Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen

Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen 23. 04. 2007 & 30. 04. 2007 & 07. 05. 2007 Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Weisst du, wieviel Sternlein stehen An dem blauen Himmelszelt? Weisst du, wieviel Wolken gehen Weithin über alle Welt? (W. Hey, zit. nach N. Wiener, Cybernetics, Control and Communication in the Animal and the Machine)

Methoden der Psychologie Vorlesung Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Verfahrensdarstellung in • • Übung Prüfung Überblick Grundprinzip wichtigsten mathematischen Beziehungen Anwendungsbeispielen • Vertiefung mit Anwendungsbeispielen • Arbeiten an 3 Project Files Kenntnisse aus WS 2006/07 & SS 2007 • Freischussklausur: 03. 08. 2007 • Abschlussklausur: 19. 10. 2007

Methoden der Psychologie Einführung Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Prinzipien des inferenzstatistischen Schliessens • Konfidenzintervalle • multivariate Mittelwertsvergleiche • multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Verfahren • Logistische Regression • Korrespondenzanalyse • Conjoint Measurement Versuchspläne Typische Designs aus • Allgemeine Experimentelle Psy. (Project File 1) • Klinische Psy. (Project File 2) • AOW (Project File 3) Ziele • Wissen über statistische Verfahren • Wissen über Untersuchungsstrategien • Umsetzung mit Software

Methoden der Psychologie Literatur Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen a) Johnson/Wichern c) Bortz b) d) Backhaus Winer

Methoden der Psychologie Prinzipien des statistischen Schliessens Sampling - Modellvorstellung Population Sampling Theoretische Statistik Stichprobe Kennwerte Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben, Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt? • Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter. • Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten • sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen

Methoden der Psychologie Sampling Distribution (1 D) Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Population Bilde Mittelwert Stichprobe des Umfangs n 1. - mal: 2. - mal: k- maliges Samplen von Stichproben derselben Größe n und Berechnen der Stichprobenmittelwerte führt auf eine Verteilung von Stichprobenmittelwerten (Sampling – Distribution)

Methoden der Psychologie Mittelwerte Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Population k - Stichproben des Umfangs n Verteilung von Stichprobenmitteln „Sampling Distribution“ Erwartungswert Erwartungstreue Erwartungswert Die Sampling Distribution hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu. ØStichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters m

Methoden der Psychologie Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Varianz Population k - Stichproben des Umfangs n Verteilung von Stichprobenvarianzen Varianz Erwartungstreue: Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell: Ø Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz s 2

Methoden der Psychologie Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling - Modellvorstellung Bias-Faktor Der Bias bei der Schätzung der Pop. Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Erwartungstreue: Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang n-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz

Methoden der Psychologie Central Limit Theorem Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Die Verteilung von Sampling-Mittelwerten nähern sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung an. Für n > 30 ist die Approximation schon gut. Wahrscheinlichkeitsdichte Es gilt: 0. 10 2. 0. 05 0. 00 Theoretische Sampling Distribution 1. m-2 s m-s m m+s m+2 s Die theoretische Sampling Distribution ist die Grundlage des statistischen Schliessens. Aussagen über den Zusammenhang von Stichprobenmittelwerten und Populationen werden mithilfe dieser Verteilung gewonnen (Inferenzstatistischer Schluss).

Methoden der Psychologie Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Anwendung Konfidenz. Intervalle WKAussagen 1. 2. 1. Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe n vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter m mit der Wahrscheinlichkeit 1 -a erwarten? 2. Der Populationsparameter m sei bekannt. In welchem Bereich um ihn liegen Mittelwerte mit der Wahrscheinlichkeit 1 -a? z- Verteilung Mit Y der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für n < 50 sollte die t- Verteilung mit df = n – 1 verwendet werden.

Methoden der Psychologie Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Hypothesen t - und F-Test H 0 : m = m 0 H 1: m ¹m 0 mit Es gilt t 2 – FÄquivalenz von t- und F- TestÄquivalenz: Bemerke: Eine zweiseitige Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der t – Verteilung ist der (grundsätzlich einseitigen) Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der F - Verteilung äquivalent.

Methoden der Psychologie Multivariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Vektoren Multivariates t ein p ´ 1 Mittelwertevektor Hotelling’s T 2 mit die Sample Varianz-Covarianz Matrix mit Korrektur n -1 der Daten-Zentroid angenommener Zentroid Definition Verteilung T 2 [JW-Beispiel-5. 1] ist verteilt wie wenn die Stichprobe einer multivariat normalverteilten Grundgesamtheit entnommen ist.

Methoden der Psychologie Multivariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sei ein Sample aus einer Population so gilt Verteilung T 2 für jedes angenommene egal, wie das wahre und sind. F- Test Man lehnt die H 0: m = m 0 daher auf Signifikanzniveau a ab, wenn Konfidenz. Ellipsoide Gleichzeitig definiert die Distanzbedingung [Beispiele] in einem p-variat normalverteilten Ellipsoid Konfidenzregionen, die man für jedes angenommene m um für ein a spannen kann.

Methoden der Psychologie Multivariate Central Limit Theorem Multivariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sei eine Stichprobe aus einer Population mit Erwartungsvektor und Varianz-Covarianz Matrix Dann gilt ist approximativ und ist approximativ wenn Regel verteilt n – p groß ist. Für n < 50 ist die Voraussetzung der multivariaten Normalverteilung in der Stichprobe jedem Falle zu prüfen, und die T 2 Statistik heranzuziehen. Bei grösseren Stichproben kann direkt die c 2 Statistik angewendet werden. In jedem Fall sollte eine Ausreißerbehandlung durchgeführt werden.

Methoden der Psychologie univariat Simultane univariate Konfidenzregionen um Mittelwert [ ] multivariat (p=2) Länge = Konfidenzregion im Ellipsoid [Beispiele] (1 -a) Konfidenzregion für m in der bivariat normalverteilten Sampling. Distribution, die um gespannt ist. m

Methoden der Psychologie Univariates CI Simultane univariate Konfidenzintervalle Ein (1 -a) Konfidenzintervall für eine Variablenkomponente wird im Kontext aller p univariaten Konfidenzaussagen betrachtet. Das univariate Konfidenzintervall (CI) das jj-te Element von führt im Kontext aller p- möglichen Vergleiche zu einem inflationierten a- Fehler und damit zu falschen, progressiven Entscheidungen. Simultane Konfidenz Intervalle Konfidenzintervalle pro Variablenkomponente, die alle möglichen Vergleiche auf einem (overall) a-Niveau absichern, lauten Simultane CIs definieren die Bounding-Box der CI-Ellipse.

Methoden der Psychologie Simultane univariate Konfidenzintervalle Simultane CIs Die simultanen CIs sind konservativ, und können durch eine Approximation für unabhängige Variablenachsen ersetzt werden. Overall a Im simultanen Kontext kann die a- Fehler Inflation durch Wahl eines neuen a Niveaus für jeden Einzeltest für ein gewünschtes overall kompensiert werden. Es gilt für ein vorgegebenes overall Bonferroni Approximation Konfidenzintervalle pro Variablenkomponente werden durch Wahl eines neuen a-Niveaus alle auf einem (overall) -Niveau abgesichert. CI

Methoden der Psychologie Univariate - Multivariate – Konfidenzregionen 0. 70 Vergleich der CIs alpha-CE 0. 65 Data. Centroid Probe. Centroid x 2 0. 60 Simultanes CI Bonferroni 0. 55 1 D (falsch) 0. 50 0. 55 0. 60 0. 65 0. 70 x 1 CI-Aussagen 2 D Konfidenzregionen und 1 D Konfidenzintervalle ermöglichen verschiedene Entscheidungen, je nachdem, ob Paarungen von Mittelwerten (Centroiden) oder einzelne Mittelwerte interessieren. Zu beachten ist, dass im multivariaten Kontext Aussagen für eine Achse strenggenommen nie ohne Berücksichtigung des Wertes auf den anderen Variablenachsen gemacht werden können (Bounding. Box und Bonferroni-Box hat immer mehr Fläche als die CI-Ellipse)

Methoden der Psychologie Univariate und multivariate Mittelwertevergleiche Sample Meßeinheiten Sampling. Distribution Test-Statistik univariat multivariat unabhängig Differenzen von Mittelwerten gepoolte Varianzen Mittelwerte von Differenzen Differenzvektor von Centroiden Gepoolte Var-Covar Mat. t t T 2 abhängig Centroide von Differenzvektoren T 2 Multivariate Mittelwertsvergleiche sind die direkte Entsprechung zu univariaten Vergleichen. Es gelten dieselben Prinzipien, lediglich angewendet auf Centroid-Vektor und Varianz-Covarianz Matrix.

Methoden der Psychologie Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für unabhängige Stichproben Hypothese (ungerichtet) H 0: Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null Es gilt: Wahrscheinlichkeitsdichte Sampling Distribution 0. 10 3. 0. 05 0. 00 [t-Test ausführlich? ] 1. 2. 0 wird geschätzt aus beiden Stichproben ist t- verteilt.

Methoden der Psychologie Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für unabhängige Stichproben Statistik Entscheidung: Prüfgrösse t- verteilt mit n 0 + n 1 – 2 Freiheitsgraden a) Krit. t-Wert b) Überschreitungs-WK Voraussetzung Ablehnung von H 0, sonst Beibehaltung oder Ablehnung von H 0, sonst Beibehaltung 1. Für n 0 + n 1 < 50 normalverteilte Stichprobendaten 2. Homogene Stichprobenvarianzen 3. Unabhängige Messeinheiten innerhalb und zwischen den Samples.

Methoden der Psychologie Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhängige Stichproben Hypothese (ungerichtet) H 0: Der Erwartungswert der Mittelwerte von Differenzen ist Null Es gilt: Wahrscheinlichkeitsdichte Sampling Distribution 1. 2. 0. 10 3. 0. 05 0. 00 0 wird geschätzt aus Differenzenstichprobe ist t- verteilt.

Methoden der Psychologie Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhängige Stichproben Statistik Entscheidung: Prüfgrösse t- verteilt mit n – 2 Freiheitsgraden (n = Anzahl Paare) a) Krit. t-Wert b) Überschreitungs-WK Voraussetzung Ablehnung von H 0, sonst Beibehaltung oder Ablehnung von H 0, sonst Beibehaltung 1. Für n < 30 normalverteilte Stichprobendaten 2. Homogene Stichprobenvarianzen müssen nicht vorliegen 3. Korrelation der Meßreihen erhöht die Teststärke.

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für abhängige Stichproben Hypothese (ungerichtet) H 0: Der Erwartungswert des Differenzencentroids ist Null Daten p- dimensionaler Differenzvektor jeder i- ten Person (Differenzen der 2 Zeitpunkte auf den p- Variablen)

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für abhängige Stichproben Kenngrößen T 2 - Statistik Entscheidung Lehne die H 0 auf Signifikanzlevel a ab, wenn gilt Mit F (1 -a) dem (1 -a) Quantil der F- Verteilung mit p Zählerfreiheitsgraden und n-p Nennerfreiheitsgraden.

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für abhängige Stichproben Konfidenzregionen definiert eine (1 -a) Konfidenzregion im Ellipsoid um für d. Wenn n-p groß ist, gilt und die Stichproben müssen nicht multivariat normalverteilt sein. Komponenten Konfidenzintervalle definiert univariate (1 -a) Konfidenzintervalle um jeden Variablen. Differenzenmittelwert. Analog sind Bonferroni-Intervalle definiert.

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für unabhängige Stichproben Hypothese (ungerichtet) H 0: Die Differenz der Erwartungs-Centroiden ist Null Daten p- dimensionaler Messvektor jeder i- ten Person aus jeder Gruppe

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für unabhängige Stichproben Kenngrößen Mittelwertevektoren und Varianz-Covarianz Matrizen für jede Gruppe. Gepoolte Var-Covar. Matrix

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für unabhängige Stichproben Kenngrößen T 2 - Statistik Entscheidung Lehne die H 0 auf Signifikanzlevel a ab, wenn gilt Mit F (1 -a) dem (1 -a) Quantil der F- Verteilung mit p Zählerfreiheitsgraden und n 0+n 1 -p-1 Nennerfreiheitsgraden.

Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertevergleiche Hotelling‘s T 2 - Test für unabhängige Stichproben Konfidenzregionen definiert eine (1 -a) Konfidenzregion im Ellipsoid um für Distanzen d. Mit Komponenten Konfidenzintervalle definiert univariate (1 -a) Konfidenzintervalle um jede Gruppendifferenz von Variablenmittelwerten. Sjj, pooled ist das jj-te Element der gepoolten Varianz-Covarianz Matrix. Bonferroni-Intervalle sind analog definiert.

Methoden der Psychologie p D-Normal Verteilung Multivariate Normalverteilung Die Ellipsen der Form sind zentriert in und haben Hauptachsen mit Eigenwertbedingung Eine Eigenwertzerlegung der Varianz-Kovarianz Matrix liefert somit die Hauptachsen des p- variaten Ellipsoids der multivariaten Normalverteilung Beispiel 2 D Länge =