Methoden en Technieken van Onderzoek Thierry Marchant 1

Methoden en Technieken van Onderzoek Thierry Marchant 1

Toevalsproces en gebeurtenis • Toevalsproces : process waarvan de uitkomst onvoorspelbaar is. • Gebeurtenis : deelverzameling van mogelijke uitkomsten • Voorbeeld : de worp van een dobbelsteen. – {1} is een gebeurtenis – {1, 2, 3} is een gebeurtenis (kleiner dan 4) – {2, 4, 6} is een gebeurtenis (even) 2

• Voorbeeld : de hoogte van een bij toeval getrokkene persoon meten. – {1. 75 m} is een gebeurtenis – [1. 75, 1. 80] is een gebeurtenis – [1. 80, + ] is een gebeurtenis • De zekere gebeurtenis E is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. – Voorbeelden : {1, 2, 3, 4, 5, 6} [0, + ] 3

Bewerkingen met gebeurtenissen • De unie : A B is de verzameling van alle elementen die in A of in B of in beide zijn. – {4, 5, 6} {2, 4, 6} = {2, 4, 5, 6} • De doorsnede : A B is de verzameling van alle elementen die in A en in B zijn. – {4, 5, 6} {2, 4, 6} = {4, 6} 4

De complementaire gebeurtenis • De complementaire gebeurtenis A* van A is de gebeurtenis dat zich voordoet als en slechts als A zich niet voordoet. A A* = • • en A A*= E Voorbeeld : {1, 3, 5} en {2, 4, 6} zijn complementair. Voorbeeld : munt en kruis zijn complementair. Voorbeeld : mannelijk en vrouwelijk zijn complementair. … 5

Kans : definitie Toevalsexperiment : worp van een munt Aantal herhalingen : n Aantal ‘munt’ : fmunt Proportie ‘munt’ : 6

Kans : definitie 1 Proportie van de gebeurtenis “munt” bij n worpen. 1/2 0 Aantal worpen = n 7

In het algemeen • De kans van een gebeurtenis A is bij een toevalsproces is de proportie van A als we het toevalsproces eindeloos zouden herhalen. 0 < P(A) <1 Kans = proportie met n oneindig. Idealisering van het toeval. 8

De kans van een unie • Als A B = dan P(A B) = P(A) + P(B). • Voorbeeld : worp van een dobbelsteen – A = {1, 2}, B = {3} , P(A B) = 2/6 + 1/6 = 1/2 • C = {2, 3}. Hoeveel is P(A C) ? P(A) + P(C) = 2/6 + 2/6 = 2/3. Maar A C = {1, 2, 3} = A B. • P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). • Voorbeeld : P(A C) = 2/6 + 2/6 - 1/6 = 1/2. 9

Afhankelijke gebeurtenissen • Twee gebeurtenissen zijn afhankelijk als het voorkomen van de ene de kans van de andere beïnvloedt. • Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0. 7, P(lange haren) = 60/100 = 0. 6 P(korte haren) = 0. 4 P(vrouw als lange haren) = 50/60 = 0. 83 0. 7. De gebeurtenissen “vrouw” en “lange haren” zijn afhankelijk. P(korte haren als vrouw) = 20/70 = 0. 29 0. 4. De gebeurtenissen “korte haren” en “vrouw” zijn afhankelijk. 10

Onafhankelijke gebeurtenissen • Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het voorkomen van de ene de kans van de andere niet beïnvloedt. • Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0. 7, P(bril) = 20/100 = 0. 2 P(zonder bril) = 0. 8 P(vrouw als bril) = 14/20 = 0. 7 = P(vrouw) De gebeurtenissen “vrouw” en “met bril” zijn onafhankelijk. P(zonder bril als vrouw) = 56/70 = 0. 8 = P(zonder bril). De gebeurtenissen “zonder bril” en “vrouw” zijn onafhankelijk. 11

• Voorbeeld : worp van een dobbelsteen. – A = {1, 2, 3} en B = {5, 6}. A = {1, 2, 3} en D = {1, 2, 5}. F = {1, 2, 3, 4} en G = {2, 4, 6}. 12

Voorwaardelijke kans • De kans dat A zich voordoet op voorwaarde dat B zich ook voordoet, wordt voorwaardelijke kans genoemd. Symbool : P(A|B) • Afhankelijkheid : formele definitie. – P(A|B) = P(A) voor onafhankelijke A en B. – P(A|B) P(A) voor afhankelijke A en B. • Voorbeeld : A = {1, 2, 3} en D = {1, 2, 5}. – P(A) = 1/2 , P(D) = 1/2 , P(A|D) = 2/3 P(A) – A en D zijn dus afhankelijk. 13

• Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0. 7, P(lange haren) = 60/100 = 0. 6 P(vrouw|lange haren) = 50/60 • P(vrouw|lange haren) = 50/100 = P(vrouw lange haren) 60 60/100 P(lange haren) • Definitie : P(A|B) = P(A B) / P(B) 14

De kans van een doorsnede • P(A|B) = P(A B) / P(B). • Bijgevolg, P(A B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) • Voor onafhankelijke gebeurtenissen, P(A|B) = P(A). Dus, P(A B) = P(A) P(B). • Voorbeeld : A = {1, 2, 3, 4} en B = {2, 4, 6}. We weten al dat P(B|A) = 1/2. Dus, P(A B) = P(B|A) P(A) = 1/2 x 2/3 = 1/3. • Inderdaad, P(A B) = P({2, 4}). 15