Nov fyziklne zviera magnetick pole Pomocou testovacieho nboja

Nové fyzikálne zviera: magnetické pole Pomocou testovacieho náboja stojaceho v inerciálnej sústave zmeriame veľkosť elektrického poľa. Potom zmeriame v danom mieste silu pôsobiacu na náboj, ktorý má okamžitú rýchlosť . Ak sila pôsobiaca na pohybujúci sa náboj je iná než na stojaci, je tam nové zviera: magnetické pole. Ak ďalej vyšetrujeme veľkosť magnetickej sily v závislosti na smere a veľkosti rýchlosti testovacieho náboja, zistíme, že magnetické sa v každom bode priestoru dá charakterizovať istým vektorom a magnetická sila pôsobiaca na náboj s okamžitou rýchlosťou bude daná Lorentzovým vzťahom Vektor sa volá magnetická indukcia. 1

Porovnaj tieto dve Maxwellove rovnice 2

Cirkulácia vektorového poľa V priestore definujeme ľubovoľnú uzavretú krivku (nie nevyhnutne rovinnú) a na tej krivke vyberieme nejakú orientáciu obiehania (Predstavím si, že kráčam po krivke až sa vrátim do štartovacieho bodu, ale najprv si musím zvoliť ktorým smerom budem po krivke kráčať. ) Potom definujeme cirkuláciu vektorového poľa po tej krivke pri zvolenej orientácii obehu ako krivkový integrál 3

Stokesova veta Cirkulácia vektorového poľa je krivkový integrál pozdĺž uzavretej krivky. Stokesova veta hovorí, že cirkulácia sa tiež dá vypočítať ako plošný integrál po ploche ohraničenej tou uzavretou krivkou, pričom podintegrálnou funkciou toho plošného integrálu je tzv. rotácia vektorového poľa. Definujeme najprv formálny vektorový objekt a pomocou neho vytvoríme z ľubovoľného vektorového poľa nové vektorové pole, ktorá sa nazýva rotácia pôvodného vektorového poľa: 4

Stokesova veta potom hovorí 5

Majúc teraz k dispozícii Stokesovu vetu, doplníme si dôležitý poznatok o elektrickom poli Opakovanie: 6

Ak nie je prítomné časovo premenné magnetické pole, potom po každej uzavretej dráhe je cirkulácia intenzity elektrického poľa nulová. Podľa Stokesovej vety ale Dostávane tak ďalšiu Maxwellovu rovnicu, pravda, v špeciálnom prípade ak nie je prítomné časovo premenné magnetické pole: 7

Vráťme sa k magnetickému poľu a spýtajme sa: Ako sa dá vytvoriť magnetické pole? Nebudeme sa zaoberať magnetickými materiálmi. Budeme uvažovať prázdny priestor a v ňom rozmiestnené (prípadne sa pohybujúce elektrické náboje) alebo vodiče prúdu z nemagnetických materiálov. V okolí vodičov elektrického prúdu sa vytvorí magnetické pole. 8

Na ľavej strane použijeme Stokesovu vetu Na pravej strane vyjadríme celkový prúd pretekajúci cez plochu pomocou hustoty elektrického prúdu 9

Magnetické pole dlhého solenoidu 10

Máme teda novú hypotézu, že Maxwellova rovnica by mohla byť 11

Takže máme návrh (definitívny) na ďalšiu Maxwellovu rovnicu Všimnime si, že na tričku je to dajako inak. My tam máme na tričku je namiesto toho akési Nuž, je to len dopredu prezradené prekvapenie, ktoré nás čaká. 12

Na tričku je ešte rovnica pre rotáciu elektrického poľa, ktorá vyzerá inak, ako sme ju doteraz písali, teda ako 13

Pripomeňme si to: Ak nie je prítomné časovo premenné magnetické pole, potom po každej uzavretej dráhe je cirkulácia intenzity elektrického poľa nulová. Podľa Stokesovej vety ale Dostávane tak ďalšiu Maxwellovu rovnicu, pravda, v špeciálnom prípade ak nie je prítomné časovo premenné magnetické pole:

Pokus: elektromagnetická indukcia Magnetické pole v cievke sa musí meniť, aby tiekol prúd. Pri zosilňovaní magnetického poľa tečie prúd jedným smerom, pri zoslabovaní opačným smerom. Hlavnú zásluhu na preskúmaní javu elektromagnetickej indukcie má Michael Faraday (1831) 15

Pokus: elektromagnetická indukcia Vo vodivej obruči tečie indukovaný prúd. Ten prúd vytvára vlastné magnetické pole. Aký smer má pole vytvorené prúdom v obruči? 16

Pokus: elektromagnetická indukcia Vo vodivej obruči tečie indukovaný prúd. Ten prúd vytvára vlastné magnetické pole. Aký smer má pole vytvorené prúdom v obruči? 17

Pokus: elektromagnetická indukcia Vo vodivej obruči tečie indukovaný prúd. Ten prúd vytvára vlastné magnetické pole. Magnetické pole vytvorené indukovaným prúdom je nakreslené zeleno. Pri postupnom zosilňovaní externého poľa má smer proti externému poľu. Pri zoslabovaní externého poľa má indukované pole rovnaký smer ako externé pole. 18

Pokus: elektromagnetická indukcia Lenzovo pravidlo: Indukovaný prúd má taký smer, že svojimi magnetickými účinkami „sa snaží“ zabrániť zmene, ktorá ho vyvolala. Teda pri zosilňujúcom sa externom poli sa snaží ho zoslabiť, pri zoslabujúcom sa sa externom poli sa snaží ho zosilniť. 19

Obruč má elektrický odpor. Prúd tečúci obručou v nej vyvoláva Joulovo teplo. Kto to platí? Niekto musí konať prácu a hnať elektróny dookola. Hypotéza: v obruči vzniká elektrické pole, ktoré má smer prúdu. To pole je nenulové len ak sa magnetické pole mení, teda ak Problém: elektróny behajú dookola, situácia je cylindricky symetrická, teda elektrické pole je pozdĺž celej obruče rovnako veľké a má smer dotyčnice k obruči. Teda cirkulácia elektrického poľa po uzavretej krivke je nenulová , čo znamená podľa Stokesovej vety 20

Máme teda experimentálne tvrdenie. Ak potom v takom mieste Musíme teda modifikovať Maxwellovu rovnicu pre prípad časovo premenného magnetického poľa. Sformulujme hypotézu: Skúsme jednotky: na ľavej strane máme Na ľavej strane zatiaľ máme Teda presne to isté ako naľavo. Nepotrebujeme teda žiadnu ďalšiu „jednotky prispôsobujúcu fundamentálnu konštantu“. 21

Skúsime teda napísať Maxwellovu rovnicu takto Znamienko musíme premyslieť osobitne, aby vyšiel správne Lenzov zákon. Využijúc Stokesovu vetu môžeme overiť, že správne je záporné znamienko, a potrebujeme namerať veľkosť prúdu aby sme overili, že aj veľkosť indukovanej elektrickej intenzity súhlasí s tým vzorcom. Maxwellova rovnica teda bude 22

Maxwellove rovnice elektromagnetického poľa 23

Ako funguje Faradayovská elektráreň Už sme preskúmali absurdnú kondenzátorovú elektráreň, trochu menej absurdnú elektráreň s chemickou batériou, povedzme si niečo principiálne o najviac používanej elektrárni s generátorom na báze elektromagnetickej indukcie. V elektrárni je závit (cievka) a šikovný trpaslík, ktorý striedavo zasúva a vysúva zo závitu magnet. Takže cez plochu závitu tečie časovo premenné magnetické pole. Závit, drôt k spotrebiču, spotrebič a drôt späť do elektrárne tvoria uzavretú krivku. Cirkulácia elektrického poľa pozdĺž tej krivky je nenulová, podľa Stokesovej vety Napravo je integrál cez plochu závitu (mimo závitu je magnetické pole nulové). Všetky elektróny sa vrátia do elektrárne, vykonajú uzavretú 24 dráhu. Napriek tomu elektrické pole vykoná nenulovú prácu.

Ako funguje Faradayovská elektráreň Všetky elektróny sa vrátia do elektrárne, vykonajú uzavretú dráhu. Napriek tomu elektrické pole vykoná nenulovú prácu. Preto mi elektráreň posiela účet. Čo urobí elektráreň s peniazmi? Zaplatí toho trpaslíka. Elektrické pole totiž nevykoná tú prácu zadarmo, to by bolo perpetuum mobile. Poľu niekto musí dopĺňať energiu. Ten trpaslík konaním práce. Magnet sa totiž nedá zasúvať a vysúvať len tak. Treba pôsobiť silou. Prečo? Lebo indukovaný prúd vytvára v závite magnetické pole a to podľa Lenzovho pravidla pôsobí na magnet takou silou, ktorá bráni zasúvaniu pri zasúvaní (teda odpudivá) a vysúvaniu pri vysúvaní (teda príťažlivá). 25

26

27

V naozajstnej elektrárni nie je trpaslík. Magnety (elektromagnety) tam v generátoroch rotujú v blízkosti cievok, čím sa k cievkam striedavo približujú a zase od nich vzďaľujú. Tým vzniká indukovaný prúd, ktorý u mňa doma koná prácu. Aby sa magnety neprestali točiť v dôsledku Lenzovho pravidla, musí niekto konať prácu na udržanie otáčok magnetov. Napríklad voda vo vodnej turbíne Gabčíkovskej elektrárne. Voda koná prácu, roztáča turbínu, tá je na jednej osi s elektromagnetmi v generátore a "tak sa to predsa len točí". 28

Samoindukcia Videli sme, že vo vodiči, v blízkosti ktorého sa nachádza časovo premenné magnetické pole vyvolané externými zdrojmi, sa indukuje elektrické pole. Ten jav sa volá elektromagnetická indukcia. To časovo premenné pole nemusí byť vo vzťahu k vodiču, v ktorom sa indukuje elektrické pole "externé". Ak vodičom prechádza prúd, vytvára sa v jeho okolí magnetické pole. Ak sa ten prúd bude s časom meniť, bude sa s časom meniť aj vytvorené magnetické pole. Časovo premenné magneticé pole indukuje v tom samom vodiči "dodatočné" elektrické pole. 29 Javu sa hovorí samoindukcia.

Magnetické pole vytvorené vodičom prúdu 30

Smer magnetického poľa, vytvoreného cievkou 31

Samoindukcia Uvažujme obvod na obr. Pred zapnutím batérie prúd obvodom netečie, nakoniec nejaký prúd bude tiecť, takže prinajmenej tesne po zapnutí prúd v obvode nebude konštantný a teda nebude časovo konštantné ani magnetické pole v cievke. Pri meniacom sa poli očakávame že nastane samoindukcia. 32

Samoindukcia Vypočítajme cirkuláciu elektrického poľa pozdĺž červeno znázornenej uzavretej krivky. Krivka sleduje vnútro vodiča vytvárajúceho cievku, prívodné vodiče k cievke a prechádza vnútrom batérie aj vnútrom rezistora. Platí Maxwellova integrálna rovnica Krivku obiehame v rovnakom smere ako ide prúd. Pre jednoduchosť si predstavme len jeden závit. Potom smer vektora a vektora je rovnaký. Stokesova veta ----> <-------Smer mag. poľa 33

Pripomienka Stokesova veta hovorí 34

Samoindukcia Vypočítajme cirkuláciu elektrického pola pozdĺž červeno znázornenej uzavretej krivky. Krivka sleduje vnútro vodiča vytvárajúceho cievku, prívodné vodiče k cievke a prechádza vnútrom batérie aj vnútrom rezistora. Platí Maxwellova integrálna rovnica kontúr obiehame v rovnakom smere ako ide prúd. Pre jednoduchosť si predstavme len jeden závit. Potom smer vektora a vektora je rovnaký. 35

Samoindukcia Vypočítajme cirkuláciu elektrického pola pozdĺž červeno znázornenej uzavretej krivky. Krivka sleduje vnútro vodiča vytvárajúceho cievku, prívodné vodiče k cievke a prechádza vnútrom batérie aj vnútrom rezistora. Platí Maxwellova integrálna rovnica kontúr obiehame v rovnakom smere ako ide prúd. Pre jednoduchosť si predstavme len jeden závit. Potom smer vektora a vektora je rovnaký. Ak prúd v slučke rastie, potom práca, ktorú vykoná indukované elektrické pole pri pohybe náboja, ktorý ten prúd vytvára, je záporná, teda indukované elektrické pole znižuje energiu pohybu elektrónov, teda snaží sa prúd zmenšiť. To je práve Lenzovo pravidlo. Indukované elektrické pole pri narastajúcom prúde pôsobí proti 36 napätiu batérie.

Samoindukcia Už vieme aký smer má samoindukované elektrické pole. Ak prúd rastie pôsobí proti batérii, ak prúd klesá, pomáha batérii. Samoindukované elektrické pole teda funguje v elektrickom obvode akoby prídavné napätie. Jeho smer poznáme, ešte treba vypočítať jeho veľkosť. Ľavá strana rovnice je to "prídavné napätie", treba určiť veľkosť pravej strany, teda časovú zmenu toku magnetického poľa cez plochu ohraničenú 37 vodičom.

Samoindukcia Krivka ohraničená vodičom je na ľavom obrázku naznačená červeno. Krivka sleduje vodič vytvárajúci cievku, prívodné vodiče k cievke a prechádza vnútrom batérie aj vnútrom rezistora. Ťažké je uvedomiť si ako vyzerá plocha ohraničená tou krivkou. Pre jeden závit je to jednoduché (obrázok v strede). Príklad plochy pre solenoid s dvoma závitmi je na obrázku vpravo. Ide len o jednu spojitú plochu, tri jej rôzne časti sú vyfarbené rôznymi farbami pre zlepšenie 3 D vnemu. Z pravého obrázku je zrejmé, že vlastné magnetické pole vodiča "prepichuje" plochu ohraničenú vodičom 2 -krát. Pri N závitoch prepichuje pole plochu N-krát. 38

Plocha ohraničená vodičom dvojzávitového solenoidu 39

Samoindukcia Krivka ohraničená vodičom je na ľavom obrázku naznačená červeno. Krivka sleduje vodič vytvárajúci cievku, prívodné vodiče k cievke a prechádza vnútrom batérie aj vnútrom rezistora. Ťažké je uvedomiť si ako vyzerá plocha ohraničená tou krivkou. Pre jeden závit je to jednoduché (obrázok v strede). Príklad plochy pre solenoid s dvoma závitmi je na obrázku vpravo. Ide len o jednu spojitú plochu, tri jej rôzne časti sú vyfarbené rôznymi farbami pre zlepšenie 3 D vnemu. Z pravého obrázku je zrejmé, že vlastné magnetické pole vodiča "prepichuje" plochu ohraničenú vodičom 2 -krát. Pri N závitoch prepichuje pole plochu N-krát. 40

Pripomienka Magnetické pole dlhého solenoidu 41

Samoindukcia 42

Dostávame teda Indukované "prídavné napätie" má teda veľkosť a jeho smer je určený Lenzovým pravidlom "pôsobiť proti zmene, ktorá ho vyvolala". Teda pri klesajúcom prúde cievkou prídavné napätie prúd zosilňuje, pri rastúcom prúde ho zoslabuje. Jednotkou indukčnosti je Henry (H), z predchádzajúceho vzťahu pre jednotky dostaneme V = H A/s, teda H = V s/A jednotka je to veľká, indukčnosti používané v elektronike sú typicky od 43 n. H (pre vysoké frekvencie) do 100 m. H.

44

Indukčnosť v elektrickom obvode • zvolím si smer prúdu obvodom ľubovoľne. Ak mi nakoniec vyjde jeho hodnota záporná, znamená to, že tečie v skutočnosti opačne • Nakreslím napätia na všetkých súčiastkach • na batérii šípka napätia smeruje od kladného pólu k zápornému • na odporoch, cievkach a kondenzátoroch nakreslím šípku napätia v smere, ktorým predpokladane prechádza súčiastkou prúd 45

Indukčnosť v elektrickom obvode • zvolím si smer prúdu obvodom ľubovoľne. Ak mi nakoniec vyjde jeho hodnota záporná, znamená to, že tečie v skutočnosti opačne • Nakreslím napätia na všetkých súčiastkach • na batérii šípka napätia smeruje od kladného pólu k zápornému • na odporoch, cievkach a kondenzátoroch nakreslím šípku napätia v smere, ktorým predpokladane prechádza súčiastkou prúd • Zvolím smer obiehania obvodu pre zostavenie rovnice pre napätia 46

Indukčnosť v elektrickom obvode • Obieham obvod v zvolenom smere a zapisujem postupne napätia, okolo ktorých prechádzam. Ak napätie je nakreslené v smere obiehania použijem znamienko +, ak je nakreslené proti smeru obiehania, použijem znamienko – • Nahradím napätia na odpore podľa Ohmovho zákona, na cievke podľa Faradayovho zákona 47

Indukčnosť v elektrickom obvode Skontrolujme ešte, či tento postup dáva správne znamienko „prídavného napätia“ samoindukovaného cievkou. Ak prúd rastie, prídavné napätie ako sme ho napísali bude kladné a bude mať smer k nemu nakreslenej šípky. Zjavne pôsobí „proti snahám batérie“ a teda bude sa snažiť zmenšovať prúd pretláčaný batériou. To je OK. Ak by prúd klesal, bude nami napísané „prídavné napätie“ záporné. Bude mať smer opačný ako nakreslená šípka a bude teda „pomáhať batérii“ pretláčať prúd, teda snažiť sa ho zväčšovať. To je znovu OK. 48

Indukčnosť v elektrickom obvode POZOR! V učebniciach sa niekedy málo starostlivo píše, že indukované napätie je a ešte sa dodáva, že znamienko – stelesňuje Lenzovo pravidlo. Je to síce pravda, ale v inom kontexte. Aj my sme mali vzorec, ktorý správne vyjadruje cirkuláciu elektrického poľa, to je ale niečo iné, než ukazuje voltmeter na nasledovnom obrázku 49

Indukčnosť v elektrickom obvode Voltmeter pripojený svojou „plus“ svorkou hore ukáže napätie Rovnicu (1) ktorá hovorí, že „súčet napätí pozdĺž uzavretého obvodu je nula“ vlastne píšeme pre obvod „batéria, rezistor, voltmeter a späť do batérie“. Tam totiž nie je magnetické pole a cirkulácia elektrického poľa je nulová. Voltmeter je ale pripojený k cievke, tam magnetické pole je a čo vlastne voltmeter ukazuje, to je treba si veľmi rozmyslieť. 50

Indukčnosť v elektrickom obvode Ak voltmeter je pripojený svojou „plus“ svorkou hore potom to čo ukazuje je hodnota (dráha ide vnútrom voltmetra) Vieme, že v malom obvode „voltmeter-cievka“ obiehanom v smere prúdu platí Vnútri vodiča cievky je ale nulové elektrické pole podľa Ohmovho zákona, pretože vodič cievky má nulový odpor. Preto celá cirkulácia sa realizuje vnútri voltmetra, teda (vzhľadom na opačný smer obehu) 51