Pendugaan Parameter Statistika Matematika II Semester Genap 20112012

Pendugaan Parameter Statistika Matematika II Semester Genap 2011/2012 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Pendugaan Parameter: sifat atau ciri populasi yang tidak diketahui nilainya. Sampel berukuran n yang berasal dari populasi dengan sebaran tertentu Statistik: Fungsi dari nilai pengamatan di dalam sampel tersebut, yang akan digunakan untuk menduga nilai Parameter 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Pendugaan Parameter • Bagaimana menduga parameter sehingga diperoleh penduga dengan sifat-sifat yang baik? Tak Bias: -Tepat -Mendekati nilai yang sebenarnya 12/12/2021 Ragam kecil: -Akurat -Nilai yang tidak jauh berbeda dari satu sampel ke sampel yang lain Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Metode Pendugaan Parameter • Metode Moment • Metode Maksimum Likelihood Keduanya bertujuan membentuk statistik: fungsi dari pengamatan dalam sampel Keduanya bertujuan untuk membentuk penduga dengan sifat-sifat yang baik 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Metode Moment Memanfaatkan definisi moment ke k dari peubah acak Y Moment ke k dari peubah acak Y Sampel berukuran n yang berasal dari populasi dengan sebaran yang ingin diduga nilai parameternya Definisi moment ke-k dari sampel adalah: 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Langkah-langkah pendugaan dengan metode moment 1. Memperoleh moment orde terendah yang mungkin, nyatakan moment tsb dalam parameter-parameter yang akan diduga: – moment fungsi dari parameter 2. Mencari inverse dari persamaan di langkah 1, sehingga diperoleh persamaan: – parameter fungsi dari moment 3. Menggunakan moment sampel pada semua moment yang digunakan di langkah 2 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh 1, Sebaran Poisson: Langkah 1 Moment pertama dari sebaran Poisson: Moment fungsi dari λ Langkah 2 Langkah 3 12/12/2021 Inverse dari fungsi di langkah 1 Gunakan moment sampel untuk pendugaan Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh 2, Sebaran Normal: Sebaran normal mempunyai dua parameter Langkah 1 Dibutuhkan moment pertama dan moment kedua dari sebaran normal Dari definisi ragam Moment fungsi dari parameter: 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Langkah 2 Langkah 3 12/12/2021 Inverse dari fungsi di langkah 1: parameter fungsi dari moment Gunakan moment sampel untuk pendugaan Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Data set II 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood) • Penentuan nilai duga parameter sedemikian: – Pada nilai duga tersebut data pengamatan paling mungkin terjadi • Digunakan fungsi likelihood Fungsi kepekatan gabungan dari seluruh nilai teramati peubah Y dalam sampel Fungsi kepekatan gabungan adalah fungsi dari peuban Y 12/12/2021 Untuk seluruh nilai teramati dalam sampel, fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter. Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Fungsi Likelihood Sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi yang menyebar dengan fungsi kepekatan peluang berikut ini: Jika diperoleh: Fungsi likelihood: 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

X 5 5. 5 6 3 6. 5 4 4. 5 3. 5 6 5 Likelihood 12/12/2021 f(x|5, 1) 0. 241970725 0. 129517596 0. 053990967 0. 241970725 0. 0175283 0. 39894228 0. 352065327 0. 053990967 0. 241970725 4. 63613 E-09 f(x|3, 1) 0. 053991 0. 017528 0. 004432 0. 398942 0. 000873 0. 241971 0. 129518 0. 352065 0. 004432 0. 053991 3. 86 E-15 ln f(x|5, 1) ln f(x|3, 1) -1. 41894 -2. 91894 -2. 04394 -4. 04394 -2. 91894 -5. 41894 -1. 41894 -0. 91894 -4. 04394 -7. 04394 -0. 91894 -1. 41894 -1. 04394 -2. 04394 -1. 04394 -2. 91894 -5. 41894 -1. 41894 -2. 91894 ln likelihood -19. 1894 -33. 1894 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Penduga Kemungkinan Maksimum θ yang mana yang membuat nilai teramati tsb paling mungkin terjadi? Untuk seluruh nilai teramati dalam sampel, fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter. θ yang mana memaksimumkan fungsi likelihood? Penduga kemungkinan maksimum: 12/12/2021 θ yang memaksimumkan fungsi likelihood Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh 3, Sebaran Poisson Secara bebas dan sama, iid Fungsilikelihood: 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Digunakan ln fungsi likelihood untuk melinierkan fungsi likelihood: λ yang memaksimumkan fungsi adalah solusi dari turunan pertama fs tsb thd λ yang disamadengankan nol: 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh 4, Sebaran Eksponensial Fungsi likelihood: Digunakan ln fungsi likelihood untuk melinierkan fungsi likelihood: 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

θ yang memaksimumkan fungsi adalah solusi dari turunan pertama fs tsb thd θ yang disamadengankan nol: Penduga kemungkinan maksimum bagi θ 12/12/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc