Nmeros Complexos Definio Um nmero complexo z pode

Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número real x; (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y.

(3) (x 1, y 1) = (x 2, y 2) Se z 1 = (x 1, y 1) e <=> x 1 = x 2 e y 1 = y 2 z 2 = (x 2, y 2) então (4) z 1 + z 2 = (x 1+ x 2 , y 1 + y 2) = (x 1, y 1) + (x 2, y 2) (5) z 1 z 2 = (x 1 y 1) * (x 2 y 2) = (x 1 x 2 - y 1 y 2, x 1 y 2 +x 2 y 1) (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x 1+ y 1 i) x (x 2+ y 2 i) = x 1 x 2 - y 1 y 2 + (x 1 y 2 +x 2 y 1)i

Exemplo: Dados os números z 1 = (2, 1) e z 2 = (3, 0) Calcular z 1 + z 2 , z 1 * z 2 e z 12 Solução: z 1 + z 2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z 1 *z 2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2 x 0+3 x 1) = (6, 3) z 12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2 x 1+2 x 1) = (3, 4)

2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z 1 - z 2 = z 3 z 1 =z 2 + z 3 ou (x 2 , y 2) + (x 3 , y 3) = (x 1 , y 1) Assim, z 1 - z 2 = (x 1 - x 2, y 1 - y 2) = (x 1 - x 2) + (y 1 - y 2)i Divisão (inversa da multiplicação) (z 1 / z 2) = z 3 se z 1 = z 2*z 3, (z 2 0) (x 2 x 3 - y 2 y 3 , x 2 y 3 + x 3 y 2) = (x 1 , y 1) ou

Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x 3, y 3, temos: z 1/ z 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2)/ (x 22 +y 22 ) + (x 2 y 1 - x 1 y 2)i / (x 22 +y 22 ), z 2 0. Assim z 1/ z 2 = z 1(1/ z 2), 1/(z 2 z 3) = (1/z 2) (1/z 3), ( z 2 0 z 3 0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3 i)(1+2 i) / (2 -i)] + 2 i = [(-1 - 6+i) / (2 - i) ]+ 2 i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2 i = [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2 i = -3 +i

Leis para adição e subtração: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (comutativa) b) z 1 + (z 2 + z 3) = (z 1 + z 2)+ z 3 (associativa) c) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3 (associativa) d) z 1 (z 2 + z 3) = z 1 z 2+ z 1 z 3 (distributiva)

3 - Representação gráfica Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

4 - Conjugados complexos Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z 1 = (x 1, y 1) e z 2 = (x 2, y 2), então ------z 1 + z 2 = x 1+ x 2 - (y 1 + y 2)i = (x 1 - y 1 i) + (x 2 - y 2 i) = z-- + z-1 2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados.

E também valem: _____ __ __ z 1 - z 2 = z 1 - z 2 ____ z 1 z 2 = z 1 z 2 __ __ ____ (z 1 / z 2) = z 1 / z 2 e ainda: _ z + z = 2 x = 2 R(z) -- a soma de um complexo com o seu __ conjugado é um real; _ z - z = 2 yi = 2 I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; Usando conjugado, pode-se fazer a divisão de dois complexos multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado.

5 - Valores absolutos Se x e y são reais, chama-se valor absoluto ou módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo Assim, Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2 e as condições |z| |R(z)| R(z) e que _ zz = x 2 + y 2 = |z|2 |z 1 / z 2| = |z 1| / | z 2|, e as desigualdades |z 1 + z 2| |z 1| + | z 2| |z 1 - z 2| | |z 1| - | z 2| | e |z| |I(z)| I(z) __ |z| = |z| |z 1 z 2| = |z 1| | z 2 0

Exemplo: Dados os complexos z 1 = 3 + 4 i e z 2 = 12 - 5 i Calcule:

6 - Forma polar Sejam r e as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r 0. Então x = rcos e y = rsen e z pode ser escrito como z = r (cos + i sen ) onde Isto é r = |z| e é o argumento de z denotado por argz. Quando z 0, pode ser determinado por tg = y/ x.

Exemplo: Seja Então:

7 - Produto, Potência e Quociente O produto de dois números complexos z 1 = r 1 (cos 1 + i sen 1) e z 2 = r 2 (cos 2 + i sen 2) é z 1*z 2 = r 1 r 2 [cos ( 1+ 2 )+ i sen ( 1 + 2 )]. Logo, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1) + arg(z 2) Assim, z 1 z 2. . . zn = r 1 r 2. . . rn [cos ( 1+ 2 +. . . + n ) + + i sen ( 1+ 2 +. . . + n )]. Se z = r (cos + i sen ) e n Z +,

zn = r n (cos n + i sen n ). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cos + i sen ) n = cos n + i sen n. O quociente de dois números complexos é dado por (z 1/ z 2) = (r 1/ r 2) [cos ( 1 - 2) + i sen ( 1 - 2)], r 2 0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos ( ) - i sen ( )] (caso particular). Logo z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n ) + i sen (-n )]

Exemplos: Dados os números

8 - Extração de raizes Extrair as raizes n-ésimas z 1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z. Podemos escrever z 0 = r 0 (cos 0 + isen 0) ou z 0 n = (cos n o + isen n 0) = r (cos + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos,

Onde k = 0, 1, . . . (n-1). São os valores de z 1/n. Exemplo: Calcular as raizes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, r = 3 e = 0. Para k = 0, z 0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z 0 = 81/3 [cos (2 /3) +i sen (2 /3)] = -1 + 31/2 i k=2, z 0 = 81/3 [cos (4 /3) +i sen (4 /3)] = 1 - 31/2 i

9 - Regiões no plano complexo A origem z = 0, bem como cada ponto do círculo unitário |z| = 1, é um ponto de fronteira de qualquer um dos seguintes conjuntos 0 < |z| < 1 ou 0 < |z| 1

Funções Analíticas 1 - Funções de uma variável complexa. Se para cada z S, o valor de uma segunda variável complexa w é determinado, então w é uma função da variável complexa z no conjunto S: w = f(z). Uma função é dita univalente em S se ela tem um valor correspondente a cada valor de z em S. Exemplo: Quais os domínios de cada uma das funções a seguir f 1(z) = z 3 +2 zi - 2 Neste caso é o plano complexo inteiro.

f 2(z) = |z|. Aqui também é o plano complexo inteiro. f 3(z) = 1/(z 2+1). Neste caso f 3 não está definida em z = i. Se u e v são funções representando a parte real e a imaginária respectivamente, então: f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Exemplo: Se f(z) = z 2 = (x+yi)2, então u = x 2 - y 2 e v = 2 xy. Se n é um inteiro não negativo e se a 0 a 1. . . an são constantes complexas, a função P(z) = a 0 +a 1 z +. . . + anzn, grau n. an 0 é um polinômio em z, de

2 - Transformação: A função z+2 pode ser vista como uma translação de cada ponto z à posição w = z+2, duas unidades à direita de z. A função w = -z leva cada ponto z na reflexão -z desse ponto no eixo real. A função w = (x 2 + y 2)1/2 -iy leva os pontos de cada círculo x 2 + y 2 = c, c 0, em alguns pontos da reta u = c, pois u = (x 2 + y 2)1/2. 3 - Limites: Seja f uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto z 0. Lim f(z) = w 0 z-->zo

Isto significa que, para cada número positivo , existe um número positivo tal que |f(z) - w 0| < sempre que |z - z 0| < , z z 0.

Exemplo sobre a determinação de limites. Seja lim f(z) = lim (z 2 - 1) / (z - 1) = 2 z-->1 Prova: Para z = 1, f(z) não existe. Para z 1, temos f(z) = z + 1. Assim, |f(z) - 2 | = |z +1 -2| = |z - 1|. Logo |f(z) - 2| < sempre que 0 < |z -1| < . Daí a condição de limite é satisfeita bastando que = . Quando o limite de uma função f existe em z 0, esse limite tem um único valor.

Teorema: Sejam f e F funções cujos limites existem em z 0: lim f(z) = w 0, z--> z 0 lim F(z) = W 0 z--> z 0 Então: lim [f(z) + F(z)] = w 0 + W 0, lim[f(z)F(z)] = w 0 W 0 z--> z 0 E se w 0 0, lim [f(z) / F(z)] = w 0 / W 0 z--> z 0 O limite de um polinômio P(z) = a 0 + a 1 z +. . . +anzn é o valor desse polinômio em z 0, para todo z 0, lim P(z) = P(z 0). z--> z 0

4 - Continuidade Uma função f é contínua num ponto z 0 se, e somente se, todas as 3 condições a seguir forem satisfeitas: a) f(z 0) existe; b) lim f(z) existe e c) lim f(z) = f(z 0) z-->z 0 Como consequencia, se duas funções são contínuas, sua soma e produto também o são, e o seu quociente é contínuo, exceto nos pontos z, para os quais o denominador se anula. Logo a condição c) acima pode ser escrita como: |f(z) - f(z 0)| < sempre que |z - z 0| < . Para cada número positivo existe um número satisfazendo a condição acima.

Função contínua de função contínua é contínua. Assim, se g(z) é contínua e f é contínua em g(z) então f(g(z)) é contínua em z 0. 5 - A derivada f ’, ou df /dz, de f em z 0 é, então, definida por se o limite existe.

Exemplo: Seja f(z) = z 2. Mostre que f ’(zo) = 2 z 0 em qualquer z 0. Sabemos que

6 - Fórmulas de derivação A diferença fundamental entre a derivada nos reais e nos complexos é que nos complexos o lim na definição de f ’(z) é de dimensão dois. Assim temos: d(c) / dz = 0, c --> constante d(z) / dz = 1 d(cw) / dz = c (dw / dz). Se as derivadas w 1’(z) e w 2’(z) de duas funções w 1 e w 2 existem, então d(w 1 + w 2 ) / dz = d(w 1) / dz + d(w 2 ) / dz = w 1’(z) + w 2’(z) d(w 1 w 2 ) / dz = w 1(z) w 2’(z) + w 1’(z) w 2(z)

E, se w 2(z) 0, d(w 1 / w 2 ) / dz = [w 2(z) w 1’(z) - w 1(z) w 2’(z)] / [w 2(z)]2 Para a função composta w 1(w 2), com w 1’(t) existe em t = w 2(t) e w 2’(z) então, d[w 1(w 2)] / dz = [dw 1 / dw 2] [dw 2 / dz] Exemplo: Se w 1 = z 5 e w 2 = 2 z + 1, então d(2 z+1)5 / dz = d(w 25) / dz = 5 w 24 dw 2 / dz = 10(2 z+1)4.