CO TO JEST POLE FIGURY A B C
CO TO JEST POLE FIGURY ? A B C Rysunek przedstawia plan trzech działek. Łatwo zauważyć, że działka A jest najmniejsza. Natomiast aby porównać wielkość działek B i C należy wypełnić je jednakowymi figurami tzw. jednostkowymi.
CO TO JEST POLE FIGURY ? A B C Figura C zawiera 17 kwadratów, zatem ma większą powierzchnię niż figura B, która ma 16 kwadratów.
CO TO JEST POLE FIGURY ? Figura obok składa się z 10 jednakowych trójkątów, więc jej pole wyrażone za pomocą tych trójkątów wynosi 10 jednostek.
Powszechnie stosowanymi jednostkami pola są : v milimetr kwadratowy (mm 2) v centymetr kwadratowy (cm 2) 1 cm 1 cm v decymetr kwadratowy (dm 2) v metr kwadratowy (m 2) v kilometr kwadratowy (km 2) 2 Ogrody, place, działki rolne i większe obszary mierzymy w arach (a) i hektarach (ha). Są to gruntowe jednostki pola.
Zależności między jednostkami pola wynikają z zależności między jednostkami długości : 1 cm = 10 mm 1 m = 100 cm 1 cm 2 =100 mm 2 1 m 2 = 10000 cm 2 10· 10 100· 100
1 ar to pole kwadratu o boku 10 m, zatem 1 a = 100 m 2 1 hektar to pole kwadratu o boku 100 m, zatem 1 ha =10000 m 2 1 ha = 100 a 1 cm 2 = 100 mm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 = 10000 mm 2 1 m 2=100 dm 2 = 10000 cm 2 = 1000000 mm 2 1 km 2 =100 ha =10000 a = 1000000 m 2
Prostokąt o wymiarach 3 cm i 4 cm dzielimy na kwadraty o boku 1 cm. Mamy więc 3 rzędy po 4 kwadraty, każdy o polu 1 cm 2. 3· 4=12 więc P = 12 cm 2 Pole prostokąta obliczamy mnożąc długość przez szerokość tego prostokąta.
b a WZÓR NA POLE PROSTOKĄTA : P = a ·b a, b – długości boków prostokąta
a a Ponieważ kwadrat jest prostokątem, jego pole obliczamy w ten sam sposób. Wzór na pole kwadratu : P=a·a gdzie a oznacza długość boku kwadratu Inna postać wzoru : P = a 2
a h h a Gdyby rozciąć równoległobok wzdłuż wysokości to z otrzymanych części można ułożyć prostokąt. Pole równoległoboku jest równe polu otrzymanego prostokąta.
h a Obliczając pole równoległoboku korzystamy ze wzoru : P=a·h a – długość boku (podstawy) b – długość wysokości poprowadzonej do tego boku
Pole rombu możemy obliczyć dwoma sposobami : 1. Ponieważ romb jest równoległobokiem, więc jego pole można obliczyć tak jak pole równoległoboku : h a P=a·h a – długość podstawy h – długość wysokości poprowadzonej do tej podstawy
2. Dane są dwie przekątne rombu. Mając dwa jednakowe romby o przekątnych e i f, można z nich ułożyć prostokąt o bokach e i f. e e f f Prostokąt składa się z dwóch rombów, więc jego pole jest dwa razy większe niż pole każdego z tych rombów. Zatem pole rombu jest równe połowie pola prostokąta. Stąd : P=½·e·f P – pole rombu e, f – długości przekątnych rombu
Z dwóch jednakowych trójkątów o podstawie a i wysokości h opuszczonej na tę podstawę, można zbudować równoległobok o podstawie a i wysokości h. a h a Pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole trójkąta, zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku o podstawie a i wysokości h.
h a Wzór na pole trójkąta : P=½·a·h a – długość podstawy h – długość wysokości opuszczonej na podstawę a
b a Ponieważ wysokością dla podstawy a jest przyprostokątna b i odwrotnie, pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego przyprostokątnych. P=½·a·b a, b – długości przyprostokątnych
Z dwóch jednakowych trapezów o podstawach długości a i b oraz wysokości h można ułożyć równoległobok o wymiarach – podstawa a+b i wysokość h. b h b a a b h a Równoległobok składa się z dwóch trapezów zatem jego pole jest dwa razy większe niż pole każdego z trapezów. Stąd pole trapezu jest równe połowie pola równoległoboku o wymiarach a+b i h.
b h a P = ½ · (a + b) · h P – pole trapezu a, b – długości podstaw h – długość wysokości
e D A C S f B Przekątne deltoidu to odcinki |AC|=e i |BD|=f. Deltoid można podzielić na dwa trójkąty : ACD i ACB. Zatem pole deltoidu będzie sumą pól tych trójkątów. PACD= ½· e ·|DS| PACB= ½ ·e ·|SB| PABCD= ½ ·e ·|DS| + ½· e·|SB| =½· e ·(|DS| + |SB|) = ½ ·e · f Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
e f Wzór na pole deltoidu : P=½·e·f e, f –długości przekątnych deltoidu
Pole figury, do której nie da się zastosować żadnego z podanych wzorów można obliczyć na dwa sposoby : 1. Dzielimy figurę na mniejsze części. Pole czworokąta będzie równe sumie pól trapezu i trójkąta.
Uzupełniamy figurę tak, aby otrzymać prostokąt i trójkąty. Aby obliczyć pole czworokąta należy od pola prostokąta odjąć pola dwóch trójkątów.
Pola wielokątów - podsumowanie Pole prostokąta : P = a · b Pole kwadratu : P = a 2 Pole równoległoboku : P = a · h Pole rombu : P = a · h lub P = ½ · e · f Pole trójkąta : P = ½ · a· h Pole trapezu : P = ½ · (a+b) · h Korzystając z tych wzorów można obliczać pola innych wielokątów. UWAGA – przy obliczaniu pól figur należy pamiętać, aby wszystkie potrzebne wymiary podane były w tych samych jednostkach.
Powyższa prezentacja opracowana została na podstawie podręcznika: „Mogę zostać Pitagorasem”. Dany fragment prezentacji może być wprowadzeniem do nowej lekcji w kl. IV lub V, albo przypomnieniem wiadomości w kl. VI. Znak ten zwraca uwagę na pojawiający się wzór na obliczanie pola danej figury.
- Slides: 25