nijedan konačan dio ne određuje cijelo popločavanje • svaki ograničen dio nekog PP se ponovno pojavljuje u tom PP (i u svakom drugom PP) • omjer zmajeva i strijela je Φ • može imati simetriju reda 5 (no kao i svako popločavanje, može imati samo jedan centar simetrije reda 5) • statistička simetrija reda 10
svi uzorci su određeni s 5 smjerova pravaca pod međusobnim kutevima 72°, a susjedni pravci svakog smjera su udaljeni za jednu od 2 dužine koje su u omjeru Φ
A postoji li takovo što, zapravo? KVAZIKRISTALI Though this be madness, yet there is a method in’t. . .
Poligonalnog oblika ali s osima 5, 8, 10. . . reda. Difraktiraju rentgensko zračenje Kvaziperiodične strukture KRISTALI ? ? ?
Tako kažu !!! • Nova definicija kristala (IUCr, 1992): "by crystal we mean any solid having an essentially discrete diffraction pattern, and by aperiodic crystal we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent" KRAJ. . . ?
- Slides: 41