MATEMTICA MATEMTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Ktia Stocco

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Kátia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz 3º ano ensino médio

Unidade 1 – Matemática em contextos NESSA UNIDADE: • A linguagem da matemática financeira • • Porcentagem e juros • Estatística – pré-requisitos • Dados organizados em classes • Frequência absoluta e frequência relativa de classe • • desvio padrão) • Probabilidade e estatística – revisão • O uso da probabilidade na estatística • Função ou distribuição de probabilidade • Probabilidade frequencista e lei dos grandes números Representação gráfica de uma distribuição de frequências em classe Medidas de tendência central (moda, Medidas de dispersão (variância e • Probabilidade e estatística – Curva normal média e mediana) MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA A LINGUAGEM DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Capital: em uma transação financeira, é o dinheiro emprestado, investido ou devido inicialmente; também é conhecido como principal. Representamos o capital por C. Juro: é o "aluguel" que se paga (ou se recebe) pelo dinheiro emprestado (ou aplicado). Representamos o juro por j. Taxa de juro: é a taxa, em porcentagem, que se paga ou se recebe pelo "aluguel" do dinheiro. Representamos a taxa por i. Prazo: é o tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira. Representamos esse intervalo de tempo por t. Montante: é a soma do capital emprestado (ou investido) com o juro. Indicamos o montante por M. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PORCENTAGEM A porcentagem é uma forma utilizada para representar uma fração com denominador 100, ou qualquer representação a ela. O símbolo da porcentagem é %, e aparece em situações de compra, venda, prestações, aumentos e descontos. Identificando dois tipos de juros Quando um capital é aplicado ou emprestado a uma determinada taxa, o montante pode crescer segundo dois diferentes critérios de regimes: de capitalização simples ou de capitalização composta. Esses dois sistemas também são conhecidos como juros simples, no primeiro caso, e juros compostos, no segundo caso. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS SIMPLES No regime de juros simples, estes incidem sempre sobre o capital inicial. Na prática, esse sistema é usado especialmente em pagamentos cujo atraso é de apenas alguns dias. Cálculo de juros simples Se um capital C, aplicado a uma taxa i ao período, no sistema de juros simples, rende juros j ao fim de um período t, então: J=C⋅i⋅t O montante M a ser pago (ou recebido) após esse período é: M=C+J MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS COMPOSTOS Nesse regime, após cada período, os juros são incorporados ao capital inicial, passando a render sobre o novo total. Dessa forma, os cálculos são efetuados como “juros sobre juros”. Na prática, as empresas, os órgãos governamentais e os investidores costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na economia. Cálculo de juros compostos Para um tempo t de aplicação, o cálculo do montante M a ser resgatado sob o regime de juros compostos é dado por: M = C ⋅ (1 + i)t C é o capital inicial; i é a taxa e t é o tempo de aplicação do capital. A taxa de juros e o prazo devem estar na mesma unidade de tempo. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA PRÉ-REQUISITOS Para a retomada do estudo de estatística, lembremos alguns tópicos estudados anteriormente. São eles: • Estatística – A linguagem da estatística • Representação de dados estatísticos (Tabelas e gráficos) • Distribuição de frequências • Frequência absoluta acumulada e frequência relativa acumulada • Medidas de tendência central • Agrupamento de classes • Representação gráfica das frequências de intervalos de classes MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA DADOS ORGANIZADOS EM CLASSE Altura dos 28 estudantes de uma classe, em Altura dos estudantes organizadas em classes com amplitude ordem crescente e com valores em metros. 10 cm. A tabela seguinte traz essa organização e a quantidade 1, 55; 1, 57; 1, 58; 1, 59; 1, 61; 1, 65; de estudantes para cada intervalo de altura. 1, 65; 1, 66; 1, 67; 1, 68; 1, 69; 1, 71; 1, 72; 1, 75; 1, 76; 1, 77; 1, 79; 1, 80; 1, 82; 1, 83; 1, 85; 1, 90; 1, 92. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA FREQUÊNCIA ABSOLUTA E FREQUÊNCIA RELATIVA DE CLASSE Frequência absoluta de classe: número de observações encontrado numa determinada classe. Frequência relativa de classe: razão entre a frequência absoluta da classe e o número total de observações. No exemplo das alturas dos 28 estudantes, podemos construir a seguinte tabela: MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS EM CLASSE Histograma é um gráfico formado por um conjunto de retângulos construídos lado a lado, de modo que a área de cada retângulo seja igual a frequência da classe correspondente. As larguras das bases dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe e se localizam no eixo horizontal. As alturas dos retângulos são proporcionais às frequências. O polígono de frequência é um gráfico que pode ser construído a partir do histograma, com linhas retas unindo os pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma. A representação da distribuição de frequências absoluta ou relativa é feita por meio do histograma ou polígono de frequências. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre Na figura já temos o histograma e o polígono de frequência

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MODA, MÉDIA E MEDIANA Foram anotadas as temperaturas médias de uma cidade nos meses de janeiro e nos meses de fevereiro num período de 30 anos. Esses dados foram organizados de acordo com a tabela seguinte MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MODA, MÉDIA E MEDIANA Além da média aritmética e da moda, outra medida de tendência central que podemos calcular para um conjunto de dados é a mediana (Me). A mediana de um conjunto de valores, dispostos em ordem crescente (ou decrescente), é o valor situado no meio desse conjunto e que o separa em dois subconjuntos com aproximadamente o mesmo número de elementos. A mediana de uma sequência de n números em ordem crescente é: O número que estiver na posição central, se n for ímpar. A média aritmética dos dois números que ocuparem o centro da sequência, se n for par. Uma das funções mais importantes da mediana é auxiliar a entender porque a média sofre variações acentuadas, considerando que uma discrepância na mediana interfere na média fazendo com que ela aumente ou diminua muito. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA MODA, MÉDIA E MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS EM CLASSE As massas de 100 indivíduos do sexo masculino foram registradas na tabela seguinte. Cálculo da média aritmética: soma-se todos os produtos dos pontos médios das classes por suas respectivas frequências absolutas e divide-se o resultado pela soma das frequências. Cálculo da moda: a classe com maior frequência absoluta é denominada de classe modal. A mediana dos 100 valores é a média das massas nas posições 50 e 51, dos dados em ordem crescente (ou decrescente), que no caso é 72, 5 k. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA MEDIDAS DE DISPERSÃO: VARI NCIA E DESVIO PADRÃO Acompanhe a distribuição das idades de três turmas em uma escola. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA MEDIDAS DE DISPERSÃO: VARI NCIA E DESVIO PADRÃO Na turma A, temos: Da mesma maneira para as turmas B e C, podemos organizar o quadro: A variância V é a média dos quadrados desvios. A turma que mais se aproxima da média, ou seja, a mais regular, é a turma A, por apresentar o menor desvio padrão, enquanto o maior desvio (menos regular) aparece na turma C. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA RECORDANDO PROBABILIDADE: EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTO E PROBABILIDADE Experimento aleatório é todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis entre os resultados possíveis. Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório. 0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100% MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA O USO DA PROBABILIDADE NA ESTATÍSTICA A variável independente de um gráfico estatístico é o evento do espaço amostral de todos os dados pesquisados. Quantidade obtida de cada valor em um dado que foi jogado 120 vezes. Previsão do tempo em alguns locais do Brasil em 23 de abril de 2016. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA FUNÇÃO OU DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Função ou distribuição de probabilidade para uma dada experiência aleatória é a função que a cada evento possível faz corresponder a probabilidade de o evento ocorrer. Probabilidade frequencista e lei dos grandes números Quando se toma a frequência relativa como a probabilidade de um evento, dizemos que estamos considerando a probabilidade frequencista ou o conceito frequencista de probabilidade. A lei dos grandes números se baseia no fato de quando o número de experiências aumenta muito, a frequência relativa de um evento tende a estabilizar-se em determinado valor, que é adotado como probabilidade desse evento. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA A tabela seguinte apresenta os dados colhidos em uma pesquisa com 400 estudantes sobre o número de irmãos de cada um deles. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA CURVA NORMAL A tabela seguinte apresenta o resultado sobre o peso de 370 bebês entre 0 e 12 meses num hospital e o seu respectivo gráfico com a ~curva obtida por meio da união dos pontos médios de cada retângulo. A curva de distribuição que obtivemos tem as seguintes características: • • Tem a forma de um sino. É simétrica. O ponto máximo é aproximadamente a média aritmética. A maioria dos indivíduos estudados está na zona central. Em estatística, curvas desse tipo são chamadas de curvas de distribuição normal, curvas normais ou curvas de Gauss. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 3 – 1º Bimestre