Funkce Funkce je zobrazen z jedn seln mnoiny

Funkce • Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny: • K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak definiční obor. • Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvykle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda. gymjs. net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam. cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Funkce • Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, jsou různé! Různá zobrazení, liší se v definičních oborech 1 -1 1

Graf funkce • Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadného systému. 1 obor hodnot -1 definiční obor Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ). 1

Graf funkce y argument funkční hodnota Protože funkční hodnota funkce f(x) se obvykle značí písmenem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno-ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny. x Protože argument funkce f(x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v případě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny.

Graf funkce • Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině představuje funkci. Funkce zaznamenatelné do grafu Funkce, kterou nelze znamenat do grafu? Dirichletova funkce

Graf funkce • Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině představuje funkci. 1 0 Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení.

Operace s funkcemi • Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor. Definice 15. Buďte f a g funkce, Dfg = Df ∩ Dg neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí. Definice 16. Buďte f a g funkce, Hg je podmnožinou Df Složenou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.

Složené funkce • Příklady na složené funkce :

Vlastnosti funkcí Definice 16. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni Lichá funkce : f(x) = x 3 Sudá funkce : f(x) = x 2 -1

Vlastnosti funkcí Definice 17. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f. Periodická funkce : f(x) = x-[x] Periodická funkce : f(x) = sin(x) 1 -2π -π π 2π -1 p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1 p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Funkce se nazývá Definice 18. zdola omezená na množině M, platí-li Funkci nazveme shora omezená, platí-li Funkce omezená shora Funkce omezená zdola Funkce omezená shora i zdola -4π -2π 2π 4π

Vlastnosti funkcí f(x) = x 2 -1 omezená zdola na M = Df -1 +1 f(x) = x 2 -1 omezená shora na M = < -1, +1 > -1 f(x) = x 2 -1 omezená shora na M = < -2, +2 > -1 +1 +1

Vlastnosti funkcí f(x) = 1/x omezená zdola na M = (0, +∞) f(x) = 1/x omezená shora na M = (+∞, 0) +1 +1 +1 f(-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu!

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Říkáme, že funkce M maximum, platí li Definice 18. má na množině M v bodě a Funkce má na množině M v bodě a f(x) = x 2 -1 má minimum v a = 0 na M = Df M minimum, platí li f(x) = -x 2+5 x-1 má maximum v a = 2. 5 M = Df 2 -1 1 -1 2 3 4

Vlastnosti funkcí max max min min

Vlastnosti funkcí Definice 19. Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df. Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum). max max max min min min

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Říkáme, že funkce Definice 20. je na množině M rostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li respektive f(x 1) ≥ f(x 2), f(x 1) < f(x 2), f(x 1) > f(x 2). ostře rostoucí klesající ostře klesající

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df. Říkáme, že funkce je prostá, platí li Definice 4. NE – á st o pr ce nk fu e prostá funkc

Vlastnosti funkcí Definice 21. Buď f je prostá funkce, Df a Hf její definiční obor a obor hodnot. Funkci nazveme funkcí inverzní k f. prohodit osy

Vlastnosti funkcí Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle osy kvadrantů 1 a 3. Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá. Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je. Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.

y= 2 x +1 Vlastnosti funkcí 1 ½ = y -1 1 -1 ½ + x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y 0 změnou funkčního předpisu z y y 0 na y 0 x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x 0 změnou funkčního předpisu z y na x 0 x 0 x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změnou funkčního předpisu z y na x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změnou funkčního předpisu z y na x Pozn. : na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.

Shrnutí • Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé • Funkci určuje Df a přiřazení (funkční předpis) • Některé funkce lze zaznamenat do grafu • Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat • Definujeme funkci sudou a lichou • Definujeme funkci periodickou • Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou • Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a maxima • Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí • Definujeme funkci inverzní • Graf funkce lze snadno posunout či převrátit