Magini kvadrati i srodna im bia Franka Miriam

Magični kvadrati i srodna im bića Franka Miriam Brueckler 4. svibnja 2011. (Nastavna sekcija HMD-a) 6 8 9 7 3 12 5 11 10 1 14 13 16 15 4 2

Što je zajedničko starim Kinezima, Majama, Babiloncima, špiljskim ljudima, Indijcima, Arapima i plemenu Hausa? �pogađate: magični kvadrati �legenda o kineskom caru Yu-u oko 2200. g. pr. Kr. – kornjača Lo Shu iz rijeke Lo (Žute rijeke) �povijesno pouzdano: poznati od otprilike 4. st. pr. Kr. �u Europi od ca. 1300. A. D. (Emanuel Moschopolous) �renesansa: Luca Pacioli, Cornelius Agrippa, Albrecht Dürer http: //pballew. net/magsquar. html

Još neki poznati povijesni kvadrati �templarski kvadrat (Pompeji) �arapski srednji vijek �Benjamin Franklin, ca. 1770.

Definicije magični kvadrat je kvadratna tablica koja pokazuje određene pravilnosti obzirom na u njoj raspoređene brojeve ili druge objekte tradicionalni magični kvadrat: prirodni brojevi od 1 do n 2, zbrojevi stupaca, redaka i dvije glavne dijagonale su jednaki kvadratna matrica A sa svojstvom za sve j, k od 1 do n iznos Mn se zove magičnom sumom ili magičnom konstantom komplementarni magični kvadrat: (n 2 + 1)E − A, gdje je E =[1]n×n

A sad malo Vi! 13 (12) 12 (13) 7 (3) 2 (6) 3 (1) 6 (8) 9 (10) 16 (15) 10 (14) 15 (11) 4 (5) 5 (4) 8 (7) 14 (16) 11 (9) 1 (2) Rasporedite prirodne brojeve od 1 do 16 na stražnje strane post-it ceduljica i zalijepite ih na foliju tako da dobijete obostrani magični kvadrat (u oba kvadrata treba dodatno i svaki 2× 2 kvadrat imati magičnu sumu) 13 12 7 2 6 3 13 12 3 6 9 16 15 10 8 1 10 15 4 5 11 14 8 1 14 11 9 16 2 7 http: //nrich. maths. org/public/

O magičnoj sumi za tradicionalni magični kvadrat iznosi analogno, ako se magični kvadrat sastoji od brojeva koji čine aritmetički niz s početnim članom a i dokaz: zbroj svih brojeva razlikom d, magična u kvadratu je 1 + 2 +. . . + suma iznosi 2 2 n = n(n + 1)/2, što mora biti jednako n. Mn iznosi su redom 1, *, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, (Hunter&Madachy, 1975. ) 505, 671, 870, ….

a c b d Koliko ih je? poistovjećujemo magične kvadrate koji se jedan iz drugog mogu konstruirati zrcaljenjem ili rotacijom 2 7 6 9 5 1 4 3 8 ~ 2 9 4 7 5 3 6 1 8 • Nije poznata opća ovisnost broja različitih magičnih kvadrata o redu kvadrata • Reda 1 i 3 su jedinstveni i to je odavno poznato; reda 4 ih ima 880 (de Bessy, 1693. ), reda 5 ih ima 275 305 224 (Schroeppel, 1973. ); reda 6 ih ima reda veličine 1019 (Pinn &Wieczerkowski, 1998. , Monte Carlo simulacije i metode statističke mehanike)

Neke posebne vrste �Polumagični : jedan ili oba zbroja dijagonala nisu jednaki zbrojevima redaka i stupaca �Povezani: zbrojevi centralno simetričnih polja jednaki n 2 + 1 (npr. Lo Shu) �Panmagični (pandijagonalni, vražji, Nasik): sve (uključivo i prelomljene) dijagonale imaju magičnu sumu – ne postoje reda 3 ni reda 4 k + 2 �Polu-Nasik: nasuprotne kratke dijagonale imaju magičnu sumu (14 + 11 + 5 = 34, 12 + 6 + 13 + 3 = 34)

panmagične kvadrate se može rasporediti u beskonačnu mrežu (popločamo ravninu s njima) i svaki podkvadrat veličine osnovnog bit će panmagičan od 880 magičnih kvadrata reda 4, njih 448 su obični, tj. zadovoljavaju samo temeljna svojstva magičnosti, njih 48 su panmagični, a njih 384 su polu-Nasik (uključivo povezanih)

Još neke podvrste �najsavršeniji: panmagični i svaki 2× 2 -podkvadrat ima isti zbroj (2 n 2 − 2) – svi panmagični reda 4 su takvi �antimagični: svi retci, stupci i dijagonale različitih suma i sume čine niz uzastopnih prirodnih brojeva �magični kvadrati temeljeni na oduzimanju, množenju ili dijeljenju 6 8 9 7 3 12 5 11 10 1 14 13 16 15 4 2 1 16 17 32 53 60 37 44 63 50 47 34 11 6 27 22 3 14 19 30 55 58 39 42 61 52 45 36 9 8 25 24 12 5 28 21 64 49 48 33 54 59 38 43 2 15 18 31 10 7 26 23 62 51 46 35 56 57 40 41 4 13 20 29

Zadaci za početnike. . . 4 5 3 8 6 1 4 3 8 9 4 3 10 13 8 7 14 23 6 19 10 1 5 4 12 11 4 9 može i s kartama! 2 15 9 8 7 3 6 15 1 11 5 16 3 10 . .

Puno tog se može istraživati o njima 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 �koliko iznosi magična konstanta ovog kvadrata? �ovaj je kvadrat posebno magičan jer i neki 2 × 2 podkvadrati imaju isti zbroj – koliko takvih možeš naći? �kako pribrajanje broja 2 svim brojevima mijenja magičnu konstantu? udvostručavanje? �možeš li naći 4 × 4 magični kvadrat s magičnom konstantom 17? kako si to uspio/la? a s magičnom konstantom 38? �koje druge magične konstante do 100 možeš dobiti tako da kreneš od ovog kvadrata i sve brojeve promijeniš po istom pravilu? mogu li se neke postići na više načina? ima li nekih koje se ne mogu dobiti?

I još par zanimljivih. . . �binarni Dürerov kvadrat �apokaliptični kvadrat 3 107 5 131 109 311 7 331 193 11 83 1 103 53 71 89 151 199 113 61 97 167 31 367 13 173 59 17 73 101 127 179 139 1111 0010 0001 1100 0100 1001 1010 0111 1000 0101 0110 1011 0011 1110 1101 0000 1111 0100 0010 1001 0001 0011 0101 1010 1100 1110 0111 1101 1011 0000 17 175 13 21 21 9 9 37 4 12 25 25 8 16 47 11 11 24 24 7 20 3 3 10 10 18 181 14 22 22 23 23 6 19 2 15

Generiranje magičnih kvadrata �Nema poznatog sustavnog postupka za generiranje svih magičnih kvadrata proizvoljnog reda �Postoje razni poznati algoritmi za generiranje pojedinih magičnih kvadrata �Najlakše je generirati magične kvadrate neparnog reda �Nešto teže one parnog reda djeljivog s 4 �Najteže je konstruirati magične kvadrate parnog reda nedjeljivog s 4 – za njih su poznate samo metode koje se dijelom temelje na pokušaju i pogrešci, npr. Strachey-eva metoda

De la Loubère-ova metoda 18 25 2 9 17 24 1 8 15 17 23 5 7 14 16 23 4 6 13 20 22 4 10 12 19 21 3 10 11 18 25 2 9 neke druge poznate metode za generiranje magičnih kvadrata neparnog reda: Bachet-ova, de la Hire-ova, stepeničasta, Fultsova, rompska, metoda konjićeva skoka. . .

Dürer-ova metoda 1 2 15 14 3 4 12 5 6 7 8 9 9 8 10 11 512 13 143 152 16 �neke druge metode za generiranje magičnih kvadrata reda 4 k: de la Hire-ova, dijagonalna, . . .

http: //www. web-books. com/Classics/Books/B 0/B 873/Contents. htm Dopuni do magičnog kvadrata! 8

8 veselih zatvorenika �ni u kojem trenu u jednoj ćeliji ne smiju biti dva zatvorenika �veseli monarh im je za Badnjak obećao posebno dobru hranu ako se, pridržavajući se tog načela, mogu rasporediti tako da im brojevi čine magični kvadrat �broj 7 je bio matematički nadaren pa je osmislio metodu kojom će to postići s ukupno najmanje hodanja �no, jedan tvrdoglavac je odbio sudjelovati i maknuti se iz ćelije �broj 7 je svejedno uspio rasporediti sviju u magični kvadrat s minimalnim šetanjem – kako? koji broj nosi tvrdoglavi zatvorenik? 1 2 4 3 5 6 7 8 7 2 3 4 8 6 1 5 4, 1, 2, 4, 1, 6, 7, 1, 5, 8, 1, 5, 6, 7, 5, 6, 4, 2, 7

Španjolska tamnica �utvrda blizu Cadiza imala je posebno neugodnu tamnicu od 16 ćelija �guverner je bio veselo biće i volio je logičke zadatke te je otišao i rekao zatvorenicima da će ih osloboditi ako riješe zadatak: �“Rasporedite se u 16 ćelija tako da vaši brojevi čin magični kvadrat. No, pritom ni u jednom trenu ne smiju biti dvojica istovremeno u jednoj ćeliji. ” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 9 7 4 6 5 11 8 1 2 12 15 13 14 3 15, 14, 10, 6, 7, 3, 2, 7, 6, 11, 10, 14, 3, 2, 11, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 2, 15, 3

Prosti magični kvadrati �Trgovac voćem ima 9 košara sa šljivama, kao na slici, u svakoj košari je drugi broj šljiva. Kad ih je rasporedio kao na slici, ti su brojevi činili magični kvadrat. Trgovac je jednom od svojih zaposlenika rekao da sadržaj jedne, bilo koje, košare rasporedi među nekom djecom, tako da svako dijete dobije jednako mnogo šljiva. Zaposlenik je utvrdio da je to nemoguće, neovisno o tome koliko je djece prisutno. Kako je to moguće? 83 29 101 89 71 53 41 113 59 Može i aritmetički niz!

Idemo se igrati na domine. . . �standardnih 28 domina se mogu rasporediti u 7 × 4 magični pravokutnik u kojem je u svakom stupcu broj točkica 24, a u svakom retku 42 �s 25 domina koje ostanu kad maknemo (0 -5), (0 -6) i (1 -6) može se složiti magični kvadrat s magičnom sumom 30, i to na mnogo različitih načina �koja je najmanja/najveća moguća magična suma s 18 pločica raspoređenih u 6 × 3 pravokutnik? može li se postići magična suma 18?

Geomagični kvadrati �temeljna ideja: �brojevi �duljine dužina/površine/volumeni �retci, stupci, dijagonale �rastav na dužine/popločavanje http: //www. geomagicsquares. com/

Simetrije magičnih kvadrata 2 9 4 7 5 3 6 1 8 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 1 14 12 7 8 11 13 2 15 4 6 9 10 5 3 16 Franklinov kvadrat

�Mogu li se 6 magičnih kvadrata tipa 4× 4 rasporediti na strane kocke tako da su redovi koji se po bridovima dodiruju jednaki? 13 2 3 16 11 8 5 10 6 9 12 7 4 15 14 1 13 11 6 4 4 15 14 1 1 7 10 16 8 2 15 9 9 6 7 12 12 14 3 5 5 10 11 8 8 2 15 9 1 7 10 16 16 3 2 13 13 11 6 4 16 3 2 13 10 5 8 11 7 12 9 6 1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16

Magične kocke �Magična suma n(n 3+1)/2 �Izuzetak od magične sume su dijagonale slojeva �ako još i to: savršene magične kocke – ne postoje reda 2, 3, 4; reda 7 i 9 poznate od kraja 19. stoljeća, a 2003. su Boyer i Trump našli savršene magične kocke redova 5 i 6 http: //home. earthlink. net/~dwanecampbel/index. html http: //www. trump. de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1. html

Ne postoji savršena magična kocka reda 3 �pretpostavimo suprotno A B C X �odaberimo neki njen sloj D E F �magična suma je 42, dakle �C + X + D = A + X+ F = B + X + E = 42 �zbrojimo 3 X + A + B + C + D + E + F = 126 �A + B + C = D + E + F = 42 �zbrojimo A + B + C + D + E + F = 84 �stoga je 3 X = 42, tj. X = 14 bi trebao biti u sredini svakog sloja

Generiranje magičnih kocaka neparnog reda �dijagonalna metoda 13 8 10 24 22 9 11 12 23 7 27 2 3 14 25 26 1 15 21 5 16 17 19 6 4 18 20

Latinski kvadrati �n različitih objekata, po n kopija svakog, raspoređenih u kvadratnu tablicu tako da se svaki pojavljuje točno po jednom u svakom stupcu i retku �reda 2 ih ima 2, reda 3 ih ima 12, reda 4 ih ima 576, . . . �grčko-latinski (Eulerovi, ortogonalni latinski) kvadrati: još n različitih objekata s po n kopija svakog, u svakom polju po jedan objekt prve vrste i jedan druge, raspoređeni tako da objekti prve vrste čine latinski kvadrat, a tako i objekti druge vrste �Zadatak: složite Eulerov 4× 4 kvadrat od karata A, B, D, K u četiri boje!

�problem 8 topova �problem 8 kraljica �Problem s 36 oficira (1779. Leonhard Euler): �U šest brigada služi po šest oficira različitog ranga. Mogu li se oni rasporediti u kvadratnu formaciju tako da u svakom retku i stupcu bude po jedan oficir iz svake brigade i po jedan svakog ranga?

�Razreži trake u što manje dijelova, tako da se dobije magični kvadrat �Zabranjeno je izokretanje, tj. svi dijelovi moraju ležati u polaznoj orijentaciji 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 http: //www. mathfair. com/sudokutype. html

Sudoku �vrsta latinskih kvadrata �standardnih ima � 6, 670, 903, 752, 021, 072, 936, 960 = � 9! × 722 × 27, 704, 267, 971 �(Felgenhauer&Jarvis, 2005. ) http: //www. geometer. org/mathcircles/sudoku. pdf

Magično V i W Magično V: složi brojeve 1 do 5 u njega tako da oba kraka imaju isti zbroj! Koliko ima različitih mogućnosti? Primjećuješ li kakvu pravilnost u rješenjima koje si našao/la? Možeš li objasniti što vidiš? Možeš li me uvjeriti da si našao/la sva rješenja? Što ako uzmeš brojeve 2 do 6? 12 do 16? 37 do 41? 103 do 107? Što ako bi kraci bili za jedan dulji i koristimo brojeve 1 do 7? � 1, 2, . . . , 9, raspoređeni tako da dijelovi a-b-c, c-d-e, e-f-g i g-hi imaju jednak zbroj �Koji su magični zbrojevi mogući? �Ako u danom magičnom W svaki broj zamijenimo s 10 minus taj broj, ponovno ćemo dobiti magično W. Koji mu je magični zbroj? �Dokaži da ne postoji magično W s magičnim zbrojem manjim od 13 niti s većim od 17.

Magični fleksagoni http: //www. flexagon. net/

Magično svašta http: //www. recmath. com/Magic Squares/ http: //www. mathematische-basteleien. de/magquadrat. htm

I gdje je tome kraj? �u višim dimenzijama! �magična hiperkocka – konstruirana 1982. (Berlekamp) �magična suma je n(n 4 + 1)/2 �najmanja savršena magična hiperkocka je reda 16 (Hendricks, 1999. ) �poznate su n-dimenzionalne magične hiperkocke reda 3 za n = 5, 6, 7, 8

It’s a kind of magic. . . �http: //www. youtube. com/watch? v=KLFZz. In. XAWI Clifford A. Pickover: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton Univ. Press, 2002. ) Royal Vale Heath: Mathemagic (Dover Publ. , 1933. /53. ) Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics (Dover Publ. , 1958. )