Nona Edio MEC NICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS CAPTULO

Nona Edição MEC NICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: CAPÍTULO 2 ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Estática das Partículas Notas de Aula: J. Walt Oler Texas Tech University © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Conteúdo Introdução Resultante de Duas Forças Vetores Adição de Vetores Resultante de Várias Forças Concorrentes Problema Resolvido 2. 1 Problema Resolvido 2. 2 Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários Adição de Forças pela Soma dos Componentes Problema Resolvido 2. 3 Equilíbrio de uma Partícula Diagramas de Corpo Livre Problema Resolvido 2. 4 Problema Resolvido 2. 6 Componentes Retangulares no Espaço Problema Resolvido 2. 7 © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -2

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Introdução • O objetivo desta parte é analisar o efeito de forças que atuam sobre partículas: - substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma única força equivalente ou resultante, - analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula que está em estado de equilíbrio. • O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos. Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -3

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Resultante de Duas Forças • Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido. • Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força resultante. • A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes. • Força é uma grandeza vetorial. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -4

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Vetores • Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações. • Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura. • Classificações de vetores: - Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema. • Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido. • O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -5

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Adição de Vetores • Regra do paralelogramo para soma de vetores • Regra do triângulo para soma de vetores • Lei dos cossenos, C B C • Lei dos senos, B • A adição de vetores é comutativa, • Subtração de vetores © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -6

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Adição de Vetores • Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo. • Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores. • A adição de vetores é associativa, • Multiplicação de um vetor por um escalar. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -7

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Resultante de Várias Forças Concorrentes • Forças concorrentes: conjunto de forças que passam por um mesmo ponto. Um conjunto de forças concorrentes aplicadas em uma partícula pode ser substituído por uma única força resultante que é o vetor equivalente à soma das forças aplicadas. • Componentes do vetor força: dois ou mais vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que um único vetor. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -8

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 1 SOLUÇÃO: • Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmas direções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo. As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante. • Solução trigonométrica – usamos a regra do triângulo para soma de vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P e Q. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 -9

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 1 • Solução gráfica - Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (diagonal do paralelogramo) são medidos, • Solução gráfica – Um triângulo é desenhado com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 10

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 1 • Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do triângulo. B= 180 o– 25 o=155 o. Pela lei dos cossenos, Pela lei dos senos, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 11

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 2 SOLUÇÃO: • Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça comprimento proporcional a 22. 250 N. Uma barcaça é puxada por dois • Obtemos uma solução trigonométrica rebocadores. Se a resultante das aplicando a Regra do Triângulo para soma forças exercidas pelos rebocadores vetorial. Com a intensidade e a direção da é 22. 250 N dirigida ao longo do resultante conhecida e as direções dos eixo da barcaça, determine: outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para a) A força de tração em cada um encontrar as trações nos cabos. dos cabos para a = 45 o, • O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é b) O valor de a para o qual a tração determinado aplicando-se a Regra do Triânno cabo 2 é mínima. gulo e observando o efeito de variações em a. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 12

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 2 • Solução gráfica – Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados • Solução trigonométrica - Regra do triângulo e Lei dos Senos © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 13

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 2 • O ângulo para tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações em a. • A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T 1 e T 2 são perpendiculares © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 14

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários • Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é um retângulo. são chamados de componentes retangulares e • Definimos então os vetores unitários perpendiculares que são paralelos aos eixos x e y. • Os componentes de um vetor podem ser expressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor. Fx e Fy são chamados de componentes escalares de © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. . 2 - 15

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Adição de Forças pela Soma dos Componentes • Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes, • Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares • Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas. • Para encontrar a intensidade e a direção da resultante, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 16

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 3 SOLUÇÃO: • Decompomos cada força em componentes retangulares. • Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso. • Calculamos a intensidade e a direção da resultante. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 17

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 3 SOLUÇÃO: • Decompomos cada força em componentes retangulares. • Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. • Calculamos a intensidade e a direção da resultante. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 18

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Equilíbrio de uma Partícula • Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio. • Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta. • Para uma partícula em equilí- • Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças: brio sob a ação de duas forças, - a solução gráfica gera um polígono fechado ambas as forças devem ter: - solução algébrica: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 19

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Diagramas de Corpo Livre Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema. Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 20

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 4 SOLUÇÃO: • Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo. • Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula. Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de 15. 750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda? • Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 21

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 4 SOLUÇÃO: • Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula A. • Aplicamos as condições de equilíbrio. • Calculamos as intensidades das forças desconhecidas. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 22

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 6 SOLUÇÃO: • Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. • Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma • Decompomos a equação vetorial de dada velocidade. Um modelo é equilíbrio em duas equações para as colocado em um canal de teste e são componentes. Resolvemos para as usados três cabos para alinhar sua proa trações desconhecidas nos dois cabos. com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 23

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 6 SOLUÇÃO: • Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. • Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 24

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 6 • Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 25

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 6 Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual a zero. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 26

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Componentes Retangulares no Espaço • O vetor está contido no plano OBAC. • Decompomos em uma componente horizontal e outra vertical © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. • Decompomos em componentes retangulares 2 - 27

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Componentes Retangulares no Espaço • Com os ângulos entre • e os eixos x, y e z temos, é um vetor unitário ao longo da linha de ação de e são os cossenos que orientam a linha de ação de. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 28

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Componentes Retangulares no Espaço A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos, em sua linha de ação. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 29

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 7 SOLUÇÃO: • Considerando a posição relativa dos pontos A e B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B. • Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A. • Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que A tração no cabo de sustentação da torre orientam a direção do vetor, calculamos é 2500 N. Determine: os ângulos correspondentes. a) os componentes Fx, Fy e Fz da força que atua no parafuso em A, b) os ângulos qx, qy e qz que definem a direção da força. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 30

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 7 SOLUÇÃO: • Determinamos o vetor unitário orientado de A para B. • Determinamos os componentes da força. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 31

Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 2. 7 • Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção da força, calculamos os ângulos correspondentes. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 32

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