POPISN DESKRIPTVNE CHARAKTERISTIKY POPISN DESKRIPTVNE CHARAKTERISTIKY s seln

POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY

POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY - sú číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou – jedným číslom – vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku (väčšinou sú použiteľné pre kvantitatívne štatistické znaky, len niektoré pre kvalitatívne štatistické znaky)

Popisné charakteristiky delíme na: 1. 2. 3. 4. charakteristiky polohy (úrovne) charakteristiky variability (premenlivosti) charakteristiky šikmosti (asymetrie) charakteristiky špicatosti (excesu)

1. Charakteristiky polohy Za rozhodujúcu vlastnosť štatistického znaku považujeme jeho polohu (úroveň alebo koncentráciu). Meria sa pomocou stredných hodnôt, ktoré charakterizujú polohu znaku jedným číslom, nachádzajúcim sa medzi minimálnou a maximálnou hodnotou znaku v súbore. Charakteristiky polohy sú čísla spĺňajúce tieto požiadavky: • musia byť jednoznačne, presne definované • pri ich výpočte sa berú do úvahy všetky jednotky štatistického súboru • v štatistickom súbore musia byť ľahko zistiteľné • ich vlastnosti umožňujú porovnanie stredných hodnôt za niekoľko súborov

Charakteristiky polohy delíme: 1. priemery - aritmetický - geometrický - harmonický každý môže byť jednoduchý alebo vážený 2. ostatné stredné hodnoty - modus - medián - kvantily

Priemery sú stredné hodnoty počítané zo všetkých údajov štatistického súboru, pričom poskytujú v koncentrovanej forme informácie o polohe hodnôt štatistického znaku. Najdôležitejšie sú priemer aritmetický, harmonický, geometrický a kvadratický

Aritmetický priemer ( napr. priemerná mzda, priemerná denná teplota, atď. ) jednoduchý aritmetický priemer vážený aritmetický priemer (triedené údaje)

Priemer predstavuje často rovnomernosť alebo normu, ktorá neexistuje. Keď v priemere každý zje hus, je možné, že niektorí zjedia dve, resp. viac, iní žiadnu. Preto je potrebné definovať vlastnosti priemeru.

Vlastnosti aritmetického priemeru: - stálosť súčtu hodnôt n. = - súčet odchýlok od priemeru sa rovná 0 - súčet štvorcov odchýlok od priemeru je minimálny pre

Aritmetický priemer nemá väčšinou žiadny odraz v skutočnosti. Príklad: Každá priemerná rodina má 2, 2 dieťaťa, našťastie to neznamená to, čo vidíme na obrázku.

Geometrický priemer- sa používa na spriemerovanie hodnôt štatistického znaku, medzi ktorými je multiplikatívny vzťah. jednoduchý vážený

Harmonický priemer sa používa vtedy ak je medzi hodnotami znaku a výsledným javom nepriamy vzťah, tj. váhy hodnôt znaku v štatistickom súbore sú dané nepriamo. jednoduchý harmonický priemer vypočítame: vážený harmonický priemer vypočítame:

2. Ostatné stredné hodnoty - sú také stredné hodnoty, ktoré v skúmaných štatistických súboroch zaujímajú charakteristickú polohu a ich veľkosť nezáleží od veľkosti všetkých hodnôt štatistického súboru, ale len od ich rozloženia v tomto súbore. Preto ich používame hlavne pri výskyte extrémnych hodnôt v skúmanom súbore. Medzi ostatné stredné hodnoty zaraďujeme modus, medián a kvantily.

Modus definujeme ako hodnotu skúmaného štatistického znaku, ktorá sa v súbore najčastejšie vyskytuje Podľa počtu vrcholov rozlišujeme jednovrcholové rozdelenie početností výskyt jedného modusu a viacvrcholové rozdelenie početností, výskyt viacerých modusov Modus vypočítame z radu rozdelenia početností ako hodnotu znaku s maximálnou absolútnou početnosťou, tj. :

z intervalového rozdelenia početností: kde a – dolná hranica modálneho, tj. najpočetnejšieho intervalu h – šírka modálneho intervalu d 0 – diferencia absolútnych početností modálneho intervalu a predchádzajúceho d 1– diferencia absolútnych početností modálneho intervalu a nasledujúceho

Medián definujeme ako prostrednú hodnotu usporiadaného štatistického súboru, ktorá ho rozdeľuje na dva početne rovnako veľké čiastkové súbory, pričom rovnaký počet štatistických jednotiek je menší ako medián a rovnaký počet štatistických jednotiek je väčší ako medián.

Pri výpočte mediánu je potrebné rozlišovať či má súbor párny alebo nepárny počet štatistických jednotiek. Poradie mediánového člena r v štatistickom súbore s nepárnym počtom štatistických jednotiek vypočítame: a medián

V štatistickom súbore s párnym počtom štatistických jednotiek určíme vždy poradie dvoch prostredných jednotiek r, r+1 pričom r vypočítame a medián :

Pri výpočte mediánu z intervalového rozdelenia početností musíme určiť mediánový interval, tj. interval v ktorom leží (v prípade že n je nepárne) resp. ležia (v prípade, že n je párne) prostredné hodnoty kde a – dolná hranica mediánového intervalu h – šírka mediánového intervalu b – absolútna početnosť mediánového intervalu c – súčet absolútnych početností všetkých intervalov za mediánovým intervalom d– súčet absolútnych početností všetkých intervalov pred mediánovým intervalom

Kvantil je hodnota, ktorá rozdeľuje usporiadaný súbor hodnôt určitého štatistického znaku na dve časti, jedna obsahuje hodnoty, ktoré sú menšie (alebo rovnaké) ako kvantil, druhá časť obsahuje hodnoty, ktoré sú väčšie (alebo rovnaké) ako kvantil. Polohu kvantilu v štatistickom súbore vyjadrujeme v percentách. Tak napríklad 50 % kvantil je medián. Medzi často používané kvantily patria kvartily, decily a percentily. Kvartily sú hodnoty, ktoré delia usporiadaný štatistický súbor na štyri časti, pričom každá z týchto častí obsahuje práve 25 % jednotiek. Kvartily sú tri. Dolný kvartil oddeľuje štvrtinu najnižších hodnôt znaku. Prostredný kvartil je pochopiteľne medián a horný kvartil , ktorý oddeľuje 75 % hodnôt znaku od zostávajúcich 25 % najvyšších hodnôt znaku. Podobne sú definované decily , ktoré delia usporiadaný súbor na desať rovnako početných častí. Percentily , delia usporiadaný súbor na 100 rovnako početných častí.

Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štat. súbore - symetrické rozdelenie _ ~ X=X= X - asymetrické rozdelenie ľavostranné ~ X< X< _ X pravostranné _ ~ X <X <X

2. Charakteristiky variabilita – menlivosť hodnôt znaku v štatistickom súbore miery variability: a) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňujú len niektoré hodnoty znaku v súbore - variačné rozpätie - kvantilové rozpätie - kvartilová odchýlka

b) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňuje každá hodnota znaku v súbore: absolútne – rozptyl jednoduchá forma vážená forma

Vlastnosti rozptylu: 1. Rozptyl konštánt sa rovná nule. 2. Rozptyl súčtu (rozdielu) nezávislých premenných sa rovná súčtu ich rozptylov. 3. Rozptyl je vždy menší ako priemer štvorcov odchýlok hodnôt znaku od ľubovolne zvolenej konštanty 4. Ak pripočítame ku všetkým hodnotám znaku konštantu, rozptyl sa nezmení. 5. Ak vynásobíme všetky hodnoty znaku konštantou, rozptyl sa zväčší o násobok štvorca tejto konštanty. 6. Na veľkosť rozptylu nemá vplyv, ak váhy v štatistickom súbore násobíme (delíme) ľubovoľnou konštantou.

-smerodajná (štandardná) odchýlka jednoduchá forma vážená forma - relatívne variačný koeficient resp. vo forme % Špeciálnym prípadom je situácia, keď sa aritmetický priemer rovná nule, kedy nie je možné variačný koeficient vypočítať ( delenie nulou je z matematického hľadiska neprípustné ).

Miery šikmosti sú založené na porovnaní stupňa koncentrácie malých hodnôt sledovaného štatistického znaku so stupňom koncentrácie veľkých hodnôt tohto znaku. Rovnaký stupeň hustoty malých a veľkých hodnôt sa prejavuje v symetrii tvaru rozdelenia početností. Väčší stupeň koncentrácie malých hodnôt v porovnaní s koncentráciou veľkých hodnôt sa prejaví zošikmením tvaru rozdelenia doľava (príslušná miera šikmosti je kladná). Naopak väčšia koncentrácia veľkých hodnôt v porovnaní s hustotou malých hodnôt sa prejaví spravidla zošikmením tvaru rozdelenia početností doprava (príslušná miera šikmosti je záporná).

a) Pearsonova miera šikmosti =0 symetrické rozdelenie >0 pozitívna asymetria 0 negatívna asymetria b) Koeficient šikmosti (stručne šikmosť) - jednoduchá forma - vážená forma 1 = 0 symetrické rozdelenie 1 > 0 pozitívna (ľavostranná) asymetria 1 < 0 negatívna (pravostranná) asymetria

1 > 0 1 = 0 1 < 0

Miery špicatosti sú založené na porovnávaní stupňa koncentrácie hodnôt prostrednej veľkosti so stupňom nahustenia ostatných hodnôt. Ak je podiel početnosti prostredných hodnôt porovnateľný s početnosťami ostatných, resp. všetkých hodnôt premennej, špicatosť sa prejavuje spravidla plochým tvarom rozdelenia početností, naopak väčší stupeň koncentrácie prostredných hodnôt v porovnaní s početnosťami všetkých ostatných hodnôt sa prejaví špicatým tvarom rozdelenia početností.

22 >> 00 2 = 0 2 < 0

- koeficient špicatosti - 2 bezrozmerné číslo 2 = 0 normálne rozdelenie 2 < 0 plochšie rozdelenie 2 > 0 špicatejšie rozdelenie - jednoduchá forma - vážená forma