STATISTIKA MATEMATIKA Pertemuan 9 Ekspektasi Dua Peubah Acak

STATISTIKA MATEMATIKA Pertemuan 9 Ekspektasi Dua Peubah Acak Diskrit

A. Nilai Ekspektasi Gabungan Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p(x, y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari (X, Y) di (x, y), dan v(X, Y) adalah fungsi dari peubah acak X dan Y; maka nilai ekspektasi gabungan dari v(X, Y), dinotasikan dengan E[v(x, Y)], dirumuskan sebagai: Contoh 1: Misalkan fungsi peluang gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk: p(x, y) =(1/72) (x + 2 y) ; x = 0, 1, 2, 3 y = 0, 1, 2, 3 Hitung E(2 XY 2 – 1)

B. Ekspektasi Bersyarat Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p’(x|y) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y=y di x, dan p’’(y|x)) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X=x di y, maka nilai ekspektasi bersyarat dari u(X) diberikam Y=y dirumuskan sebagai berikut: Dan ekspektasi bersyarat dari v(Y) diberikan X=x dirumuskan sebagai berikut: Contoh: Misalkan fungsi peluang gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk: p(x, y) =(xy/18) ; x = 1, 2, 3 y = 1, 2 Hitung E(3 X|y= 1) dan E(2 Y 2| x = 1)

C. Rataan Bersyarat Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p’(x|y) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y=y di x, dan p’’(y|x)) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X=x di y, maka nilai rataan bersyarat dari X diberikam Y=y dirumuskan sebagai berikut: Dan rataan bersyarat dari Y diberikan X=x dirumuskan sebagai berikut: Contoh: Misalkan fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: p(x, y) = (1/72) (x+2 y); x = 0, 1, 2, 3 dan y = 0, 1, 2, 3 Hitung E(X|y=1) dan E(Y|x=2)

D. Perkalian Dua Momen Definisi : Perkalian Dua Momen Diskrit Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p(x, y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari (X, Y) di (x, y), µx adalah rataan dari X dan µy adalah rataan dari Y; maka perkalian dua momen sekitar pusat ke-r dan ke-s dari X, dan Y (dinotasikan dengan µ’r, s) dirumuskan sebagai berikut: Dan perkalian momen sekitar rataan ke-r dan ke-s dari X dan Y (dinotasikan dengan µr, s) dirumuskan sebagai berikut:

E. Kovarians Definisi 1: Kovarians Perkalian momen sekitar rataan ke-1 dari peubah acak X dan Y disebut kovarians dari X dan Y dan dinotasikan dengan Kov(X, Y) atau σxy, dengan Kov(X, Y) = E[(X - µx) (Y - µy)] Definisi 2: Kovarians Diskrit Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p(x, y) adalah fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: Perumusan Kovarians Umum Kov(X, Y) = µ’ 1, 1 - µx µy

F. Varians Bersyarat Definisi 1: Varians Bersyarat Umum Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu , maka varians bersyarat dari X diberikan Y=y didefinisikan sebagai: Var(X|y) = E[{X – E(X|y)}2|y] atau Var(X|y) = E(X 2|y) – [E(X|y)|y]2 Dan varians bersyarat dari Y diberikan X = x didefinisikan sebagai: Var(Y|x) = E[{Y – E(Y|x)}2|x] atau Var(Y|x) = E(Y 2|x) – [E(Y|x)|x]2 Definisi 2: Varians Bersyarat Diskrit Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, p’(x|y) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y=y di x, dan p’’(y|x) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X=x di y, maka varians bersyarat dari X diberikam Y=y dirumuskan sebagai berikut: Dan varians bersyarat dari Y diberikan X=x dirumuskan sebagai:

G. Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Definisi 1: Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Umum Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu , maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y (dinotasikan dengan M(t 1, t 2)) didefinisikan sebagai: M(t 1, t 2) = E[exp(t 1 X + t 2 Y)] untuk –h 1 < t 1 < h 1, -h 2 < t 2 < h 2, h 1 > 0, h 2 > 0 Definisi 2: Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Diskrit Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit dengan p(x, y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari X dan Y di (x, y), maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai: